5 spôsobov použitia Cramerovho pravidla

Riešenie lineárnych rovníc môže byť trochu zdĺhavé – ale nemusí byť! Pomocou Cramerovho pravidla môžete súčasne riešiť 3 samostatné premenné bez toho, aby ste museli riešiť celú sústavu rovníc. Po nájdení matíc môžete použiť jednoduché násobenie, sčítanie a odčítanie na riešenie x, y a z.

Otázka 1 z 5:Na čo sa používa Cramerovo pravidlo?


  • Používa sa na riešenie jednej z premenných vo viacerých rovniciach. Ak máte sústavu viacerých lineárnych rovníc (zvyčajne je to sústava 3), môžete použiť Cramerovo pravidlo na riešenie premennej bez toho, aby ste museli riešiť každú jednu rovnicu. Považujte to za skratku, ktorá vám umožní získať jednu potrebnú sústavu namiesto toho, aby ste trávili čas riešením každej rovnice.[1]
  • Otázka 2 z 5:Ako sa počíta Cramerovo pravidlo?


  • Cramerovo pravidlo je definované ako

    x=Dx/D,y=Dy/D,z=Dz/D{\displaystyle x=Dx/D,y=Dy/D,z=Dz/D}

    . To znamená, že môžete nájsť premenné x, y a z pomocou Cramerovho pravidla. V každom prípade,

    D{\displaystyle D}

    znamená „determinant“ a môžete ho nájsť pomocou hodnôt x, y a z v rovnici.[2]

  • Otázka 3 z 5:Ako nájdete determinanty pomocou Cramerovho pravidla?


    Nájdite determinanty kategorizáciou hodnôt x, y a z. Determinanty sú koeficienty vo vašich rovniciach alebo čísla vynásobené premennou. Použime napríklad rovnice:

    2x+y+z=3,xyz=0,x+2y+z=0{\displaystyle 2x+y+z=3,x-y-z=0,x+2y+z=0}

    . Ak chcete použiť Cramerovo pravidlo, nastavte si determinanty alebo čísla do matice 3 x 3 alebo do malého políčka. Vo vyššie uvedených rovniciach by políčko vyzeralo takto:

    D=2,1,1,1,1,1,1,2,1{\displaystyle D=2,1,1,1,-1,1,1,2,1}

    . Čísla sú všetky hodnoty z každej z 3 rovníc.[3]

    Nahraďte hodnoty stĺpca x hodnotami stĺpca s odpoveďou. Teraz je čas určiť, čo

    Dx{\displaystyle Dx}

    je. Ak to chcete urobiť, vezmite si

    D{\displaystyle D}

    a nahraďte stĺpec x (ten najviac vľavo) odpoveďami z vašich pôvodných 3 rovníc. Takže,

    Dx=3,1,1,0,1,1,0,2,1{\displaystyle Dx=3,1,1,0,-1,-1,0,2,1}

    . Toto je váš koeficientový determinant alebo čísla, ktoré použijete na riešenie premennej x.[4]

    • Tento postup zopakujte pre y a z, aby ste zistili Dy a Dz. Napríklad vo vyššie uvedených rovniciach,
      Dy=2,3,1,1,0,1,1,0,1{\displaystyle Dy=2,3,1,1,0,-1,1,0,1}

      a

      Dz=2,1,3,1,1,0,1,2,0{\displaystyle Dz=2,1,3,1,-1,0,1,2,0}

      .

    Otázka 4 z 5:Ako vyriešiť 3 rovnice pomocou Cramerovho pravidla?


