6 spôsobov výpočtu objemu

Objem útvaru je miera toho, koľko trojrozmerného priestoru daný útvar zaberá.[1]
Objem útvaru si môžete predstaviť aj ako množstvo vody (alebo vzduchu, alebo piesku atď.) by mohol útvar pojať, keby bol úplne vyplnený. Medzi bežné jednotky objemu patria kubické centimetre (cm3), kubické metre (m3), kubické palce (in3) a kubické stopy (ft3).[2]
V tomto článku sa dozviete, ako vypočítať objem šiestich rôznych trojrozmerných tvarov, ktoré sa bežne vyskytujú v testoch z matematiky, vrátane kocky, gule a kužeľa. Možno ste si všimli, že mnohé vzorce pre objem majú spoločné črty, ktoré vám môžu uľahčiť ich zapamätanie. Vyskúšajte, či ich dokážete cestou odhaliť!

Metóda 1 zo 6:Výpočet objemu kocky


Rozpoznajte kocku. Kocka je trojrozmerný útvar, ktorý má šesť rovnakých štvorcových stien.[3]
Inými slovami, je to tvar škatule s rovnakými stranami po celom obvode.

  • Šesťstenná kocka je dobrým príkladom kocky, ktorú môžete nájsť vo svojom dome. Cukrové kocky a detské kocky s písmenami sú tiež zvyčajne kocky.


Naučte sa vzorec pre objem kocky. Keďže všetky dĺžky strán kocky sú rovnaké, vzorec pre objem kocky je naozaj jednoduchý. Je to V = s3, kde V znamená objem a s je dĺžka strán kocky.[4]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.

  • Ak chcete zistiť s3, jednoducho vynásobte s samým sebou trikrát: s3 = s * s * s


Zistite dĺžku jednej strany kocky. V závislosti od zadania bude kocka buď označená touto informáciou, alebo budete musieť zmerať dĺžku strany pomocou pravítka. Nezabudnite, že keďže ide o kocku, všetky dĺžky strán by mali byť rovnaké, takže nezáleží na tom, ktorú z nich odmeriate.

  • Ak si nie ste na 100 % istí, že váš útvar je kocka, zmerajte každú zo strán, aby ste zistili, či sú rovnaké. Ak nie sú, budete musieť použiť nižšie uvedený spôsob Výpočet objemu obdĺžnikového telesa.


Dosadíme dĺžku strany do vzorca V = s3 a vypočítame. Ak napríklad zistíte, že dĺžka strán vašej kocky je 5 palcov, potom by ste mali vzorec zapísať takto: V = (5 in)3. 5 in * 5 in * 5 in = 125 in3, objem našej kocky!

  • Pred vynásobením sa uistite, že všetky dĺžky sú v rovnakej jednotke.[5]
    Odborný zdroj
    Grace Imson, MA
    Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
    Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.


Nezabudnite uviesť svoju odpoveď v kubických jednotkách.[6]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.
Vo vyššie uvedenom príklade bola dĺžka strany našej kocky meraná v centimetroch, takže objem bol uvedený v kubických centimetroch. Ak by bola dĺžka strany kocky napríklad 3 cm, objem by bol V = (3 cm)3, alebo V = 27 cm3.

Metóda 2 zo 6:Výpočet objemu pravouhlej hranoly


Rozpoznajte obdĺžnikové teleso. Obdĺžnikové teleso, známe aj ako pravouhlý hranol, je trojrozmerný útvar so šiestimi stranami, ktoré sú všetky obdĺžniky.[7]
Inými slovami, obdĺžnikové teleso je jednoducho trojrozmerný obdĺžnik alebo tvar škatule.

  • Kocka je v skutočnosti len špeciálne obdĺžnikové teleso, v ktorom sú strany všetkých obdĺžnikov rovnaké.


Naučte sa vzorec na výpočet objemu obdĺžnikového telesa. Vzorec pre objem obdĺžnikového telesa je Objem = dĺžka * šírka * výška alebo V = lwh.


Nájdite dĺžku obdĺžnikového telesa. Dĺžka je najdlhšia strana obdĺžnikového telesa, ktorá je rovnobežná so zemou alebo povrchom, na ktorom leží. Dĺžka môže byť uvedená na obrázku alebo ju môžeš zmerať pomocou pravítka alebo meradla.

