7 spôsobov, ako vynásobiť polynómy druhého stupňa (kvadratické rovnice)

Polynóm obsahuje premennú (x) zvýšenú na mocninu, tzv. stupeň,[1]
a niekoľko výrazov a/alebo konštánt. Vynásobiť polynóm znamená rozložiť výraz na menšie výrazy, ktoré sa vynásobia. Tieto zručnosti patria do kategórie Algebra I a vyššej a môžu byť ťažké na pochopenie, ak vaše matematické zručnosti nie sú na tejto úrovni.

Metóda 1 zo 7:Začíname


Nastavte svoj výraz. Štandardný formát kvadratickej rovnice je:

ax2 + bx + c = 0


Začnite tým, že zoradíte členy rovnice od najvyššej po najnižšiu mocninu, presne podľa tohto štandardného formátu. Vezmite si napríklad:

6 + 6×2 + 13x = 0


Tento výraz preusporiadame tak, aby sa s ním ľahšie pracovalo, a to jednoduchým presunom výrazov:

6×2 + 13x + 6 = 0


Nájdite faktografický tvar pomocou jednej z nasledujúcich metód. Faktorovaním polynómu získame dva menšie výrazy, ktoré môžeme vynásobiť a získať pôvodný polynóm: [2]

6×2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)


V tomto príklade sú (2x +3) a (3x + 2) faktory pôvodného výrazu, 6×2 + 13x + 6.


Skontrolujte si svoju prácu! Vynásobte činitele, ktoré ste určili. Potom spojte podobné členy a máte hotovo. Začnite s:

(2x + 3)(3x + 2)


Vyskúšajme si ju, vynásobíme členy pomocou FOIL (first – outer – inner – last) a dostaneme:

6×2 + 4x + 9x + 6


Odtiaľto môžeme sčítať 4x a 9x, pretože sú to podobné členy. Vieme, že naše činitele sú správne, pretože dostaneme rovnicu, s ktorou sme začali:

6×2 + 13x + 6

Metóda 2 zo 7: Pokus a omyl

Ak máte pomerne jednoduchý polynóm, možno budete schopní určiť činitele sami len od videnia. Po precvičení sú napríklad mnohí matematici schopní vedieť, že výraz 4×2 + 4x + 1 má činitele (2x + 1) a (2x + 1) len z toho, že ste ich toľko videli. (Pri zložitejších polynomoch to zrejme nebude také jednoduché.) Pre tento príklad použijeme menej obvyklý výraz:

3×2 + 2x – 8


Vypíšte faktory a člen a c termín. Použitie formátu výrazu ax2 + bx + c = 0, určiť a a c členov a vypíšte, aké majú činitele. Pre 3×2 + 2x – 8 to znamená:

a = 3 a má jednu sadu faktorov: 1 * 3


c = -8 a má štyri množiny činiteľov: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 a -1 * 8.


Zapíšte dve sady zátvoriek s prázdnymi miestami. Do vytvoreného priestoru budete dopĺňať konštanty jednotlivých výrazov:

( x )( x )


Vyplňte medzery pred x dvojicou možných činiteľov a hodnota. Pre a výraz v našom príklade, 3×2, existuje len jedna možnosť pre náš príklad:

(3x )(1x )


Doplňte dve miesta za x dvojicou činiteľov pre konštanty. Povedzme, že sme si vybrali 8 a 1. Napíšte ho:

(3x  8)(x  1)


Rozhodnite, aké znamienka (plus alebo mínus) majú byť medzi premennými x a číslami. V závislosti od znamienok v pôvodnom výraze je možné zistiť, aké by mali byť znamienka pre konštanty. Nazvime dve konštanty pre naše dva činitele h a k:

Ak ax2 + bx + c, potom (x + h)(x + k)


Ak ax2 – bx – c alebo ax2 + bx – c, potom (x – h)(x + k)


Ak ax2 – bx + c, potom (x – h)(x – k)


Pre náš príklad 3×2 + 2x – 8 musia byť znamienka: (x – h)(x + k), čím získame dva činitele:

(3x + 8) a (x – 1)


Otestujte svoju voľbu pomocou násobenia prvým – druhým – posledným (FOIL). Prvý rýchly test, ktorý treba vykonať, je zistiť, či stredný člen má aspoň správnu hodnotu. Ak to tak nie je, možno ste si vybrali nesprávny c faktory. Otestujme našu odpoveď:

(3x + 8)(x – 1)


Násobením dospejeme k:

3×2 – 3x + 8x – 8


Zjednodušením tohto výrazu sčítaním podobných členov (-3x) a (8x) dostaneme:

3×2 – 3x + 8x – 8 = 3×2 + 5x – 8


Teraz už vieme, že sme museli určiť nesprávne činitele:

3×2 + 5x – 8 ≠ 3×2 + 2x – 8


Ak je to potrebné, prehoďte svoje možnosti. V našom príklade skúsme namiesto 1 a 8 použiť 2 a 4:

(3x + 2)(x – 4)


Teraz náš c člen je -8, ale náš vonkajší/vnútorný súčin (3x * -4) a (2 * x) je -12x a 2x, ktoré sa neskombinujú, aby vytvorili správny b člen +2x.

