6 spôsobov použitia tvaru preberania sklonu (v algebre)

Formulár prechodu sklonu je bežný spôsob vyjadrenia lineárnej rovnice. Sklonná forma preberania sa píše v tvare

y=mx+b{\displaystyle y=mx+b}

– kde písmená sa majú vyplniť alebo vyriešiť, ako napr:

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

hodnoty predstavujú

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

súradnice priamky,

m{\displaystyle m}

predstavuje sklon, ktorý sa nazýva „rýchlosť zmeny“, pomer

m=ΔyΔx=y2y1x2x1{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y2-y1}{x2-x1}}}

(

Δ{\displaystyle \Delta }

= delta = zmena) a

b{\displaystyle b}

predstavuje y-intercept (miesto, kde priamka pretína os y). Krása tvaru sklon-intercept alebo y = mx + b spočíva v tom, že umožňuje veľmi rýchle a jednoduché vykreslenie grafu priamky. Stačí použiť jej sklon a y-priechod. Ak chcete vedieť, ako použiť tvar prechodu sklonu, ste na správnom mieste.

Metóda 1 zo 6:Použitie tvaru preberania sklonu pri slovných úlohách


Prečítajte si problém. Skôr ako budete môcť pokračovať, musíte si pozorne prečítať úlohu, aby ste pochopili, čo sa od vás žiada.

  • Prečítajte si nasledujúci problém: Váš bankový účet sa každý týždeň lineárne zvyšuje. Ak je po 20 týždňoch práce na vašom bankovom účte 560 dolárov, zatiaľ čo po 21 týždňoch práce je na ňom 585 dolárov, nájdite spôsob, ako vyjadriť vzťah medzi tým, koľko peňazí ste zarobili, a tým, koľko týždňov ste odpracovali, v tvare šikmej krivky.


Premýšľajte o probléme v zmysle tvaru sklon-intercept. Napíšte

y=mx+b{\displaystyle y=mx+b}

. Násobiteľ alebo koeficient člena x,

m{\displaystyle m}

, predstavuje sklon (zmenu) a

b{\displaystyle b}

alebo konštantné členy predstavujú y-intercept, čo je bod, v ktorom priamka pretína os y.[1]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s expertom. 1. novembra 2019.

  • Všimnite si, že v úlohe sa uvádza: „Váš bankový účet sa každý týždeň lineárne zväčšuje,“ čo znamená, že zakaždým sporíte rovnakú sumu peňazí, čo znamená, že bude mať plynulý sklon. Tento „hladký“, rovnomerne konzistentný plán úspor je lineárny. Ak neukladáte stále rovnakú hodnotu, potom nie je lineárna.


Nájdite sklon priamky. Aby ste našli sklon, musíte nájsť rýchlosť zmeny. Toto je

m=ΔyΔx=y2y1x2x1{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y2-y1}{x2-x1}}}

. Tento symbol:

Δ{\displaystyle \Delta }

je grécky symbol s názvom „Delta“, ktorý znamená zmenu v.[2]

  • Ak ste začínali s 560 dolármi a nasledujúci týždeň máte 585 dolárov, potom ste po 1 týždni práce zarobili 25 dolárov. To zistíte tak, že od 585 dolárov odpočítate 560 dolárov.
    $585$560=$25{\displaystyle \$585-\$560=\$25}

    .


Nájdite y-intercept. Ak chcete nájsť y-intercept alebo

b{\displaystyle b}

v

y=mx+b{\displaystyle y=mx+b}

, Musíte nájsť počiatočný bod problému (kde je pretína [zvislú os] os y. To znamená, že potrebujete vedieť, s akou sumou peňazí ste začínali na svojom účte.

  • Ak ste po 20 týždňoch práce mali 560 dolárov a viete, že po každom týždni práce zarobíte 25 dolárov, potom môžete vynásobiť 20 \krát 25 a zistiť, koľko peňazí ste zarobili za týchto 20 týždňov.
    20×25=500{\displaystyle 20\times 25=500}

    , čo znamená, že ste v týchto týždňoch zarobili 500 USD.

  • Keďže po 20 týždňoch máte 560 dolárov a zarobili ste 500 dolárov, môžete zistiť, s akou sumou ste začínali, tak, že od 560 odpočítate 500. 560 – 500 = 60.
  • Preto,
    b=60{\displaystyle b=60}

    .