  • Príklad: Dĺžka tohto obdĺžnikového telesa je 4 palce, takže l = 4 in.
  • Netrápte sa príliš tým, ktorá strana je dĺžka, ktorá šírka atď. Pokiaľ skončíte s tromi rôznymi meraniami, matematika vyjde rovnako bez ohľadu na to, ako usporiadate výrazy.


Zistite šírku obdĺžnikového telesa. Šírka obdĺžnikového telesa je rozmer kratšej strany telesa, ktorá je rovnobežná so zemou alebo povrchom, na ktorom útvar leží. Opäť hľadajte na diagrame štítok označujúci šírku alebo si zmerajte svoj útvar pomocou pravítka alebo meradla.

  • Príklad: Šírka tohto obdĺžnikového telesa je 3 palce, takže w = 3 in.
  • Ak meriate obdĺžnikové teleso pravítkom alebo meradlom, nezabudnite vykonať a zapísať všetky merania v rovnakých jednotkách. Nemerajte jednu stranu v palcoch a druhú v centimetroch; pri všetkých meraniach sa musí používať rovnaká jednotka!


Nájdite výšku obdĺžnikového telesa. Táto výška je vzdialenosť od zeme alebo povrchu, na ktorom leží obdĺžnikové teleso, po vrchol obdĺžnikového telesa. Nájdite informáciu v diagrame alebo zmerajte výšku pomocou pravítka alebo meradla.

  • Príklad: Výška tohto obdĺžnikového telesa je 6 cm, takže h = 6 in.


Doplňte rozmery obdĺžnikového telesa do vzorca pre objem a vypočítajte. Nezabudnite, že V = lwh.

  • V našom príklade je l = 4, w = 3 a h = 6. Preto V = 4 * 3 * 6 alebo 72.


Nezabudnite vyjadriť svoju odpoveď v kubických jednotkách. Keďže náš príklad obdĺžnika bol meraný v palcoch, objem by mal byť zapísaný ako 72 kubických palcov alebo 72 in3.

  • Ak by rozmery nášho obdĺžnikového telesa boli: dĺžka = 2 cm, šírka = 4 cm a výška = 8 cm, objem by bol 2 cm * 4 cm * 8 cm, teda 64 cm3.

Metóda 3 zo 6:Výpočet objemu valca


Naučte sa identifikovať valec. Valec je trojrozmerný útvar, ktorý má dva rovnaké ploché konce kruhového tvaru a jednu zakrivenú stranu, ktorá ich spája.[8]

  • Plechovka je dobrým príkladom valca, rovnako ako batéria AA alebo AAA.


Zapamätajte si vzorec pre objem valca. Ak chcete vypočítať objem valca, musíte poznať jeho výšku a polomer kruhovej podstavy (vzdialenosť od stredu kruhu k jeho okraju) v hornej a dolnej časti. Vzorec je V = πr2h, kde V je objem, r je polomer kruhovej podstavy, h je výška a π je konštanta pí.

  • V niektorých geometrických úlohách bude odpoveď uvedená v tvare pí, ale vo väčšine prípadov stačí zaokrúhliť pí na 3.14. Poraďte sa s vyučujúcim, čo by uprednostnil.
  • Vzorec na zistenie objemu valca je v skutočnosti veľmi podobný vzorcu pre obdĺžnikové teleso: jednoducho vynásobíte výšku útvaru plochou jeho podstavy. V prípade obdĺžnikového telesa je táto plocha l * w, v prípade valca je to πr2, plocha kruhu s polomerom r.


Nájdite polomer základne.[9]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.
Ak je uvedený v grafe, jednoducho použite toto číslo. Ak je namiesto polomeru uvedený priemer, stačí túto hodnotu vydeliť dvomi, aby ste dostali polomer (d = 2r).


Ak nie je daný polomer, zmerajte objekt. Uvedomte si, že získať presné meranie kruhového telesa môže byť trochu zložitejšie. Jednou z možností je zmerať základňu valca cez vrchol pomocou pravítka alebo meradla. Snažte sa zmerať šírku valca v jeho najširšej časti a vydeľte túto hodnotu dvomi, aby ste zistili polomer.