-12x + 2x = 10x


10x ≠ 2x


V prípade potreby obráťte poradie. Skúsme premiestniť 2 a 4:

(3x + 4)(x – 2)


Teraz náš c člen (4 * 2 = 8) je stále v poriadku, ale vonkajšie/vnútorné súčiny sú -6x a 4x. Ak ich spojíme:

-6x + 4x = 2x


2x ≠ -2x

Sme celkom blízko k číslu 2x, ktoré sme chceli získať, ale je to nesprávne znamienko.


Ak je to potrebné, skontrolujte si znamienka dvakrát. Budeme sa držať rovnakého poradia, ale vymeníme si, ktorý z nich má mínus:

(3x – 4)(x + 2)


Teraz c výraz je stále v poriadku a vonkajšie/vnútorné súčiny sú teraz (6x) a (-4x). Pretože:

6x – 4x = 2x


2x = 2x

Teraz môžeme rozpoznať kladné 2x z pôvodného problému. Toto musia byť správne činitele.

Metóda 3 zo 7:Rozklad

Táto metóda určí všetky možné činitele a a c členov a použite ich na zistenie, aké by mali byť činitele. Ak sú čísla veľmi veľké alebo sa vám zdá, že iné metódy typu odhadu by trvali príliš dlho, použite túto metódu.[3]
Použime príklad:

6×2 + 13x + 6


Vynásobte a člen podľa c výrazu. V tomto príklade, a je 6 a c je tiež 6.

6 * 6 = 36


Získajte b termín pomocou faktora a testovania. Hľadáme dve čísla, ktoré sú činiteľmi a * c súčin, ktorý sme identifikovali, a tiež sčítame b člen (13).

4 * 9 = 36


4 + 9 = 13


Dve čísla, ktoré ste dostali, dosaďte do rovnice ako súčet b člen. Použime k a h na vyjadrenie dvoch čísel, ktoré sme dostali, 4 a 9:

ax2 + kx + hx + c


6×2 + 4x + 9x + 6


Vynásobte polynóm zoskupením. Usporiadajte rovnicu tak, aby ste mohli vynásobiť najväčší spoločný deliteľ prvých dvoch členov a posledných dvoch členov. Obe vynásobené skupiny by mali byť rovnaké. Sčítajte najväčšie spoločné činitele a dajte ich do zátvoriek vedľa skupiny faktorov; výsledkom budú vaše dva činitele:[4]

6×2 + 4x + 9x + 6


2x(3x + 2) + 3(3x + 2)


(2x + 3)(3x + 2)

Metóda 4 zo 7: Trojitá hra

Podobne ako metóda rozkladu, aj metóda „trojitej hry“[5]
skúma možné faktory súčinu a a c termov a použije ich na zistenie toho, čo b musí byť. Pre tento príklad uvažujme rovnicu:

8×2 + 10x + 2


Vynásobte a člen podľa c termín. Rovnako ako pri metóde rozkladu nám to pomôže identifikovať kandidátov na b termín. V tomto príklade, a je 8 a c je 2.

8 * 2 = 16


Nájdite dve čísla, ktorých súčinom je toto číslo a ktorých súčet sa rovná b výraz. Tento krok je totožný s metódou rozkladu – testujeme a odmietame kandidátov na konštanty. Súčin a a c termov je 16 a c člen je 10:

2 * 8 = 16


8 + 2 = 10


Vezmite tieto dve čísla a skúšobne ich dosaďte do vzorca „trojčlenky. Vezmime si naše dve čísla z predchádzajúceho kroku – nazvime ich h a k – a vložte ich do tohto výrazu:

((ax + h)(ax + k))/ a

Tu by sme dostali:

((8x + 8)(8x + 2)) / 8


Pozrite sa, ktorý z dvoch členov v čitateli je rovnomerne deliteľný a. V tomto príklade zisťujeme, či sa dá (8x + 8) alebo (8x + 2) deliť číslom 8. (8x + 8) je deliteľné 8, takže tento člen vydelíme a a druhý ponechajte tak, ako je.

(8x + 8) = 8(x + 1)


Výraz, ktorý tu zachraňujeme, je to, čo zostane po delení koeficientom a člen: (x + 1)


Vezmite najväčší spoločný deliteľ (GCF) z jedného alebo oboch členov, ak existuje. V tomto príklade má druhý člen GCF 2, pretože 8x + 2 = 2(4x + 1). Túto odpoveď spojte s členom, ktorý ste určili v predchádzajúcom kroku. Toto sú činitele vašej rovnice.

