5 spôsobov výpočtu polčasu rozpadu

Polčas rozpadu látky je čas, za ktorý sa množstvo látky zníži o polovicu. Pôvodne sa používala na opis rozpadu rádioaktívnych prvkov, ako je urán alebo plutónium, ale možno ju použiť pre akúkoľvek látku, ktorá podlieha rozpadu podľa stanovenej alebo exponenciálnej rýchlosti. Polčas rozpadu ľubovoľnej látky môžete vypočítať, ak je daná rýchlosť rozpadu, ktorá predstavuje počiatočné množstvo látky a množstvo, ktoré zostane po meranom čase.[1]

Metóda 1 z 5:Pochopenie polčasu rozpadu


Čo je polčas rozpadu? Pojem „polčas rozpadu“ sa vzťahuje na čas, za ktorý sa polovica východiskovej látky rozpadne alebo zmení. Najčastejšie sa používa pri rádioaktívnom rozpade na zistenie, kedy látka už nie je pre človeka škodlivá.[2]

  • Prvky ako urán a plutónium sa najčastejšie študujú s ohľadom na polčas rozpadu.


Ovplyvňuje teplota alebo koncentrácia polčas rozpadu? Krátka odpoveď je nie. Zatiaľ čo chemické zmeny sú niekedy ovplyvnené prostredím alebo ich koncentráciou, každý rádioaktívny izotop má svoj vlastný jedinečný polčas rozpadu, ktorý nie je týmito zmenami ovplyvnený.[3]

  • Preto môžete vypočítať polčas rozpadu konkrétneho prvku a s istotou vedieť, ako rýchlo sa rozpadne bez ohľadu na to, čo sa stane.


Môže sa polčas rozpadu použiť pri datovaní uhlíka? Áno! Uhlíkové datovanie alebo určenie veku veci na základe množstva uhlíka, ktoré obsahuje, je veľmi praktický spôsob využitia polčasu rozpadu. Každá živá bytosť prijíma uhlík počas života, takže keď zomrie, má v tele určité množstvo uhlíka. Čím dlhšie sa rozpadá, tým menej je v ňom uhlíka, čo sa dá použiť na datovanie organizmu na základe polčasu rozpadu uhlíka.[4]

  • Z technického hľadiska existujú 2 druhy uhlíka: uhlík-14, ktorý sa rozpadá, a uhlík-12, ktorý zostáva konštantný.

Metóda 2 z 5:Naučte sa rovnicu polčasu rozpadu


Pochopte exponenciálny rozpad. Exponenciálny rozpad nastáva vo všeobecnej exponenciálnej funkcii

f(x)=ax,{\displaystyle f(x)=a^{x},}

kde

|a|<1.{\displaystyle |a|<1.}

[5]

  • Inými slovami, ako
    x{\displaystyle x}

    sa zvyšuje,

    f(x){\displaystyle f(x)}

    klesá a blíži sa k nule. Toto je presne ten typ vzťahu, ktorým chceme opísať polčas rozpadu. V tomto prípade chceme

    a=12,{\displaystyle a={\frac {1}{2}},}

    takže máme vzťah

    f(x+1)=12f(x).{\displaystyle f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x).}


Funkciu prepíšte v tvare polčasu rozpadu. Samozrejme, naša funkcia nezávisí od všeobecnej premennej

x,{\displaystyle x,}

ale čas

t.{\displaystyle t.}

[6]

  • f(t)=(12)t{\displaystyle f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}}
  • Samotné nahradenie premennej nám však nepovie všetko. Stále musíme brať do úvahy skutočný polčas rozpadu, ktorý je pre naše účely konštantný.
  • Potom by sme mohli pridať polčas rozpadu
    t1/2{\displaystyle t_{1/2}}

    do exponentu, ale musíme si dať pozor na to, ako to urobíme. Ďalšou vlastnosťou exponenciálnych funkcií vo fyzike je, že exponent musí byť bezrozmerný. Keďže vieme, že množstvo látky závisí od času, musíme ho potom vydeliť polčasom rozpadu, ktorý sa tiež meria v jednotkách času, aby sme dostali bezrozmernú veličinu.

  • Z toho tiež vyplýva, že
    t1/2{\displaystyle t_{1/2}}

    a

    t{\displaystyle t}

    sa merajú aj v rovnakých jednotkách. Ako takú dostaneme funkciu uvedenú nižšie.

