5 spôsobov, ako nájsť vrchol

Existuje viacero matematických funkcií, ktoré používajú vrcholy. Mnohosteny majú vrcholy, sústavy nerovníc môžu mať jeden vrchol alebo viacero vrcholov a paraboly alebo kvadratické rovnice môžu mať vrchol aj. Nájdenie vrcholu[1]
sa líši v závislosti od situácie, ale tu je to, čo potrebujete vedieť o hľadaní vrcholov pre každý scenár.

Metóda 1 z 5:Zistenie počtu vrcholov mnohostena


Naučte sa Eulerov vzorec. Eulerov vzorec, ktorý sa používa v súvislosti s geometriou a grafmi, hovorí, že pre každý mnohosten, ktorý sa nepretína, sa počet stien plus počet vrcholov mínus počet hrán bude vždy rovnať dvom.[2]

  • Zapísaný ako rovnica, vzorec vyzerá takto: F + V – E = 2
    • F sa vzťahuje na počet plôch
    • V sa vzťahuje na počet vrcholov alebo rohových bodov
    • E sa vzťahuje na počet hrán


Zmeňte usporiadanie vzorca, aby ste našli počet vrcholov. Ak viete, koľko stien a hrán má mnohosten, môžete rýchlo spočítať počet vrcholov pomocou Eulerovho vzorca. Odpočítajte F z oboch strán rovnice a pripočítajte E k obom stranám, pričom izolujete V na jednej strane.

  • V = 2 – F + E


Zapojte čísla a vyriešte ich. Všetko, čo musíte v tomto bode urobiť, je dosadiť do rovnice počet strán a hrán pred sčítaním a odčítaním ako zvyčajne. Odpoveď, ktorú dostanete, by vám mala povedať počet vrcholov a dokončiť úlohu.

  • Príklad: Pre mnohosten, ktorý má 6 stien a 12 hrán…
    • V = 2 – F + E
    • V = 2 – 6 + 12
    • V = -4 + 12
    • V = 8

Metóda 2 z 5:Hľadanie vrcholov pre sústavy lineárnych nerovníc


Zostrojte graf riešenia sústavy lineárnych nerovníc. [3]
V niektorých prípadoch vám grafické znázornenie riešení všetkých nerovníc v sústave môže vizuálne ukázať, kde ležia niektoré, ak nie všetky vrcholy. Keď však nie, budete musieť nájsť vrchol algebricky.

  • Ak na vykreslenie grafu nerovností používate grafickú kalkulačku, zvyčajne môžete prejsť na vrcholy a nájsť súradnice týmto spôsobom.


Zmeňte nerovnosti na rovnice. Aby ste mohli vyriešiť sústavu nerovníc, budete musieť dočasne zmeniť nerovnice na rovnice, čo vám umožní nájsť hodnoty pre x a y.

  • Príklad: Pre sústavu nerovností:
    • y < x
    • y > -x + 4
  • Zmeňte nerovnosti na:
    • y = x
    • y = -x + 4


Nahraďte jednu premennú druhou. Hoci existuje niekoľko rôznych spôsobov, ako môžete riešiť x a y, substitúcia je často najjednoduchšie použiť. Zapojte hodnotu y z jednej rovnice do druhej rovnice, čím sa vlastne „nahradí“ y v druhej rovnici s ďalšími x hodnoty.

  • Príklad: Ak:
    • y = x
    • y = -x + 4
  • Potom y = -x + 4 možno zapísať ako:
    • x = -x + 4


Vyriešte prvú premennú. Teraz, keď máte v rovnici len jednu premennú, môžete túto premennú jednoducho vyriešiť, x, ako v akejkoľvek inej rovnici: sčítaním, odčítaním, delením a násobením.

  • Príklad: x = -x + 4
    • x + x = -x + x + 4
    • 2x = 4
    • 2x / 2 = 4 / 2
    • x = 2


Vyriešte zostávajúcu premennú. Zapojte svoju novú hodnotu pre x do jednej z pôvodných rovníc, aby ste našli hodnotu y.

  • Príklad: y = x
    • y = 2


Určte vrchol. Vrchol je jednoducho súradnica pozostávajúca z vašej novej x a y hodnoty.

  • Príklad: (2, 2)

Metóda 3 z 5:Hľadanie vrcholu paraboly s osou symetrie


Vypočítajte rovnicu faktorom. Prepíšte kvadratickú rovnicu do jej faktorovaného tvaru. Existuje viacero spôsobov, ako vynásobiť kvadratickú rovnicu, ale keď to urobíte, mali by vám zostať dve sady zátvoriek, ktoré sa po vynásobení rovnajú vašej pôvodnej rovnici.