    Rozšírte determinanty prepísaním prvých 2 stĺpcov. Aby ste mohli použiť Cramerovo pravidlo, musíte svoje determinanty 3 x 3 premeniť na mriežku 5 x 3. Ak pracujete napríklad s

    D=2,1,1,1,1,1,1,2,1{\displaystyle D=2,1,1,1,-1,-1,1,2,1}

    , pridať

    2,1,1,{\dispozícia 2,1,1,}

    a

    1,1,2{\displaystyle 1,-1,2}

    na konci, aby ste vytvorili

    D=2,1,1,2,1,1,1,1,1,11,2,1,1,2{\displaystyle D=2,1,1,2,1,1,-1,-1,1,-11,2,1,1,2}

    .[5]

    Vynásobte pozdĺž uhlopriečok smerom nadol a nahor. Aby ste mohli použiť Cramerovo pravidlo, musíte mriežku 5 x 3 zjednodušiť pomocou násobenia. Pozrite sa na svoju rozšírenú škatuľku determinantov. Prechádzajte a násobte pozdĺž uhlopriečok smerom nadol a zapisujte čísla pod rámček, aby ste ich mali na očiach. Potom prejdite a vynásobte pozdĺž uhlopriečok smerom nahor, pričom svoje odpovede napíšte nad rámček.[6]

    • Napríklad vo vyššie uvedenom rámčeku sú uhlopriečky smerom nadol:
      (2)(1)(1)=2,(1)(1)(1)=1,(1)(1)(2)=2{\displaystyle (2)(-1)(1)=-2,(1)(-1)(1)=-1,(1)(1)(2)=2}

      .

    • Uhlopriečky smerom nahor sú:
      (1)(1)(1)=1,(2)(1)(2)=4,(1)(1)(1)=1{\displaystyle (1)(-1)(1)=-1,(2)(-1)(2)=-4,(1)(1)(1)=1}

      .

    Sčítaj uhlopriečky smerom nadol a odčítaj uhlopriečky smerom nahor. Cramerovo pravidlo hovorí, že môžeme použiť naše vynásobené čísla na nájdenie premennej, ktorú potrebujeme. V našom príklade by rovnica vyzerala takto:

    (2)+(1)+2(1)(4)1=3{\displaystyle (-2)+(-1)+2-(-1)-(-4)-1=3}

    . Preto,

    D=3{\displaystyle D=3}

    .[7]

    Dosadíme čísla do rovnice Cramerovho pravidla. Prejdite a vykonajte vyššie uvedené kroky pre

    Dx,Dy,{\displaystyle Dx,Dy,}

    a

    Dz{\displaystyle Dz}

    . Potom svoje odpovede doplňte do rovnice

    x=Dx/D,y=Dy/D,z=Dz/D{\displaystyle x=Dx/D,y=Dy/D,z=Dz/D}

    na riešenie všetkých troch.[8]

    • Ak pracujeme s naším príkladom uvedeným vyššie, môžeme premenné Dx, Dy a Dz rozšíriť rovnakým spôsobom. Po vynásobení cez uhlopriečky smerom nahor a nadol dostaneme:
      Dx=(3)+(0)+(0)(0)(6)(0)=3{\displaystyle Dx=(-3)+(0)+(0)-(0)-(-6)-(0)=3}

      ,

      Dy=(0)+(3)+(0)(0)(0)(3)=6{\displaystyle Dy=(0)+(-3)+(0)-(0)-(0)-(3)=-6}

      ,

      Dz=(0)+(0)+(6)(3)(0)(0)=9{\displaystyle Dz=(0)+(0)+(6)-(-3)-(0)-(0)=9}

      .

    • Po dosadení odpovedí do Cramerovho pravidla vyzerá naša rovnica takto:
      x=3/3,y=6/3,z=9/3{\displaystyle x=3/3,y=-6/3,z=9/3}

      .

    • Vyriešte rovnicu a dostanete:
      x=1,y=2,z=3{\displaystyle x=1,y=-2,z=3}

      .

    Otázka 5 z 5:Čo by ste mali urobiť, ak D = 0?


  • Ak je D = 0, nemôžete použiť Cramerovo pravidlo. Bohužiaľ, D = 0 znamená, že rovnice nemajú jedinečné riešenie (riešenie je nekonečné). Skúste namiesto toho na riešenie rovníc použiť operácie s riadkami matice.[9]

    • Ak sa práve začínate učiť Cramerovo pravidlo, nebudete sa musieť v dohľadnej dobe zaoberať D = 0.
  • Odkazy