5 spôsobov výpočtu pravdepodobnosti na viacerých kockách

Veľa ľudí si myslí, že ak hodíte tromi šesťstennými kockami, máte rovnakú šancu, že padne trojka, ako keď padne desiatka. To však nie je tento prípad a tento článok vám ukáže, ako vypočítať priemer a štandardnú odchýlku súboru kociek.

Naučte sa terminológiu mechaniky kociek. Kocky majú zvyčajne 6 strán, ale bežne sa vyskytujú aj d2(mince), d4(3-stranné pyramídy), d8(oktaedre), d10(dekaedre), d12(dodekaedre) a d20(ikosaedre). Hod kockou sa riadi formátom (počet kociek) (skrátený identifikátor kocky), takže 2d6 by bol hod dvoma šesťstennými kockami. V tomto článku sa v niektorých vzorcoch predpokladá, že n = počet rovnakých kociek a r = počet strán na každej kocke s číslom 1 až r, a „k“ je hodnota kombinácie.[1]
Existuje niekoľko metód na výpočet pravdepodobnosti každého súčtu.

Pravdepodobnostný graf


Graf pravdepodobnosti na kockách

Podpora wikiHow a odomknúť všetky príklady.

Metóda 1 zo 4: Výpočet


Zapíšte si počet kociek, ich strany a požadovaný súčet.


Vypočítajte všetky spôsoby, ktorými možno dosiahnuť súčet. Pri veľkom počte kociek to môže byť zdĺhavé, ale je to pomerne jednoduché. To je ekvivalentné nájdeniu všetkých rozdelení k na presne n častí, pričom žiadna časť nie je väčšia ako r. Ako príklad je uvedený príklad pre n=5, r=6 a k=12. Aby sa zabezpečilo, že počet je vyčerpávajúci a že žiadny oddiel nie je započítaný dvakrát, oddiely sa uvádzajú v lexikografickom poradí a kocky v každom oddiele v neklesajúcom poradí.


Nie všetky rozdelenia uvedené v predchádzajúcom kroku sú rovnako pravdepodobné. Preto je potrebné ich uviesť, nie len spočítať. V menšom príklade s 3 kockami pokrýva rozdelenie 123 6 možností (123, 132, 213, 231, 312, 321), zatiaľ čo rozdelenie 114 pokrýva len 3 (114, 141, 411) a 222 zahŕňa len seba samého. Na výpočet počtu spôsobov permutácie číslic v každom oddiele použite multinomický vzorec. Táto informácia bola pridaná do tabuľky z predchádzajúcej časti.[2]


Sčítaním celkového počtu spôsobov získame požadovaný súčet.


Vydelte celkovým počtom výsledkov. Keďže každá kocka má r rovnako pravdepodobných plôch, je to jednoducho rn.

Metóda 2 zo 4: Rekurzia

Táto metóda dáva pravdepodobnosť všetky súčty pre všetky počty kociek. Dá sa jednoducho implementovať do tabuľkového procesora.


Všimnite si pravdepodobnosti výsledkov jednej kocky. Zaznamenajte ich do tabuľky. V uvedenom príklade sa používajú šesťstenné kocky. Prázdne riadky pre záporné súčty sa považujú za nuly a umožňujú použiť rovnaký vzorec vo všetkých riadkoch.[3]


V stĺpci pre 2 kocky použite uvedený vzorec. To znamená, že pravdepodobnosť, že 2 kocky ukážu akýkoľvek súčet k, sa rovná súčtu týchto udalostí. Pre veľmi vysoké alebo nízke hodnoty k môžu byť niektoré alebo všetky tieto členy nulové, ale vzorec platí pre všetky k.

  • Prvá kocka ukazuje k-1 a druhá ukazuje 1.
  • Prvá kocka ukazuje k-2 a druhá ukazuje 2.
  • Prvá kocka ukazuje k-3 a druhá ukazuje 3.
  • Prvá kocka ukazuje k-4 a druhá ukazuje 4.
  • Prvá kocka ukazuje k-5 a druhá ukazuje 5.
  • Prvá kocka ukazuje k-6 a druhá 6.


Podobne, pre tri alebo viac kociek, stále platí rovnaký vzorec s použitím teraz známych pravdepodobností pre každý daný súčet na jednej kocke menej. Vzorec zadaný v druhom kroku sa teda môže vypĺňať smerom nadol aj dopredu, kým tabuľka nebude obsahovať toľko údajov, koľko je potrebné.


Uvedená tabuľka počíta „počet spôsobov“, nie „pravdepodobnosť“, ale prevod medzi nimi je jednoduchý: pravdepodobnosť = počet spôsobov / r^n kde r je počet strán na každej kocke a n je počet kociek. Tabuľku možno prípadne upraviť tak, aby sa pravdepodobnosť počítala priamo.

Metóda 3 zo 4:Generovanie funkcií


Napíšte polynóm, (1/r)(x + x2 + ... + xr). Toto je generujúca funkcia pre jednu kocku. Koeficient výrazu xk je pravdepodobnosť, že kocka ukáže k.[4]


Zvýšte tento polynóm na n-tú mocninu, aby ste dostali príslušnú generujúcu funkciu pre súčet zobrazený na n kockách. Teda vypočítajte (1/rn)(x + x2 + … + xr)n. Ak je n väčšie ako približne 2, pravdepodobne to budete chcieť urobiť na počítači.


Výpočtovo je to ekvivalentné s predchádzajúcou metódou, ale niekedy je teoretické výsledky jednoduchšie odvodiť pomocou generujúcej funkcie. Napríklad hod dvoma obyčajnými šesťstennými kockami má presne rovnaké rozloženie súčtov ako kocka označená (1, 2, 2, 3, 3, 4) a iná označená (1, 3, 4, 5, 6, 8). Je to preto, že (x+x2 +x2+x3+x3+x4)(x+x3 +x4+x5+x6+x8) = (x+x2 +x3+x4+x5+x6)(x+x2 +x3+x4+x5+x6).

Metóda 4 zo 4:Spojitá aproximácia


Pri veľkom počte kociek môže byť presný výpočet uvedenými metódami zložitý. Centrálna limitná veta hovorí, že súčet počtu rovnakých kociek sa s rastúcim počtom kociek blíži k normálnemu rozdeleniu.[5]


Vypočítajte priemer a štandardnú odchýlku na základe počtu a typu kociek. Za predpokladu, že n kociek má čísla 1 až r, platia nasledujúce vzorce.

  • Priemer je (r+1)/2.
  • Rozptyl je n(r^2-1)/12.
  • Štandardná odchýlka je odmocnina z rozptylu.

  • Ako aproximáciu súčtu hodov kockou použite normálne rozdelenie s vyššie uvedeným priemerom a štandardnou odchýlkou.
  • Odkazy