5 spôsobov zjednodušenia radikálových výrazov

Radikály, nazývané aj korene, sú opakom exponentov. Dokonca znejú ako protiklady, keď o nich hovoríme nahlas: hovoríme

62{\displaystyle 6^{2}}

je „šesť štvorček„, a

6{\displaystyle {\sqrt {6}}}

je „the odmocnina šiestich“. A rovnako ako môžeme používať väčšie a väčšie exponenty, napr

3{\displaystyle ^{3}}

a

4{\displaystyle ^{4}}

, môžeme nájsť aj menšie a menšie korene, ako napr

3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{}}}

a

4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{}}}

. Pri zjednodušovaní radikálových výrazov sa používajú mnohé z tých istých trikov, ktoré ste sa naučili na predchádzajúcich hodinách matematiky pri zjednodušovaní zlomkov alebo exponentov. Ak ste v tejto téme nováčik, začnite tým, že sa naučíte zjednodušovať druhú odmocninu z celého čísla.

Metóda 1 z 5:Zjednodušenie odmocniny z celého čísla


Faktor čísla pod druhou odmocninou. Odmocninu zatiaľ ignorujte a pozrite sa len na číslo pod ňou. Faktor tohto čísla zapíšeme ako súčin dvoch menších čísel. (Ak faktory nie sú zrejmé, jednoducho sa pozrite, či sa delí rovnomerne 2. Ak sa vám to nepodarí, skúste to znova s 3, potom so 4 a tak ďalej, kým nenájdete činiteľ, ktorý funguje.)[1]

  • Príklad: Zjednodušte
    45{\displaystyle {\sqrt {45}}}

    .

  • Prvým krokom je nájdenie niektorých činiteľov čísla 45. Nemôžete deliť 45 číslom 2, preto ho skúste deliť číslom 3:
    45÷3=15{\displaystyle 45\div 3=15}

    , takže

    45=3×15{\displaystyle 45=3\times 15}

    .

  • 45=3×15{\displaystyle {\sqrt {45}}={\sqrt {3\times 15}}


Pokračujte, až kým číslo úplne nerozložíte. Pamätajte, že každé číslo sa dá rozložiť na prvočísla (ako 2, 3, 5 a 7). Pokračujte v rozkladaní činiteľov, kým už nie je potrebné nájsť ďalšie činitele.[2]

  • Teraz máme
    3×15{\displaystyle {\sqrt {3\times 15}}

    , ale môžeme opäť zohľadniť 15

    3×5{\displaystyle 3\times 5}

    .

  • 45=3×3×5{\displaystyle {\sqrt {45}}={\sqrt {3\times 3\times 5}}


Prepíšte dvojice rovnakých čísel ako mocniny 2. Ak sa ten istý činiteľ vyskytne viackrát, prepíšte ho ako exponent. (Udržujte všetko pod druhou odmocninou.)[3]

  • V
    3×3×5{\displaystyle {\sqrt {3\times 3\times 5}}

    , číslo 3 sa objaví dvakrát. Keďže

    3×3=32{\displaystyle 3\times 3=3^{2}}

    , môžeme celý výraz prepísať ako

    32×5{\displaystyle {\sqrt {3^{2}\times 5}}

    .


Vezmite všetky čísla zvýšené na mocninu 2 mimo odmocniny. Koreň a exponent sú opačné, takže sa navzájom rušia. Ak sa niektorý z činiteľov zvýši na mocninu 2, presunieme tento činiteľ pred odmocninu (a zbavíme sa exponentu).[4]

  • 32×5=325{\displaystyle {\sqrt {3^{2}\times 5}}={\sqrt {3^{2}}}{\sqrt {5}}}

    (Pokiaľ je všetko pod koreňom jeden problém násobenia, môžete výraz vždy prepísať takto, s koreňom nad každým súčinom.)

  • 325=35{\displaystyle {\sqrt {3^{2}}}{\sqrt {5}}=3{\sqrt {5}}}
  • Keďže pod druhou odmocninou už nie sú žiadne ďalšie exponenty, máte hotovo!


Zjednodušte výsledok tak, aby nezostalo žiadne násobenie. V zložitejších úlohách sa môže stať, že pred odmocninou alebo pod ňou bude viacero čísel. Vyriešte tieto úlohy na násobenie a zjednodušte odpoveď.

  • Príklad: Zjednodušte
    360{\displaystyle {\sqrt {360}}

    .