2(x + 1)(4x + 1)

Metóda 5 zo 7:Rozdiel dvoch štvorcov

Niektoré koeficienty v polynómoch možno identifikovať ako „štvorce“ alebo súčin dvoch čísel. Identifikácia týchto štvorcov vám umožní oveľa rýchlejšie vynásobiť niektoré polynómy.[6]
Uvažujte rovnicu:

27×2 – 12 = 0


Ak je to možné, vyfaktorujte najväčší spoločný deliteľ. V tomto prípade vidíme, že 27 a 12 sú deliteľné 3, takže to oddelíme:

27×2 – 12 = 3(9×2 – 4)


Určite, či sú koeficienty vašej rovnice štvorcové čísla. Ak chcete použiť túto metódu, mali by ste byť schopní rovnomerne previesť druhú odmocninu z členov. (Všimnite si, že sme vynechali záporné znamienka – keďže tieto čísla sú štvorce, môžu byť súčinmi kladných alebo dvoch záporných čísel)

9×2 = 3x * 3x a 4 = 2 * 2


Pomocou odmocnín, ktoré ste určili, vypíšte činitele. Vezmeme si a a c hodnoty z nášho vyššie uvedeného kroku – a = 9 a c = 4, potom nájdite ich odmocniny – √a = 3 a √c = 2. Toto sú koeficienty pre výrazy činiteľa:

27×2 – 12 = 3(9×2 – 4) = 3(3x + 2)(3x – 2)

Metóda 6 zo 7:Kvadratický vzorec

Ak všetko ostatné zlyhá a rovnica nebude rovnomerne deliteľná, použite kvadratický vzorec.[7]
Uvažujme príklad:

x2 + 4x + 1 = 0


Dosadíme príslušné hodnoty do kvadratického vzorca:

x = -b ± √(b2 – 4ac)
      ———————
                2a


Dostaneme výraz:

x = -4 ± √(42 – 4-1-1) / 2


Vyriešte x. Mali by ste dostať dve hodnoty x. Ako je uvedené vyššie, dostaneme dve odpovede:

x = -2 + √(3) alebo x = -2 – √(3)


Použite svoju hodnotu x na zistenie faktorov. Dosadiť získané hodnoty x do dvoch polynomických výrazov ako konštanty. To budú vaše činitele. Ak naše dve odpovede nazveme h a k, zapíšeme dva činitele takto:

(x – h)(x – k)


V tomto prípade je naša konečná odpoveď:

(x – (-2 + √(3))(x – (-2 – √(3)) = (x + 2 – √(3))(x + 2 + √(3))

Metóda 7 zo 7:Použitie kalkulačky

Ak máte povolené používať grafickú kalkulačku, proces faktorizácie je oveľa jednoduchší, najmä pri štandardizovaných testoch. Tieto pokyny sú určené pre grafický kalkulátor TI. Použijeme príkladovú rovnicu:

y = x2 – x – 2


Zadajte do kalkulačky svoju rovnicu. Použijete riešiteľa rovníc, známeho aj ako obrazovka [Y = ].


Vypočítajte rovnicu pomocou kalkulačky. Po zadaní rovnice stlačte tlačidlo [GRAPH] – mali by ste vidieť hladký oblúk, ktorý predstavuje vašu rovnicu (a bude to oblúk, pretože sa zaoberáme polynómami).


Nájdite miesto, kde oblúk pretína os x. Keďže polynomické rovnice sa tradične zapisujú ako ax2 + bx + c = 0, sú to dve hodnoty x, ktoré spôsobujú, že výraz sa rovná nule:

(-1, 0), (2, 0)


x = -1, x = 2

  • Ak nemôžete určiť, kde váš graf pretína os x pohľadom, stlačte tlačidlo [2nd] a potom [TRACE]. Stlačte [2] alebo vyberte „nula“. Posuňte kurzor doľava od priesečníka a stlačte [ENTER]. Posuňte kurzor napravo od priesečníka a stlačte [ENTER]. Posuňte kurzor čo najbližšie k priesečníku a stlačte [ENTER]. Kalkulačka nájde hodnotu x. Urobte to aj pre druhý priesečník.

  • Zapojte hodnoty x získané v predchádzajúcom prípade do dvoch faktorových výrazov. Ak označíme naše dve hodnoty x h a k, výraz, ktorý budeme používať, je:

    (x – h)(x – k) = 0


    Naše dva činitele teda musia byť:

    (x – (-1))(x – 2) = (x + 1)(x – 2)
  • Odkazy