  • Príklad: (pomocou rozkladu)
    • 3×2 – 6x – 45
    • Vynásobte spoločným činiteľom: 3 (x2 – 2x – 15)
    • Vynásobte a a c výrazov: 1 * -15 = -15
    • Nájdite dve čísla, ktorých súčin sa rovná -15 a súčet sa rovná hodnote b, teda -2: 3 * -5 = -15; 3 – 5 = -2
    • Dosadíme tieto dve hodnoty do rovnice ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x – 5x – 15)
    • Vynásobte polynóm zoskupením: f(x) = 3 * (x + 3) * (x – 5)


Nájdite bod, v ktorom rovnica pretína os x.[4]
Vždy, keď funkcia x, f(x), sa rovná 0, parabola pretne os x. K tomu dôjde vtedy, keď sa niektorá z množín činiteľov rovná 0.

  • Príklad: 3 * (x + 3) * (x – 5) = 0
    • х +3 = 0
    • х – 5 = 0
    • х = -3 ; х = 5
    • Koreňmi sú teda: (-3, 0) a (5, 0)


Vypočítajte stredný bod. Os symetrie pre rovnicu[5]
bude ležať priamo medzi dvoma koreňmi rovnice. Musíte poznať os symetrie, pretože vrchol leží na nej.

  • Príklad: x = 1; táto hodnota leží priamo medzi -3 a 5


Zapojte x do pôvodnej rovnice. Zapojte x hodnotu pre vašu os symetrie do ktorejkoľvek rovnice pre vašu parabolu. y bude hodnota y hodnota pre váš vrchol.

  • Príklad: y = 3×2 – 6x – 45 = 3(1)2 – 6(1) – 45 = -48


Zapíšte vrcholový bod. V tomto bode je vaša posledná vypočítaná x a y hodnoty by vám mali poskytnúť súradnice vášho vrcholu.

  • Príklad: (1, -48)

Metóda 4 z 5:Hľadanie vrcholu paraboly doplnením štvorca


Prepíšte pôvodnú rovnicu do jej vrcholového tvaru.[6]
„Vrcholový“ tvar rovnice sa zapisuje ako y = a(x – h)^2 + k, a vrcholový bod bude (h, k). Vašu súčasnú kvadratickú rovnicu bude potrebné prepísať do tohto tvaru, a aby ste to mohli urobiť, budete musieť doplniť štvorec.

  • Príklad: y = -x^2 – 8x – 15


Izolujte a hodnota. Vypočítajte koeficient prvého člena, a z prvých dvoch členov rovnice. Posledný člen ponechajte, c, zatiaľ sám.

  • Príklad: -1 (x^2 + 8x) – 15


Nájdite tretí člen pre zátvorky. Tretí člen musí doplniť množinu v zátvorkách tak, aby hodnoty v zátvorkách tvorili dokonalý štvorec. Tento nový člen je štvorcová hodnota polovice koeficientu stredného člena.

  • Príklad: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; preto,
    • -1(x^2 + 8x + 16)
    • Nezabudnite tiež, že to, čo urobíte s vnútrom, musíte urobiť aj s vonkajškom:
    • y = -1(x^2 + 8x + 16) – 15 + 16


Zjednodušte rovnicu. Keďže vaše zátvorky teraz tvoria dokonalý štvorec, môžete zjednodušiť časť zátvorky na jej faktorovú formu. Zároveň môžete vykonať ľubovoľné potrebné sčítanie alebo odčítanie s hodnotami mimo zátvoriek.

  • Príklad: y = -1(x + 4)^2 + 1


Zistite, aké sú súradnice na základe rovnice vrcholu. Pripomeňme si, že vrcholový tvar rovnice je y = a(x – h)^2 + k, s (h, k) predstavujúce súradnice vrcholu. Teraz máte dostatok informácií na to, aby ste mohli dosadiť hodnoty do h a k sloty a doplňte úlohu.

  • k = 1
  • h = -4
  • Vrchol tejto rovnice teda nájdete na adrese: (-4, 1)

Metóda 5 z 5:Hľadanie vrcholu paraboly pomocou jednoduchého vzorca


Nájdite x súradnicu vrcholu priamo. Keď sa rovnica vašej paraboly dá zapísať ako y = ax^2 + bx + c, x vrcholu možno nájsť pomocou vzorca x = -b / 2a. Jednoducho zapojte a a b hodnoty z vašej rovnice do tohto vzorca, aby ste zistili x.

  • Príklad: y = -x^2 – 8x – 15
  • x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
  • x = -4


Zapojte túto hodnotu do pôvodnej rovnice. Zapojením hodnoty pre x do rovnice, môžete vyriešiť pre y. Táto stránka y hodnota bude y súradnicu vášho vrcholu.

  • Príklad: y = -x^2 – 8x – 15 = -(-4)^2 – 8(-4) – 15 = -(16) – (-32) – 15 = -16 + 32 – 15 = 1
    • y = 1

  • Zapíš si súradnice vrcholov. x a y Hodnoty, ktoré máte, sú súradnice vášho vrcholového bodu.

    • Príklad: (-4, 1)
  • Odkazy