Napíšte rovnicu v tvare sklon-intercept. Teraz, keď poznáte sklon,

m{\displaystyle m}

, je 25, (25 dolárov zarobených za 1 týždeň) a intercept,

b{\displaystyle b}

, je 60, môžete ich dosadiť do rovnice:

  • y=mx+b{\displaystyle y=mx+b}
  • Nahraďte
    m{\displaystyle m}

    (sklon) a

    b{\displaystyle b}

    (y-intercept) takto:

    y=25x+60{\displaystyle y=25x+60}


Vyskúšajte to. V tejto rovnici,

y{\displaystyle y}

predstavuje sumu zarobených peňazí a

x{\displaystyle x}

predstavuje množstvo týždňov, ktoré ste odpracovali. Skúste do rovnice dosadiť iný počet týždňov, aby ste zistili, koľko peňazí ste zarobili po určitom počte týždňov. Vyskúšajte dva príklady:

  • Koľko peňazí ste zarobili po 10 týždňoch? Nahraďte
    x{\displaystyle x}

    s

    10{\displaystyle 10}

    do tejto rovnice, aby ste zistili:

    • y=25x+60{\displaystyle y=25x+60}
    • y=25(10)+60{\displaystyle y=25(10)+60}
    • y=250+60{\displaystyle y=250+60}
    • y=310{\displaystyle y=310}

      . Po 10 týždňoch ste zarobili 310 dolárov. Všimnite si, ako

      y{\displaystyle y}

      je (manipulovaná/závislá premenná).

  • Koľko týždňov by ste museli pracovať, aby ste zarobili 800 dolárov? Zapojte „800“ do
    y{\displaystyle y}

    premennú rovnice, aby ste získali

    x{\displaystyle x}

    hodnota.

    • y=25x+60{\displaystyle y=25x+60}
    • 800=25x+60{\displaystyle 800=25x+60}
    • 80060{\displaystyle 800-60}
    • 25x=740{\displaystyle 25x=740}
    • 25x25=74025{\displaystyle {\frac {25x}{25}}={\frac {740}{25}}}
    • x=29.6{\displaystyle x=29.6}

      . Za takmer 30 týždňov môžete zarobiť 800 dolárov.

Metóda 2 zo 6:Prevod rovnice do tvaru prechodu sklonu


Zapíšte rovnicu. Povedzme, že pracujete s rovnicou, 4y +3x = 16; zapíšte to.


Izolujte člen y na jednej strane rovnice. Stačí presunúť

x{\displaystyle x}

člen na druhú stranu tak, aby bol člen y sám o sebe. Nezabudnite, že vždy, keď presuniete člen (sčítaním alebo odčítaním) na druhú stranu rovnice, musíte prevrátiť jeho znamienko zo záporného na kladné a naopak. Takže „3x“ presunuté na druhú stranu rovnice by sa stalo „-3x.“ Rovnica by teraz mala vyzerať ako 4y = -3x +16 týmto postupom: [3]

  • 4y + 3x = 16 =
    • 4y + 3x – 3x = -3x +16 (odčítaním)
  • 4y = -3x +16 (prepísaním, zjednodušením odčítania)


Všetky členy vydeľte koeficientom y. Koeficient y je číslo pred členom y. Ak pred členom y nie je žiadny koeficient, potom ste skončili. Ak však existuje koeficient, potom by ste mali každý člen rovnice vydeliť týmto číslom. V tomto prípade je koeficient y 4, takže musíte vydeliť 4x, -3x a 16 číslom 4, aby ste dostali konečnú odpoveď v tvare priesečníka sklonu. Takto to urobíte: [4]

  • 4y = -3x +16 =
  • 4/4y = -3/4x +16/4 = (delením)
  • y = -3/4x + 4 (prepísaním, zjednodušením delenia)


Určte členy rovnice. Ak rovnicu používate na vykreslenie priamky, potom by ste mali vedieť, že „y“ predstavuje y-ovú súradnicu, „-3/4“ predstavuje sklon, „x“ predstavuje x-ovú súradnicu a „4“ predstavuje y-ovú intercepciu.

