5 spôsobov hľadania inflexných bodov

V matematike je inflexný bod bod na krivke, kde sklon mení znamienko.[1]
Používa sa v rôznych odboroch vrátane inžinierstva, ekonómie a štatistiky na určenie základných posunov v údajoch. Ak si zapamätáte, čo je to konkávnosť a ako ovplyvňuje inflexiu, budete schopní nájsť inflexné body krivky pomocou niekoľkých jednoduchých rovníc.

Metóda 1 z 5:Preskúmanie konkávnosti a inflexie


Rozlišujte medzi konkávnym smerom nahor a konkávnym smerom nadol. Aby ste pochopili inflexné body, musíte rozlišovať medzi týmito dvoma. Ľahko ich rozlíšiť na základe ich názvov.[2]

  • Konkávne klesajúca funkcia je funkcia, pri ktorej žiadna úsečka, ktorá spája 2 body na jej grafe, nikdy nevystupuje nad graf. Intuitívne má graf tvar kopca.
  • Na druhej strane, konkávna funkcia je funkcia, pri ktorej žiadna úsečka, ktorá spája 2 body na jej grafe, nikdy nespadá pod graf. Má tvar písmena U.
  • Na vyššie uvedenom grafe je červená krivka konkávna smerom nahor, zatiaľ čo zelená krivka je konkávna smerom nadol.
  • Funkcie majú vo všeobecnosti intervaly konkávne nahor aj konkávne nadol. Inflexné body existujú vtedy, keď funkcia mení konkávnosť.


Určte korene funkcie. Koreň funkcie je bod, v ktorom sa funkcia rovná nule. Na uvedenom grafe vidíme, že korene zelenej paraboly sú v bode

x=1{\displaystyle x=-1}

a

x=3.{\displaystyle x=3.}

Toto sú body, v ktorých funkcia pretína os x.[3]

  • Funkcia môže mať aj viac ako 1 koreň.


Nájdite inflexiu, kde funkcia mení konkávnosť. Nezabudnite, že je rozdiel medzi konkávnym smerom nahor a konkávnym smerom nadol? Oblasť, kde sa konkávy prepínajú, sa nazýva „inflexný bod“, ktorý sa snažíte nájsť.[4]

  • Tento bod je ľahko vidieť na grafe.

Metóda 2 z 5:Hľadanie derivácií funkcie


Diferencujte. Skôr ako nájdete inflexný bod, musíte nájsť derivácie vašej funkcie. Derivácie základných funkcií nájdete v každom učebnom texte o počítaní; musíte sa ich naučiť skôr, ako prejdete k zložitejším úlohám.[5]
Prvé derivácie sa označujú ako

f(x){\displaystyle f^{\prime }(x)}

alebo

dfdx.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}.}
  • Povedzme, že potrebujete nájsť inflexný bod funkcie uvedenej nižšie.
    • f(x)=x3+2x1{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x-1}
  • Použite mocninové pravidlo.
    • f(x)=3x31+2x11=3x2+2{\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }(x)&=3x^{3-1}+2x^{1-1}\\&=3x^{2}+2\end{aligned}}}


Znovu diferencujte. Druhá derivácia je derivácia derivácie a označuje sa ako

f(x){\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}

alebo

d2fdx2.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}.}
  • f(x)=(2)(3)x21=6x{\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(2)(3)x^{2-1}\\&=6x\end{aligned}}


Nastavte druhú deriváciu na hodnotu 0 a vyriešte výslednú rovnicu. Vaša odpoveď bude a možné inflexný bod. [6]

  • 6x=0x=0{\displaystyle {\begin{aligned}6x&=0\\x&=0\end{aligned}}

Metóda 3 z 5:Hľadanie inflexného bodu


Skontrolujte, či druhá derivácia mení znamienko v kandidátskom bode. Ak sa pri prechode cez kandidátsky inflexný bod zmení znamienko druhej derivácie, potom existuje inflexný bod. Ak sa znamienko nemení, potom neexistuje inflexný bod.[7]

  • Nezabudnite, že hľadáte zmenu znamienka, nie vyhodnocujete hodnotu. V zložitejších výrazoch môže byť zámena nežiaduca, ale pozorné sledovanie znakov často vedie k oveľa rýchlejšej odpovedi. Napríklad namiesto okamžitého vyhodnotenia čísel by sme sa mohli namiesto toho pozrieť na určité členy a posúdiť ich ako kladné alebo záporné.
  • V našom príklade,
    f(x)=6x.{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}

    Potom zapojte zápornú hodnotu

    x{\displaystyle x}

    dáva zápornú hodnotu

    f(x),{\displaystyle f^{\prime \prime }(x),}

    pričom zapojenie kladného

    x{\displaystyle x}

    dáva kladnú hodnotu

    f(x).{\displaystyle f^{\prime \prime }(x).}

    Preto,

    x=0{\displaystyle x=0}

    je inflexným bodom funkcie

    f(x)=x3+2x1.{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x-1.}

    V skutočnosti nebolo potrebné vyhodnocovať pre nami zvolené hodnoty.