  • f(t)=(12)tt1/2{\displaystyle f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}}


Zahrňte počiatočnú hodnotu. Samozrejme, naša funkcia

f(t){\displaystyle f(t)}

) je len relatívna funkcia, ktorá meria množstvo látky, ktoré zostane po určitom čase ako percento z počiatočného množstva. Jediné, čo musíme urobiť, je doplniť počiatočné množstvo

N0.{\displaystyle N_{0}.}

Teraz máme vzorec pre polčas rozpadu látky.[7]

  • N(t)=N0(12)tt1/2{\displaystyle N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}}


Riešenie polčasu rozpadu. Uvedený vzorec v zásade opisuje všetky premenné, ktoré potrebujeme. Ale predpokladajme, že sme sa stretli s neznámou rádioaktívnou látkou. Je ľahké priamo zmerať hmotnosť pred a po uplynutí času, ale nie jej polčas rozpadu. Vyjadrime teda polčas rozpadu v termínoch ostatných meraných (známych) premenných. Týmto spôsobom sa nevyjadruje nič nové; je to skôr otázka pohodlia. Nižšie si postupne prejdeme tento proces.[8]

  • Obe strany vydelíme počiatočným množstvom
    N0.{\displaystyle N_{0}.}
    • N(t)N0=(12)tt1/2{\displaystyle {\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}}
  • Vezmite logaritmus so základom
    12,{\displaystyle {\frac {1}{2}},}

    oboch strán. Tým sa exponent zníži.

    • log1/2(N(t)N0)=tt1/2{\displaystyle \log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}}
  • Obe strany vynásobte
    t1/2{\displaystyle t_{1/2}}

    a vydeľte obe strany celou ľavou stranou, aby ste vyriešili polčas rozpadu. Keďže v konečnom výraze sú logaritmy, na riešenie problémov s polčasom rozpadu budete pravdepodobne potrebovať kalkulačku.

    • t1/2=tPrihlásiť sa1/2(N(t)N0){\displaystyle t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\levo({\frac {N(t)}{N_{0}}}vpravo)}}}

Metóda 3 z 5:Výpočet polčasu rozpadu z grafu


Odčítajte pôvodnú rýchlosť počítania pri 0 dňoch. Pozrite sa na svoj graf a nájdite počiatočný bod alebo značku 0 dní na osi x. Značka 0 dní je tesne pred začiatkom rozpadu materiálu, takže je v pôvodnom bode.[9]

  • Na grafoch polčasu rozpadu sa na osi x zvyčajne zobrazuje časová os, zatiaľ čo na osi y sa zvyčajne zobrazuje rýchlosť rozpadu.


Znížte pôvodnú rýchlosť počítania o polovicu a vyznačte ju na grafe. Počnúc vrcholom krivky zaznamenajte početnosť na osi y. Potom toto číslo vydeľte 2, aby ste dostali číslo v polčase. Označte tento bod na grafe vodorovnou čiarou.[10]

  • Ak je napríklad počiatočný bod 1 640, vydeľte 1 640 / 2 a dostanete 820.
  • Ak pracujete s pologuľatým grafom, čo znamená, že početnosť nie je rovnomerne rozložená, budete musieť vziať logaritmus ľubovoľného čísla zo zvislej osi.[11]


Nakreslite z krivky zvislú čiaru smerom nadol. Od polovice bodu, ktorý ste práve vyznačili na grafe, nakreslite druhú čiaru smerujúcu nadol, až kým sa nedotkne osi x. Dúfajme, že sa čiara bude dotýkať ľahko čitateľného čísla, ktoré dokážeš identifikovať.[12]


Odčítajte polčas rozpadu v mieste, kde čiara pretína časovú os. Pozrite sa na bod, ktorého sa vaša čiara dotkla, a prečítajte si, kde na časovej osi sa dotýka. Keď určíte bod na časovej osi, zistili ste polčas rozpadu.[13]

Metóda 4 z 5:Použitie kalkulačky/počítača


Určte 3 zo 4 príslušných hodnôt. Ak riešite polčas rozpadu, potrebujete poznať počiatočné množstvo, zostávajúce množstvo a čas, ktorý uplynul. Potom môžete použiť ľubovoľnú online kalkulačku na určenie polčasu rozpadu.[14]

  • Ak poznáte polčas rozpadu, ale nepoznáte počiatočné množstvo, môžete zadať polčas rozpadu, zostávajúce množstvo a čas, ktorý uplynul. Pokiaľ poznáte 3 zo 4 hodnôt, budete môcť použiť kalkulačku polčasu rozpadu.


Vypočítajte konštantu rozpadu pomocou kalkulačky polčasu rozpadu. Ak chcete vypočítať, ako starý je organizmus, môžete zadať polčas rozpadu a strednú dobu života, aby ste získali rozpadovú konštantu. Toto je skvelý nástroj, ktorý sa dá použiť na datovanie uhlíka alebo na určenie dĺžky života organizmu.[15]

  • Ak nepoznáte polčas rozpadu, ale poznáte rozpadovú konštantu a strednú dobu života, môžete namiesto toho zadať tieto údaje. Rovnako ako pri počiatočnej rovnici, aj tu stačí poznať 2 z 3 hodnôt, aby ste získali tretiu hodnotu.