  • Ďalšou možnosťou je zmerať obvod valca (vzdialenosť okolo neho) pomocou meracieho pásu alebo dĺžky povrázku, ktorý môžete označiť a potom zmerať pravítkom. Potom dosaďte meranie do vzorca: C (obvod) = 2πr. Obvod vydeľte číslom 2π (6.28) a získate tak polomer.
  • Ak ste napríklad namerali obvod 8 palcov, polomer bude 1.27in.
  • Ak potrebujete naozaj presné meranie, môžete použiť obe metódy, aby ste sa uistili, že vaše merania sú podobné. Ak nie sú, dvakrát ich skontrolujte. Metóda obvodu zvyčajne poskytne presnejšie výsledky.


Vypočítajte plochu kruhovej podstavy.[10]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.
Dosadíme polomer základne do vzorca πr2. Potom vynásobte polomer sám sebou jedenkrát a potom vynásobte súčin π. Napríklad:

  • Ak je polomer kruhu rovný 4 palcom, plocha podstavy bude A = π42.
  • 42 = 4 * 4 alebo 16. 16 * π (3.14) = 50.24 in2
  • Ak je namiesto polomeru uvedený priemer podstavy, nezabudnite, že d = 2r. Na zistenie polomeru stačí vydeliť priemer na polovicu.


Nájdite výšku valca.[11]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.
Je to jednoducho vzdialenosť medzi dvoma kruhovými podstavami alebo vzdialenosť od povrchu, na ktorom valec leží, po jeho vrchol. Nájdite na obrázku značku, ktorá udáva výšku valca, alebo zmerajte výšku pravítkom alebo meradlom.


Vynásobte plochu podstavy krát výšku valca, aby ste zistili objem.[12]
Odborný zdroj
Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco
Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.
Alebo si môžete ušetriť krok a jednoducho dosadiť hodnoty rozmerov valca do vzorca V = πr2h. Pre náš príklad valec s polomerom 4 palce a výškou 10 palcov:

  • V = π4210
  • π42 = 50.24
  • 50.24 * 10 = 502.4
  • V = 502.4


Nezabudnite svoju odpoveď uviesť v kubických jednotkách. Náš príklad valca bol meraný v palcoch, takže objem musí byť vyjadrený v kubických palcoch: V = 502.4in3. Ak by sa náš valec meral v centimetroch, objem by sa vyjadril v centimetroch kubických (cm3).

Metóda 4 zo 6:Výpočet objemu pravidelného štvorcového pyramídu


Pochopte, čo je to pravidelný pyramídový útvar. Pyramída je trojrozmerný útvar s mnohouholníkom ako podstavou a bočnými stenami, ktoré sa zužujú na vrchole (vrchol pyramídy).[13]
Pravidelná pyramída je pyramída, ktorej základňa je pravidelný mnohouholník, čo znamená, že všetky strany mnohouholníka sú rovnako dlhé a všetky uhly majú rovnakú mieru.[14]

  • Najčastejšie si predstavujeme pyramídu so štvorcovou základňou a stranami, ktoré sa zužujú do jedného bodu, ale základňa pyramídy môže mať v skutočnosti 5, 6 alebo dokonca 100 strán!
  • Pyramída s kruhovou podstavou sa nazýva kužeľ, o ktorom bude reč v ďalšej metóde.


Naučte sa vzorec pre objem pravidelného pyramídu. Vzorec pre objem pravidelnej pyramídy je V = 1/3bh, kde b je plocha podstavy pyramídy (mnohouholník v spodnej časti) a h je výška pyramídy alebo zvislá vzdialenosť od podstavy k vrcholu (bodu).

  • Vzorec pre výpočet objemu je rovnaký pre pravé pyramídy, pri ktorých je vrchol priamo nad stredom podstavy, aj pre šikmé pyramídy, pri ktorých vrchol nie je v strede.


Vypočítajte plochu základne. Vzorec pre túto hodnotu bude závisieť od počtu strán, ktoré má podstava pyramídy. V pyramíde na našom obrázku je základňou štvorec so stranami dlhými 6 palcov. Nezabudnite, že vzorec pre plochu štvorca je A = s2, kde s je dĺžka strán. Takže pre túto pyramídu je plocha podstavy (6 in) 2 alebo 36in2.