Nahraďte ho späť do pôvodnej funkcie.[8]

  • f(0)=(0)3+2(0)1=1.{\displaystyle f(0)=(0)^{3}+2(0)-1=-1.}


Vyhodnoťte funkciu, aby ste našli inflexný bod. Súradnica inflexného bodu sa označuje ako

(x,f(x)).{\displaystyle (x,f(x)).}

V tomto prípade,

(0,1),{\displaystyle (0,-1),}

ako je uvedené v grafe vyššie. Preto sú tieto čísla inflexným bodom.[9]

Metóda 4 z 5:Riešenie problémov


Skontrolujte kandidátov. Často, keď

x=0,{\displaystyle x=0,}

je ľahké predpokladať, že to znamená, že neexistujú žiadne inflexné body. Keď však

x=0,{\displaystyle x=0,}

stále existuje inflexný bod. Pamätajte, že 0 sa dá zakresliť do grafu, takže ak dostanete ako odpoveď 0, znamená to, že existuje 1 inflexný bod.[10]

  • Ak napríklad dostanete odpoveď, kde
    x=0,{\displaystyle x=0,}

    by ste otestovali podintervaly pomocou grafu

    (infinity,0){\displaystyle (-nekonečno,0)}

    a

    (0,infinity){\displaystyle (0,nekonečno)}

    . Inflexný bod je teda v bode 0.


Zahrnúť body, v ktorých je derivácia neurčitá. Pri riešení inflexného bodu musíte hľadať prípady, keď je druhá derivácia rovná 0 a keď je druhá derivácia neurčitá. Ak hľadáte len tie, kde je druhá derivácia rovná 0, je pravdepodobné, že dostanete nesprávnu odpoveď.[11]

  • Ak by ste napríklad dostali za úlohu zistiť, či
    h(x)=x2+4x{\displaystyle h(x)=x^{2}+4x}

    má inflexný bod, mali by ste uvažovať

    h{\displaystyle h^{\prime \prime }}

    , NIE

    h{\displaystyle h^{\prime }}

    . Je to preto, lebo

    h{\displaystyle h^{\prime \prime }}

    je druhá derivácia, zatiaľ čo

    h{\displaystyle h^{\prime }}

    je relatívny minimálny bod (ktorý tu nehľadáte).


Analyzujte druhú deriváciu, nie prvú. Pri hľadaní inflexných bodov by ste mali vždy uvažovať druhú deriváciu. Ak budete uvažovať prvú, vaša odpoveď vám poskytne namiesto extrémnych bodov.[12]

  • Napríklad, ak sú vaše možné inflexné body
    x=1{\displaystyle x=-1}

    a

    x=7,{\displaystyle x=7,}

    by ste testovali hodnoty x pri

    (infinity,1),(1,7),{\displaystyle (-nekonečno,-1),(-1,7),}

    a

    (7,infinity).{\displaystyle (7,nekonečno).}

    To by vám povedalo, že vaša druhá derivácia má inflexné body v oboch

    x=1{\displaystyle x=-1}

    A

    x=7.{\displaystyle x=7.}

Metóda 5 z 5:Použitie vedeckej kalkulačky


Prejdite na svoj „Plots.“ Na väčšine vedeckých kalkulačiek to znamená, že stlačíte kosoštvorec alebo druhé tlačidlo a potom kliknete na F1. Tým by ste sa mali dostať na grafy Y, kde môžete zadať až 7 hodnôt.[13]

  • Toto platí pre TI-84 aj TI-89, ale na starších modeloch to nemusí byť úplne rovnaké.


Zadajte funkciu do y1. Vymažte všetky zvyšné funkcie, ktoré ste mali v grafoch y, a potom do kalkulačky zadajte funkciu za znamienkom rovnosti. Nezabudnite zachovať všetky zátvorky, ktoré sú súčasťou funkcie, aby vaša odpoveď bola správna.[14]

  • Funkcia môže byť napríklad
    y1=x39/2x212x+3{\displaystyle y1=x^{3}-9/2x^{2}-12x+3}


Kliknite na „graf.“ Na väčšine kalkulačiek to bude „diamant“ alebo „sekunda“, potom F3. Ak musíte upraviť okno na kalkulačke, stlačte „diamant“ alebo „sekundu“, potom F2 a vyberte „štandardné zväčšenie“.“[15]

  • Nemajte obavy, ak sa na obrazovke ešte nezobrazuje celý graf – budete ho môcť upraviť.


Upravte okno, kým neuvidíte celý graf. Keď otvoríte okno s grafom, nemusí byť vidieť celá krivka vášho grafu. Ak je to tak, kliknite na tlačidlo „diamant“ alebo „druhé“ tlačidlo, potom znovu otvorte F2 pre zväčšenie. Môžete zväčšovať a zmenšovať minimálnu a maximálnu os, aby ste zistili, kam sa váš graf zmestí do okna.[16]

  • Možno sa budete musieť niekoľkokrát vrátiť a upraviť to, pretože môže byť ťažké zistiť, kde presne sa váš graf nachádza.


Kliknite na „Math“ a potom na „Inflection.“ Stlačte tlačidlo „diamant“ alebo „druhý“, potom vyberte F5, čím otvoríte „Math.“ V rozbaľovacej ponuke vyberte možnosť s nápisom „Inflection.“[17]

  • Toto je – hádate správne – ako povedať kalkulačke, aby vypočítala inflexné body.

  • Umiestnite kurzor na dolnú a hornú hranicu inflexie. Vaša kalkulačka vám zobrazí správu „Nižšie?“ Presúvajte šípky na kalkulačke, kým sa kurzor nenachádza naľavo od inflexného bodu (musíte matne vedieť, kde sa na grafe nachádza). Potom sa vaša kalkulačka spýta „Horná?“ Presuňte kurzor tak, aby sa nachádzal napravo od inflexného bodu, a potom stlačte „Enter.“[18]

    • Takto prinútite kalkulačku, aby odhadla, kde sa inflexný bod nachádza. Teraz máte odpoveď!
  • Odkazy