Metóda 3 zo 6:Zápis rovnice v tvare sklon – intercept vzhľadom na bod a sklon


Zapíšte rovnicu priamky v tvare priesečníka so sklonom. Najprv jednoducho napíšte

y=mx+b{\displaystyle y=mx+b}

. Rovnicu môžete doplniť, keď budete mať dostatok informácií. Povedzme, že sa snažíte vyriešiť nasledujúci problém: Nájdite rovnicu priamky, ktorá má sklon 4 a prechádza bodom (-1, -6).[5]


Zapojte dané (alebo to, čo môžete nazvať „známe“) informácie. Použite to, čo viete: že „m“ sa rovná sklonu, ktorý je 4, a že „y“ a „x“ predstavujú dané súradnice „x“ a „y“, ktoré sú v tomto prípade známe. Máme „x“ = -1 a „y“ = -6. „b“ predstavuje y-intercept; b zatiaľ nepoznáte, takže člen „b“ môžete ponechať na mieste.[6]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Expertný rozhovor. 1. novembra 2019.
Takto bude vyzerať rovnica po dosadení príslušných informácií:

  • y = -6, m = 4, x = -1 (dané hodnoty)
  • y = mx + b (vzorec)
  • -6 = (4)(-1) + b (substitúciou)


Riešenie pre y-intercept. Teraz jednoducho vypočítajte, aby ste našli „b“, teda y-intercept. Stačí vynásobiť 4 a -1 a potom výsledok odčítať od -6. Takto to urobíte:

  • -6 = (4)(-1) + b
  • -6 = -4 + b (vynásobením)
  • -6 – (-4) = -4 -(-4) + b (odčítaním)
  • -6 – (-4) = b (zjednodušenie pravej strany)
  • -2 = b (zjednodušenie ľavej strany)


Napíšte rovnicu. Teraz, keď ste vyriešili „b“, môžete doplniť všetky potrebné informácie a dokončiť zápis priamky v tvare priesečníka sklonu. Všetko, čo potrebujete vedieť, je sklon a y-priesečník:

  • m = 4, b = -2
  • y = mx + b
  • y = 4x -2 (substitúciou)

Metóda 4 zo 6:Zápis rovnice v tvare priesečníka sklonu vzhľadom na dva body


Zapíšte dva body. Skôr ako napíšete rovnicu priamky, musíte zapísať tieto dva body. Povedzme, že sa snažíte vyriešiť nasledujúci problém: Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodmi (-2, 4) a (1, 2). Zapíšte dva body, s ktorými pracujete.[7]


Pomocou dvoch bodov nájdite sklon rovnice. Vzorec na zistenie sklonu priamky, ktorá pretína dva body, je jednoducho (Y2 – Y1) / (X2 – X1). Prvú sadu súradníc (x, y) = (-2, 4) si môžete predstaviť ako súradnice X1 a Y1, a druhú sadu súradníc, (1, 2), ako reprezentujúce X2 a Y2. Tu skutočne zisťujete rozdiel medzi súradnicami x a y, čo vám dáva stúpanie nad dráhou alebo sklon. Teraz ich stačí dosadiť do rovnice a vyriešiť sklon.

  • (Y2 – Y1) / (X2 – X1) =
  • (2 – 4)/(1 – -2) =
  • -2/3 = m
  • Sklon priamky je -2/3.


Vyberte si jeden z bodov, v ktorom budete riešiť intercept y. Nezáleží na tom, ktorú dvojicu bodov si vyberiete; môžete si vybrať tú s menšími číslami alebo s číslami, s ktorými sa ľahšie pracuje. Povedzme, že ste si vybrali body (1, 2). Teraz ich jednoducho dosaďte do rovnice „y = mx + b“, kde „m“ predstavuje sklon a „x“ a „y“ predstavujú súradnice x a y. Zapojte čísla a vypočítajte riešenie pre „b.“ Takto to urobíte:

  • y = 2, x, = 1, m = -2/3
  • y = mx + b
  • 2 = (-2/3)(1) + b
  • 2 = -2/3 + b
  • 2 – (-2/3) = b
  • 2 + 2/3 = b alebo b = 8/3


Doplňte čísla do pôvodnej rovnice. Teraz, keď viete, že váš sklon je -2/3 a váš y-intercept („b“) je 2 2/3, stačí ich dosadiť do pôvodnej rovnice pre priamku a je to hotové.

  • y = mx + b
  • y = -2/3x + 2 2/3

Metóda 5 zo 6:Grafické znázornenie priamky z rovnice v tvare priesečníka sklonu


Zapíšte rovnicu. Najprv si zapíšte rovnicu, aby ste ju mohli začať používať na vykreslenie grafu priamky. Povedzme, že pracujete s nasledujúcou rovnicou: y = 4x + 3. Zapíšte to.