Načrtnite rovnicu polčasu rozpadu na grafickej kalkulačke. Ak poznáte svoju rovnicu polčasu rozpadu a chcete ju znázorniť v grafe, otvorte si grafy Y a zadajte rovnicu do Y-1. Potom stlačením tlačidla „graf“ otvorte graf a upravte okno, kým neuvidíte celú krivku. Nakoniec presuňte kurzor nad a pod stredný bod grafu, aby ste získali polčas rozpadu.[16]

  • Toto je užitočný vizuálny obrázok, ktorý môže byť užitočný, ak sa vám nechce riešiť všetky rovnice.

Metóda 5 z 5:Polčas riešenia úloh a odpovedí Príklady


Úloha 1. 300 g neznámej rádioaktívnej látky sa po 180 sekundách rozpadne na 112 g. Aký je polčas rozpadu tejto látky?

  • Riešenie: poznáme počiatočné množstvo

    N0=300 g,{\displaystyle N_{0}=300{\rm {\ g}},}

    konečné množstvo

    N=112 g,{\displaystyle N=112{\rm {\ g}},}

    a uplynulý čas

    t=180 s.{\displaystyle t=180{\rm {\ s}}.}
  • Pripomeňte si vzorec pre polčas rozpadu
    t1/2=tlog1/2(N(t)N0).{\displaystyle t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\levice({\frac {N(t)}{N_{0}}}pravica)}}.}

    Polčas rozpadu je už izolovaný, takže stačí nahradiť príslušné premenné a vyhodnotiť.

    • t1/2=180 slog1/2(112 g300 g)127 s{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}{\log _{1/2}\levo({\frac {112{\rm {\ g}}{300{\rm {\ g}}}}\vpravo)}}}&\aprox 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}
  • Skontrolujte, či riešenie dáva zmysel. Keďže 112 g je menej ako polovica z 300 g, musel uplynúť aspoň jeden polčas rozpadu. Naša odpoveď sedí.


Problém 2. Jadrový reaktor vyrobí 20 kg uránu-232. Ak je polčas rozpadu uránu 232 približne 70 rokov, za ako dlho sa rozpadne na 0.1 kg?

  • Riešenie: Poznáme počiatočné množstvo

    N0=20 kg,{\displaystyle N_{0}=20{\rm {\ kg}},}

    konečné množstvo

    N=0.1 kg,{\displaystyle N=0.1{\rm {\ kg}},}

    a polčas rozpadu uránu 232

    t1/2=70 years.{\displaystyle t_{1/2}=70{\rm {\ rokov}}.}
  • Prepíšte vzorec pre polčas rozpadu na riešenie času.
    • t=(t1/2)log1/2(N(t)N0){\displaystyle t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}
  • Nahraďte a vyhodnoťte.
  • t=(70 years)log1/2(0.1 kg20 kg)535 years{\displaystyle {\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ rokov}})\log _{1/2}\levo({\frac {0.1{\rm {\ kg}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\aprox 535{\rm {\ rokov}}}koniec {zarovnaný}}
  • Nezabudnite si intuitívne overiť, či vaše riešenie dáva zmysel.


Úloha 3. Os-182 má polčas rozpadu 21.5 hodín. Koľko gramov z 10.0 gramová vzorka by sa rozpadla presne po 3 polčasoch rozpadu?[17]

  • Riešenie:

    (1/2)3=0.125{\displaystyle (1/2)^{3}=0.125}

    (množstvo zostávajúce po 3 polčasoch)

  • 10.0gx0.125=1.25g{\displaystyle 10.0gx0.125=1.25g}

    zostať

  • 10g1.25g=8.75g{\displaystyle 10g-1.25g=8.75g}

    sa rozpadli

  • Pre túto konkrétnu rovnicu skutočná dĺžka polčasu rozpadu nezohráva úlohu.

  • Úloha 4. Rádioaktívny izotop sa po 60 minútach rozpadne na 17/32 svojej pôvodnej hmotnosti. Nájdite polčas rozpadu tohto rádioizotopu.[18]

    • Riešenie:

      17/32=0.53125{\displaystyle 17/32=0.53125}

      (toto je desatinné číslo, ktoré zostáva)

    • (1/2)n=0.53125{\displaystyle (1/2)n=0.53125}
    • nlog0.5=log0.53125{\displaystyle nlog0.5=log0.53125}
    • n=0.91254{\displaystyle n=0.91254}

      (to je počet polčasov, ktoré uplynuli)

    • 60min/0.91254=65.75min{\displaystyle 60min/0.91254=65.75min}
    • n=66min{\displaystyle n=66min}

      (do 2 sig. obr.)

  • Odkazy