  • Na rozklad je potrebných veľa faktorov:
    360=40×9=(5×8)×(3×3)=5×2×2×2×3×3{\displaystyle {\sqrt {360}}={\sqrt {40\times 9}}={\sqrt {(5\times 8)\times (3\times 3)}}={\sqrt {5\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3}}
  • Prepíšte dvojice čísel pomocou exponentov:
    5×22×2×32{\displaystyle {\sqrt {5\krát 2^{2}\krát 2\krát 3^{2}}}}

    .

  • 2 a 3 vynesieme mimo odmocniny:
    2×3×5×2{\displaystyle 2\times 3\times {\sqrt {5\times 2}}
  • Zjednodušte čísla pred druhou odmocninou:
    65×2{\displaystyle 6{\sqrt {5\times 2}}
  • Ak chcete získať konečnú odpoveď, zjednodušte čísla pod druhou odmocninou:
    610{\displaystyle 6{\sqrt {10}}

Metóda 2 z 5:Zjednodušenie kořenov kocky a vyšších koreňov


Nájdite prvočinitele čísla pod koreňom. Rovnako ako pri odmocninách, aj pri zjednodušovaní odmocniny z kocky (

3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{}}

), štvrtý koreň (

4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{}}

), alebo akýkoľvek vyšší koreň je vynásobiť číslo pod koreňom.[5]

  • Príklad: Zjednodušte
    813{\displaystyle {\sqrt[{3}]{81}}}

    (odmocnina z 81).

  • 81=3×3×3×3{\displaystyle 81=3\krát 3\krát 3\krát 3}

    , takže

    813=3×3×3×33{\displaystyle {\sqrt[{3}]{81}}={\sqrt[{3}]{3\times 3\times 3\times 3}}}


Prepíšte skupiny rovnakých činiteľov v tvare exponentu. Ak sa ten istý prvočíselník objaví viac ako raz, prepíšte ich ako exponent.[6]

  • 3×3×3×33=343{\displaystyle {\sqrt[{3}]{3\times 3\times 3\times 3}}={\sqrt[{3}]{3^{4}}}}


Zjednodušte koreň exponentov všade, kde je to možné. Tak ako odmocnina ruší štvorec, vyššie odmocniny rušia zodpovedajúce exponenty (napr,

3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{}}

a

3{\displaystyle ^{3}}

). Pozrite si tento príklad, aby ste videli, ako to funguje: [7]

  • 343=33×33=33333{\displaystyle {\sqrt[{3}]{3^{4}}}={\sqrt[{3}]{3^{3}\times 3}}={\sqrt[{3}]{3^{3}}}{\sqrt[{3}]{3}}}
  • Keďže koreň a exponent sa zhodujú v
    333{\displaystyle {\sqrt[{3}]{3^{3}}}}

    , ), ktoré sa zrušia a zostane len základné číslo,

    3{\displaystyle 3}

    .

  • Zapojte ich do celého výrazu a dostanete
    333{\displaystyle 3{\sqrt[{3}]{3}}}

    . Keďže už nezostali žiadne exponenty, ktoré by sa mohli zrušiť, toto je zjednodušený tvar.


Zjednodušte ľubovoľné násobenie a exponenty. Často sa vám stane, že exponenty sa nezrušia alebo sa vynásobí viac ako jedno číslo. Vyriešte ich tak, aby ste dostali jedno číslo mimo radikálu a jedno číslo v ňom.

  • Príklad: Zjednodušte
    27×35×75{\displaystyle {\sqrt[{5}]{2^{7}\times 3^{5}\times 7}}

    .

  • Toto je už vynásobené prvočíslami, takže tento krok môžeme preskočiť. Prepíšeme to ako
    27535575{\displaystyle {\sqrt[{5}]{2^{7}}}{\sqrt[{5}]{3^{5}}}{\sqrt[{5}]{7}}}

    .

  • 275=25×225{\displaystyle {\sqrt[{5}]{2^{7}}}={\sqrt[{5}]{2^{5}\times 2^{2}}}}

    , podľa pravidiel o exponentoch. Koreň a exponent sa v prvom člene rušia, takže

    2225{\displaystyle 2{\sqrt[{5}]{2^{2}}}}
  • Na stránke
    355{\displaystyle {\sqrt[{5}]{3^{5}}}}

    , Koreň a exponent sa zrušia a vznikne

    3{\displaystyle 3}

    .

  • Keďže
    75{\displaystyle {\sqrt[{5}]{7}}}

    nemá žiadne exponenty, ktoré sa rušia, nemožno ho zjednodušiť.

