5 spôsobov výpočtu čísla pí

Pí (π) je jedno z najdôležitejších a najfascinujúcejších čísel v matematike. Približne 3.14 je konštanta, ktorá sa používa na výpočet obvodu kruhu z polomeru alebo priemeru tohto kruhu.[1]
Je to tiež iracionálne číslo, čo znamená, že sa dá vypočítať na nekonečný počet desatinných miest bez toho, aby sa niekedy opakoval.[2]
To sťažuje, ale nie znemožňuje presný výpočet.

Metóda 1 z 5:
Výpočet čísla pí pomocou rozmerov kruhu


Uistite sa, že používate dokonalý kruh. Táto metóda nebude fungovať s elipsami, oválami alebo čímkoľvek iným ako skutočným kruhom. Kruh je definovaný ako všetky body roviny, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od jedného stredového bodu. Viečka pohárov sú dobrými domácimi predmetmi, ktoré sa dajú použiť na toto cvičenie. Mali by ste byť schopní vypočítať pí približne, pretože na získanie presných výsledkov pí budete potrebovať veľmi tenké olovo (alebo čokoľvek, čo používate). Aj tá najostrejšia grafitová ceruzka by mohla byť obrovská, aby mala presné výsledky.


Čo najpresnejšie zmerajte obvod kruhu. Obvod je dĺžka, ktorá prechádza celým okrajom kruhu. Keďže obvod je kruhový, môže byť ťažké ho zmerať (preto je pí také dôležité).

  • Položte šnúrku na kružnicu tak blízko, ako to len dokážete. Označte si miesto, kde reťazec obieha, a potom pravítkom zmerajte dĺžku reťazca.


Zmerajte priemer kruhu. Priemer prechádza z jednej strany kruhu na druhú cez stredový bod kruhu.


Použite vzorec. Obvod kruhu sa nájde pomocou vzorca C= π*d = 2*π*r. Pí sa teda rovná obvodu kruhu delenému jeho priemerom. Vložte svoje čísla do kalkulačky: výsledok by mal byť približne 3.14.[3]


Tento postup zopakujte s niekoľkými rôznymi kružnicami a potom výsledky spriemerujte. Takto získate presnejšie výsledky. Vaše merania nemusia byť na danom kruhu dokonalé, ale časom by sa mali spriemerovať na celkom presný výpočet čísla pí.

Metóda 2 z 5:Výpočet čísla pí pomocou nekonečného radu


Použite Gregoryho-Leibnizov rad. Matematici našli niekoľko rôznych matematických radov, ktoré, ak sa vykonávajú donekonečna, presne vypočítajú pí na veľký počet desatinných miest. Niektoré z nich sú také zložité, že na ich spracovanie sú potrebné superpočítače. Jedným z najjednoduchších je však Gregorov-Leibnizov rad. Aj keď to nie je veľmi efektívne, s každou iteráciou sa to bude stále viac približovať k číslu pí, pričom pri 500 000 iteráciách sa presne vypočíta číslo pí na päť desatinných miest.[4]
Tu je vzorec na použitie.

  • π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15) …
  • Vezmite 4 a odčítajte 4 delené 3. Potom pridajte 4 delené 5. Potom odčítajte 4 delené 7. Pokračujte v striedavom sčítaní a odčítaní zlomkov s čitateľom 4 a menovateľom každého nasledujúceho nepárneho čísla. Čím viackrát to urobíte, tým viac sa priblížite k číslu pí.


Vyskúšajte Nilakanthov rad. Toto je ďalší nekonečný rad na výpočet pí, ktorý je pomerne jednoduchý na pochopenie. Hoci je o niečo zložitejší, konverguje k číslu pí oveľa rýchlejšie ako Leibnizov vzorec.[5]

  • π = 3 + 4/(2*3*4) – 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) – 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) – 4/(12*13*14) …
  • Pre tento vzorec vezmite tri a začnite striedavo sčítavať a odčítavať zlomky s čitateľmi 4 a menovateľmi, ktoré sú súčinom troch po sebe idúcich celých čísel, ktoré sa každou novou iteráciou zväčšujú. Každý ďalší zlomok začína svoju množinu celých čísel najvyšším číslom použitým v predchádzajúcom zlomku. Vykonajte to aj niekoľkokrát a výsledky sa dosť priblížia k číslu pí.

Metóda 3 z 5:Výpočet čísla pí pomocou Buffonovej ihly


Vyskúšajte tento experiment na výpočet čísla pí pomocou hádzania hotdogov. Ukázalo sa, že číslo pí má svoje miesto aj v zaujímavom myšlienkovom experimente nazvanom Buffonov problém s ihlou,[6]
ktorého cieľom je určiť pravdepodobnosť, že náhodne hodené rovnomerné podlhovasté predmety dopadnú buď medzi rovnobežné čiary na podlahe, alebo ich pretnú. Ukázalo sa, že ak je vzdialenosť medzi čiarami rovnaká ako dĺžka hádzaných predmetov, na výpočet čísla pí sa dá použiť počet prípadov, keď predmety dopadnú cez čiary z veľkého počtu hodov. Pozrite si vyššie uvedený odkaz na článok WikiHow, kde nájdete zábavné rozobratie tohto experimentu pomocou hodeného jedla.

  • Vedci a matematici neprišli na spôsob, ako presne vypočítať číslo pí, pretože sa im nepodarilo nájsť taký tenký materiál, ktorý by fungoval na presné výpočty.[7]

Metóda 4 z 5:Výpočet pí pomocou limitu


Vyberte si veľké číslo. Čím väčšie číslo, tým presnejší bude váš výpočet.


Do tohto vzorca dosaďte svoje číslo, ktoré nazveme x, a vypočítajte číslo pí: x * sin(180 / x). Aby to fungovalo, uistite sa, že vaša kalkulačka je nastavená na stupne. Dôvod, prečo sa tento vzorec nazýva Limit, je ten, že jeho výsledok je „obmedzený“ na hodnotu pí. Keď budete zvyšovať číslo x, výsledok sa bude čoraz viac približovať k hodnote pí.

Metóda 5 z 5:Použitie funkcie Arcsine/Inverzná funkcia sínus


Vyberte si ľubovoľné číslo od -1 do 1. Je to preto, že funkcia Arcsin je nedefinovaná pre argumenty väčšie ako 1 alebo menšie ako -1.


  • Dosaďte svoje číslo do nasledujúceho vzorca a výsledok sa bude približne rovnať číslu pí.

    • pi = 2 * (Arcsin(sqrt(1 – x^2)) + abs(Arcsin(x))).
      • Arcsin sa vzťahuje na inverzný sínus v radiánoch
      • Sqrt je skratka pre druhú odmocninu
      • Abs je skratka pre absolútnu hodnotu
      • x^2 znamená exponent, v tomto prípade x na druhú.
  • Odkazy