Začnite pri y-intercepte. Priesečník y je v rovnici priamky v tvare slope intercept reprezentovaný znakom „+3“ alebo „b“ je kladný 3. To znamená, že priamka pretína os y v bode (0, 3).[8]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.
Položte ceruzku na tento bod.[9]


Pomocou sklonu nájdite súradnice ďalšieho bodu na priamke. Keďže viete, že sklon je reprezentovaný číslom 4 alebo „m“, môžete si myslieť, že sklon predstavuje 4/1, teda nárast v priebehu súradníc na priamke. To znamená, že zakaždým, keď sa čiara posunie o 4 body nahor na osi y, posunie sa doprava o 1 bod na osi x. Ak teda začnete v bode (0, 3) a pôjdete hore („stúpnete“) o 4 body, budete v bode (0, 7). Potom by ste sa mali posunúť doprava („prebehnúť“) o jednu súradnicu, takže dostanete (1, 7) ako ďalší bod na tejto priamke.[10]

  • Ak je váš sklon záporný, potom budete musieť buď posunúť y-ovú súradnicu nahor namiesto nadol, alebo posunúť x-ovú súradnicu doľava namiesto doprava. V oboch prípadoch dostanete rovnaký výsledok.


Spojte tieto dva body. Teraz už stačí len nakresliť priamku prechádzajúcu týmito dvoma bodmi a budete mať úspešne vykreslenú priamku z rovnice v tvare sklon – priesečník. Môžete pokračovať ďalej — stačí vybrať ďalší bod na priamke, ktorú ste nakreslili, a pomocou sklonu sa pohybovať nahor alebo nadol, aby ste našli ďalšie body na priamke.

Metóda 6 zo 6:Hľadanie tvaru interceptu sklonu začínajúc tvarom bodu a sklonu


Použite tvar bodu a sklonu, ktorý sa uvádza ako: y – y1 = m(x – x1) . Toto je ďalší spôsob, ako pracovať s jedným tvarom rovnice priamky, aby sme získali iný tvar.[11]


  • Vezmite si napríklad jeden daný bod a sklon m, ktorý je nám daný (známy) a s ktorým budeme pracovať: bod (4, -3) a sklon m = -2 .[12]

    • Pracujete tam, kde m = -2 ako sklon priamky a súradnice bodu sú (4, -3), a to sú naše (x1,y1) ako akýkoľvek definovaný bod na priamke. Takže pomocou týchto daných hodnôt máme:

      y – y1 = m(x – x1),

      y – (-3) = -2(x – 4), substitúciou pomocou bodu a sklonu

      y + 3 = -2(x – 4), zjednodušením -(-3) na + 3

      y + 3 = -2x + -2(-4), rozdelením

      y + 3 = -2x + 8, vynásobením

      y + 3 – 3 = -2x + 8 – 3, odčítaním (rovníc z oboch strán rovnice)

      y = -2x + 5, zjednodušením/prepisom (To zodpovedá tvaru y = mx + b nazývanému tvar prechodu sklonu).

    • Na čom je založená forma Point–slope? Forma sklon bodu vyjadruje skutočnosť, že rozdiel hodnôt y pre dva body na jednej priamke (teda y – y1) možno uviesť priamo proporcionálne na rozdiel hodnôt x (t. j. x – x1). Existuje proporcionalita konštanta m (sklon priamky).
      • Zistili sme, že Priama úmernosť je porovnanie, ktoré možno vyjadriť v podobnom tvare ako y = kx. Tu si všimneme, že y – y1 = m(x – x1) vyhovuje tvaru y = kx .
      • Priama úmernosť znamená, že ak sú dané dve premenné, napríklad x a y, potom y sa nazýva priamo úmerné x, ak existuje konštanta k taká, že y = kx, ak a len ak x nie je nula. „k“ je konštanta úmernosti, čo je práve sklon, ako ho používame. (Priamu úmernosť môžete vyjadriť aj slovami „x a y sa priamo menia“ alebo vyjadriť, že „x a y sa priamo menia“).
  • Odkazy

      Grace Imson, MA. Inštruktor matematiky, City College of San Francisco. Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.

      https://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php

      http://www.youtube.com/watch?v=Zj-9Zc9yKYU

      http://www.mathsisfun.com/equation_of_line.html

      http://www.purplemath.com/modules/strtlneq.htm

      Grace Imson, MA. Inštruktor matematiky, City College of San Francisco. Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.

      http://www.purplemath.com/modules/strtlneq.htm

      Grace Imson, MA. Inštruktor matematiky, City College of San Francisco. Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.

      https://www.youtube.com/watch?v=kgD48XXVT1c