  • Zapojte svoje zjednodušené výrazy späť do celého výrazu:
    2225×3×75{\displaystyle 2{\sqrt[{5}]{2^{2}}} 3\times {\sqrt[{5}]{7}}}
  • Kombinujte podobné členy:
    (2×3)22×75{\displaystyle (2\times 3){\sqrt[{5}]{2^{2}\times 7}}}
  • Vypočítajte násobenie a exponenty:
    6285{\displaystyle 6{\sqrt[{5}]{28}}}

Metóda 3 z 5:Zjednodušovanie zlomkov vnútri koreňov


Zjednodušte zlomok. Čo ak je celý zlomok pod koreňom? Jedným zo spôsobov riešenia takýchto problémov je najprv ignorovať radikálový výraz. Zjednodušte zlomok, ako len môžete, a potom zistite, či vám koreň umožňuje ďalšie zjednodušenie.[8]

  • Príklad: Zjednodušte
    1004{\displaystyle {\sqrt {\frac {100}{4}}}}

    .

  • 1004=25{\displaystyle {\frac {100}{4}}=25}

    , takže to môžeme prepísať ako

    25{\displaystyle {\sqrt {25}}}

    .

  • 25=52{\displaystyle 25=5^{2}}

    , takže

    25=5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5}

    .


Namiesto toho prepíšte zlomok ako dva radikálové výrazy. Niektorí ľudia dávajú prednosť tejto inej metóde riešenia úloh, ako je táto. Zlomok prepíšeme tak, aby bol jeden koreň v čitateli a druhý v menovateli. Zjednodušte každý koreň zvlášť a potom zjednodušte zlomok.[9]

  • Príklad: Zjednodušte
    7512{\displaystyle {\sqrt {\frac {75}{12}}}}

    .

  • Prepíšte to ako
    7512{\displaystyle {\frac {\sqrt {75}}{\sqrt {12}}}}

    .

  • Zjednodušte čitateľa:
    75=25×3=53{\displaystyle {\sqrt {75}}={\sqrt {25\times 3}}=5{\sqrt {3}}}
  • Zjednodušte menovateľa:
    12=4×3=23{\displaystyle {\sqrt {12}}={\sqrt {4\times 3}}=2{\sqrt {3}}
  • Zapojte ich späť do zlomku:
    5323{\displaystyle {\frac {5{\sqrt {3}}{2{\sqrt {3}}}}}
  • Zrušiť
    3{\displaystyle {\sqrt {3}}}

    aby ste dostali

    52{\displaystyle {\frac {5}{2}}}

    .


Upravte svoju odpoveď tak, aby v menovateli neboli žiadne korene. Niekedy má najjednoduchší tvar ešte radikálový výraz. To je v poriadku, ale väčšina učiteľov matematiky chce, aby ste všetky radikály ponechali v hornej časti zlomku, nie v menovateli. Postupujte podľa pravidiel pre násobenie zlomkov, aby ste zrušili všetky korene na spodku vášho zlomku: [10]

  • Príklad: Zjednodušili ste zlomok a dostali ste odpoveď
    495{\displaystyle {\frac {4}{9{\sqrt {5}}}}}

    .

  • Ak ho chcete vyjadriť v štandardnom tvare, vynásobte hornú a dolnú časť zlomku koreňom:
    4×595×5=459×5=4545{\displaystyle {\frac {4\times {\sqrt {5}}{9{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}}}={\frac {4{\sqrt {5}}}{9\times 5}}={\frac {4{\sqrt {5}}{45}}}

Metóda 4 z 5:Kombinovanie koreňov rôznych druhov


Preveďte korene na zlomkové exponenty. Každý koreň môžete prepísať ako exponent so zlomkovou hodnotou. Vzorec je celkom jednoduchý, keď si naň zvyknete:[11]

  • x=x12{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}
  • x3=x13{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=x^{\frac {1}{3}}}
  • x4=x14{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}=x^{\frac {1}{4}}}
  • …a tak ďalej.


Spojte výrazy pomocou pravidiel pre exponenty. Po prevedení výrazov do tvaru exponentov postupujte podľa pravidiel o exponentoch, aby ste ich spojili do jedného výrazu.[12]

  • Príklad: Napíšte
    334{\displaystyle {\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{3}}}

    ako jeden radikálový výraz.