  • Vzorec pre plochu trojuholníka je: A = 1/2bh, kde b je základňa trojuholníka a h je výška.
  • Plochu ľubovoľného pravidelného mnohouholníka je možné zistiť pomocou vzorca A = 1/2pa, kde A je plocha, p je obvod útvaru a a je apotéma, teda vzdialenosť od stredu útvaru do stredu ľubovoľnej jeho strany. Ide o dosť zložitý výpočet, ktorý presahuje rámec tohto článku, ale pozrite si článok Výpočet plochy mnohouholníka, kde nájdete skvelý návod, ako ho použiť. Alebo si môžete uľahčiť život a vyhľadať online kalkulačku pravidelných mnohouholníkov.[15]


Zistite výšku pyramídy. Vo väčšine prípadov to bude vyznačené v grafe. V našom príklade je výška pyramídy 10 palcov.


Vynásobte plochu podstavy pyramídy jej výškou a vydeľte ju tromi, aby ste zistili objem. Nezabudnite, že vzorec pre objem je V = 1/3bh. V našom príklade pyramídy, ktorá mala podstavu s plochou 36 a výškou 10, je objem: 36 * 10 * 1/3, teda 120.

  • Ak by sme mali iný kužeľ s päťbokou podstavou s plochou 26 a výškou 8, jeho objem by bol: 1/3 * 26 * 8 = 69.33.


Nezabudnite vyjadriť svoju odpoveď v kubických jednotkách. Rozmery nášho príkladového jehlanu boli uvedené v palcoch, takže jeho objem musí byť vyjadrený v kubických palcoch, 120in. Ak by bola naša pyramída meraná v metroch, objem by sa namiesto toho vyjadril v metroch kubických (m3).3

Metóda 5 zo 6:Výpočet objemu kužeľa


Naučte sa vlastnosti kužeľa. Kužeľ je trojrozmerné teleso, ktoré má kruhovú podstavu a jediný vrchol (bod kužeľa). Iný spôsob, ako si to predstaviť, je, že kužeľ je špeciálny pyramídový tvar, ktorý má kruhovú podstavu.[16]

  • Ak je vrchol kužeľa priamo nad stredom kruhovej podstavy, kužeľ sa nazýva „pravý kužeľ“. Ak nie je priamo nad stredom, kužeľ sa nazýva šikmý kužeľ.“ Našťastie vzorec na výpočet plochy kužeľa je rovnaký bez ohľadu na to, či je pravouhlý alebo šikmý.


Poznajte vzorec na výpočet objemu kužeľa. Vzorec je V = 1/3πr2h, kde r je polomer kruhovej podstavy kužeľa, h je výška kužeľa a π je konštanta pí, ktorú možno zaokrúhliť na 3.14.

  • Časť vzorca πr2 sa vzťahuje na plochu kruhovej podstavy kužeľa. Vzorec pre objem kužeľa je teda 1/3bh, rovnako ako vzorec pre objem pyramídy vo vyššie uvedenej metóde!


Vypočítajte plochu kruhovej podstavy kužeľa. Na to potrebujete poznať polomer podstavy, ktorý by mal byť uvedený vo vašom diagrame. Ak máte namiesto toho daný priemer kruhovej podstavy, jednoducho vydeľte toto číslo 2, pretože priemer je jednoducho 2-násobok rádia (d = 2r). Potom dosaďte polomer do vzorca A = πr2 a vypočítajte plochu.

  • V príklade na obrázku je polomer kruhovej základne kužeľa 3 palce. Keď to dosadíme do vzorca, dostaneme: A = π32.
  • 32 = 3 *3, teda 0, takže A = 9π.
  • A = 28.27in2


Zistite výšku kužeľa. Toto je vertikálna vzdialenosť medzi podstavou kužeľa a jeho vrcholom. V našom príklade je výška kužeľa 5 palcov.


Vynásobte výšku kužeľa plochou podstavy. V našom príklade je plocha podstavy 28.27in2 a výška je 5in, takže bh = 28.27 * 5 = 141.35.


Teraz výsledok vynásobte 1/3 (alebo jednoducho vydeľte 3) a zistíte objem kužeľa. Vo vyššie uvedenom kroku sme vlastne vypočítali objem valca, ktorý by vznikol, keby sa steny kužeľa predĺžili priamo nahor k ďalšej kružnici, namiesto toho, aby sa skláňali do jedného bodu. Vydelením 3 dostaneme objem samotného kužeľa.

  • V našom príklade 141.35 * 1/3 = 47.12, objem nášho kužeľa.
  • Zopakujme si to: 1/3π325 = 47.12


Nezabudnite vyjadriť svoju odpoveď v kubických jednotkách. Náš kužeľ sme merali v palcoch, takže jeho objem musíme vyjadriť v kubických palcoch: 47.12in3.