  • Každý člen prepíšeme v tvare exponentu:
    3{\displaystyle {\sqrt {3}}

    sa stane

    312{\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}

    , a

    34{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3}}}

    sa stáva

    314{\displaystyle 3^{\frac {1}{4}}}

    .

  • Celý výraz je teraz
    312×314{\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}\times 3^{\frac {1}{4}}}

    .

  • Keďže exponenty majú rovnaký základ (3), ich vynásobením dostaneme rovnaký základ zvýšený na súčet oboch exponentov:
    3(12+14){\displaystyle 3^{({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})}}

    .

  • Zjednodušte na
    334{\displaystyle 3^{\frac {3}{4}}}

    .


Preveďte späť do radikálového tvaru. Keď máte jeden člen so zlomkovým exponentom, prepíšte ho ako radikálový výraz. (Menovateľ sa presunie na koreň a čitateľ zostane ako exponent.)[13]

  • 334=334{\displaystyle 3^{\frac {3}{4}}={\sqrt[{4}]{3^{3}}}}


Zjednodušte, ak je to možné. Ak vám zostalo nejaké násobenie alebo exponenty, vypočítajte ich tak, aby vaša konečná odpoveď bola v najjednoduchšom tvare.

  • 334=94{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}}}={\sqrt[{4}]{9}}}

Metóda 5 z 5:Zjednodušovanie radikálových výrazov s premennými


Zrušte exponenty a korene rovnako ako pri celých číslach. Algebraické problémy zahŕňajú premenné ako napr

x{\displaystyle x}

ktoré môžu predstavovať akékoľvek číslo. Pravidlá pre exponenty a korene stále platia pre tieto premenné.[14]

  • Príklad: Zjednodušenie
    x2×x3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{2}\times x}}}

    .

  • Spojte výrazy pod kubickým koreňom rovnako ako pri čísle:
    x33{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{3}}}}
  • Keďže hodnoty koreňov a exponentov sa zhodujú, anulujú sa a vznikne
    x{\displaystyle x}

    .


Dajte kladné riešenia párnym koreňom. Všimnite si, ako

(2)2{\displaystyle (-2)^{2}}

a

22{\displaystyle 2^{2}}

obidve sú rovné 4. To znamená, že 4 (alebo akékoľvek kladné číslo) má v skutočnosti dva odmocniny: jednu kladnú a jednu zápornú. Ale symbol odmocniny

{\displaystyle {\sqrt {}}

, sa štandardne vzťahuje len na kladné číslo. Môžete napríklad zjednodušiť

4{\displaystyle {\sqrt {4}}}

na

2{\displaystyle 2}

, a ignorujte záporné riešenie.[15]

  • To isté platí pre každý párny koreň:
    ,4,6{\displaystyle {\sqrt {}},{\sqrt[{4}]{}},{\sqrt[{6}]{}}

    , a tak ďalej.

  • To neplatí pre nepárne korene ako napr
    3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{}}

    alebo

    5{\displaystyle {\sqrt[{5}]{}}}

    . Nepárna odmocnina záporného čísla je vždy záporná a nepárna odmocnina kladného čísla je vždy kladná. (Vyskúšajte si to sami výpočtom

    23{\displaystyle 2^{3}}

    a

    (2)3{\displaystyle (-2)^{3}}

    .)


  • Použite symbol absolútnej hodnoty, aby sa premenná stala kladnou. Premenné sú zradné: nevieme, či predstavujú kladné alebo záporné číslo. Keďže funkcia odmocniny (alebo akejkoľvek párnej odmocniny) musí vždy dávať kladnú odpoveď, zabezpečíme to tak, že okolo odpovedí použijeme symbol absolútnej hodnoty, napríklad takto: |x|. Tento symbol znamená len „aby táto hodnota bola pozitívna.“[16]

    • Príklad: Zjednodušte
      32x2{\displaystyle {\sqrt {32x^{2}}}}

      .

    • Zjednodušte člen, ktorý nie je premennou:
      32=22×22×2=(2×2)2=42{\displaystyle {\sqrt {32}}={\sqrt {2^{2}\times 2^{2}\times 2}}=(2\times 2){\sqrt {2}}=4{\sqrt {2}}}

      .

    • Zjednodušte premennú zložku zrušením koreňa a exponentu:
      x2=x{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=x}

      .

    • Ak sa chcete uistiť, že riešenie koreňa je kladné, doplňte okolo tohto člena symboly absolútnej hodnoty: |x|.
    • Napíšte celý výraz: 4|x|
      2{\displaystyle {\sqrt {2}}

      .

  • Odkazy