Metóda 6 zo 6:Výpočet objemu gule


Ukážte guľu. Guľa je dokonale okrúhly trojrozmerný objekt, v ktorom je každý bod na povrchu v rovnakej vzdialenosti od stredu. Inými slovami, guľa je objekt v tvare gule.[17]


Naučte sa vzorec pre objem gule. Vzorec pre objem gule je V = 4/3πr3 (uvádza sa: „štyri tretiny krát pi r-kužeľ“), kde r je polomer gule a π je konštanta pi (3.14).[18]


Nájdite polomer gule. Ak je polomer uvedený na obrázku, potom je nájdenie r jednoduchou záležitosťou jeho lokalizácie. Ak je daný priemer, musíte toto číslo vydeliť dvoma, aby ste zistili polomer. Napríklad polomer gule na obrázku je 3 palce.


Ak polomer nie je uvedený, odmerajte guľu. Ak potrebujete zmerať guľový predmet (napríklad tenisovú loptičku), aby ste zistili jeho polomer, najprv nájdite dostatočne veľký kus povrázku, aby ste ho obtočili okolo predmetu. Potom oviňte šnúrku okolo predmetu v jeho najširšom bode a označte body, v ktorých sa šnúrka prekrýva. Potom zmerajte strunu pravítkom, aby ste zistili obvod. Túto hodnotu vydeľte číslom 2π alebo 6.28, a to vám dá polomer gule.

  • Ak napríklad zmeriate loptu a zistíte, že jej obvod je 18 palcov, vydeľte toto číslo 6.28 a zistíte, že polomer je 2.87in.
  • Meranie guľového predmetu môže byť trochu zložité, takže možno budete chcieť vykonať 3 rôzne merania a potom ich spriemerovať (sčítať tri merania a potom ich vydeliť tromi), aby ste sa uistili, že máte čo najpresnejšiu hodnotu.
  • Napríklad, ak by vaše tri merania obvodu boli 18 palcov, 17.75 palcov a 18.2 palce, tieto tri hodnoty by ste sčítali (18 + 17.5 + 18.2 = 53.95) a túto hodnotu vydeľte číslom 3 (53.95/3 = 17.98). Pri výpočte objemu použite túto priemernú hodnotu.


Vypočítajte polomer kockou, aby ste zistili r3. Kubizácia čísla jednoducho znamená, že číslo vynásobíme samým sebou 3-krát, takže r3 = r * r * r. V našom príklade je r = 3, takže r3 = 3 * 3 * 3, teda 27.


Teraz vynásobte svoju odpoveď číslom 4/3. Môžete použiť kalkulačku alebo násobenie vykonať ručne a potom zlomok zjednodušiť. V našom príklade vynásobíme 27 číslom 4/3 = 108/3, teda 36.


Výsledok vynásobte číslom π a zistite objem gule. Posledným krokom pri výpočte objemu je jednoducho vynásobiť doterajší výsledok číslom π. Zaokrúhľovanie π na dve číslice je zvyčajne dostatočné pre väčšinu matematických problémov (pokiaľ váš učiteľ neurčil inak), takže vynásobte 3.14 a máte svoju odpoveď.

  • V našom príklade je to 36 * 3.14 = 113.09.

  • Vyjadrite svoju odpoveď v kubických jednotkách. V našom príklade bol polomer gule meraný v palcoch, takže naša odpoveď je vlastne V = 113.09 kubických palcov (113.09 in3).
  • Odkazy

      http://www.mathsisfun.com/definitions/volume.html

      http://www.mathsisfun.com/measure/us-standard-volume.html

      https://www.mathsisfun.com/definitions/cube.html

      Grace Imson, MA. Inštruktor matematiky, City College of San Francisco. Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.

      Grace Imson, MA. Inštruktor matematiky, City College of San Francisco. Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.

      Grace Imson, MA. Inštruktor matematiky, City College of San Francisco. Expertný rozhovor. 1. novembra 2019.

      http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Geometry_3Dprisms.xml

      https://www.mathsisfun.com/definitions/cylinder.html

      Grace Imson, MA. Inštruktor matematiky, City College of San Francisco. Rozhovor s odborníkom. 1. novembra 2019.