7 spôsobov riešenia pomerov

Už ste sa stretli so zlomkami ako napr

12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

. Pomer je dvojica zlomkov, ktoré sa navzájom rovnajú, ako napríklad

12=24{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}}

. Existuje mnoho rôznych spôsobov riešenia úloh o pomere, v ktorých treba nájsť chýbajúce číslo

x{\displaystyle x}

, a nemusíte sa ich dnes naučiť všetky. Ak sa učíte predalgebru a práve začínate používať proporcie, čítajte od začiatku, kým nenájdete metódu, ktorá vám dáva zmysel. Ak sa učíte algebru a pracujete na pokročilejších úlohách o proporciách, možno budete musieť preskočiť na neskoršie metódy.

Otázka 1 zo 7:Ako sa „vertikálne“ rieši podiel?


  • Použite vzťah medzi horným a dolným číslom zlomku. Ak môžete vynásobiť alebo vydeliť horné číslo, aby ste získali dolné číslo, táto metóda je najjednoduchšia.[1]

    • 312=19x{\displaystyle {\frac {\color {blue}{3}}{\color {blue}{12}}={\frac {19}{x}}}
    • Ako spolu súvisia čísla 3 a 12?
      3×4=12{\displaystyle 3\times {\textbf {4}}=12}
    • Druhý zvislý stĺpec je spojený rovnakým spôsobom:
      19×4=x{\displaystyle 19\times {\textbf {4}}=x}
    • x=76{\displaystyle x=76}

      , takže

      312=1976{\displaystyle {\frac {3}{12}}={\frac {19}{76}}}
  • Otázka 2 zo 7:Ako môžem vyriešiť podiel „horizontálnou“ metódou?


  • Použite vzťah medzi týmito dvoma číslami naprieč podielom. Môžete sa tiež pozrieť zľava doprava, cez oba zlomky:

    • x5=3610{\displaystyle {\frac {x}{\color {orange}{5}}}={\frac {36}{\color {orange}{10}}}}
    • Aký je vzťah medzi 5 a 10?
      5×2=10{\displaystyle 5\times {\textbf {2}}=10}
    • Druhý vodorovný riadok sa vzťahuje rovnakým spôsobom:
      x×2=36{\displaystyle x\times {\textbf {2}}=36}
    • x=18{\displaystyle x=18}

      , takže

      185=3610{\displaystyle {\frac {18}{5}}={\frac {36}{10}}}
  • Otázka 3
    Otázka č. 3 zo 7:Ako vyriešim podiel postupným krížovým násobením?


    Nakreslite dve diagonálne čiary do písmena „X“ cez podiel. Napíšte napríklad tento podiel, potom nakreslite jednu čiaru medzi fialovými členmi a druhú čiaru medzi zelenými členmi:

    • 14x=46{\displaystyle {\frac {\farba {fialová}{14}}{\farba {zelená}{x}}={\frac {\farba {zelená}{4}}{\farba {fialová}{6}}}}


    Vynásobte dve čísla spojené čiarou. Jedna z čiar bude spájať dve čísla (namiesto čísla a premennej ako napr

    x{\displaystyle x}

    ). Nájdite súčin týchto dvoch čísel:

    • 14×6=84{\displaystyle \color {purple}{14\times 6}\color {black}{=}84}


    Vydelte posledným číslom v pomere. Vezmite odpoveď na úlohu na násobenie a vydeľte ju číslom, ktoré ste ešte nepoužili. (Toto je zelené číslo v príklade.) Výsledkom je hodnota

    x{\displaystyle x}

    , chýbajúce číslo vo vašom pomere.

    • 84÷4=21{\displaystyle \color {purple}{84}\color {black}{\div }\color {green}{4}\color {black}{=21}}
    • x=21{\displaystyle x=21}

      , takže môžete vyplniť svoj podiel takto:

      1421=46{\displaystyle {\frac {14}{21}}={\frac {4}{6}}}

    Otázka 4 zo 7:Ako nájdete chýbajúcu hodnotu v pomere pomocou tabuľky pomerov?


    Nakreslite tabuľku s dvoma riadkami. Horné čísla v pomere dajte do horného riadku a dolné čísla do druhého riadku. Čísla rovnakého podielu nechajte v tom istom stĺpci a nechajte medzi nimi a na oboch stranách niekoľko prázdnych stĺpcov.[2]
    Tu je príklad problému

    48x=1288{\displaystyle {\bf {{\frac {48}{x}}={\frac {128}{8}}}}}

    :

    •         48                 128 
         x    8
    • Každý stĺpec v tejto tabuľke predstavuje zlomok. Všetky zlomky v tejto tabuľke sa navzájom rovnajú.


    Pridanie ekvivalentných zlomkov do tabuľky. Začnite zlomkom, pri ktorom poznáte obe čísla, a potom každé číslo v tomto stĺpci vynásobte alebo vydeľte rovnakou hodnotou. Nový zlomok zapíš do tabuľky a vlož ho do stĺpca tak, aby boli čísla v poradí:

    • Skúste napríklad rozdeliť hornú a dolnú časť
      1288{\displaystyle {\frac {128}{8}}}

      o 2. Tým získame nový zlomok,

      644{\displaystyle {\frac {64}{4}}}

      , na vloženie do tabuľky.

    •         48   64          128 
         x    4    8


    Opakujte, kým si nevšimnete vzor. Keď nájdete nové zlomky, nezabudnite ich zapísať do tabuľky tak, aby boli čísla v poradí. To vám pomôže zúžiť možnosti pre hodnotu x.

    • Horná aj dolná časť
      644{\displaystyle {\frac {64}{4}}}

      sú opäť deliteľné dvomi, čím dostaneme zlomok

      322{\displaystyle {\frac {32}{2}}}

      .

    •  32   48   64          128 
       2     x    4    8
    • x vo vašej tabuľke je niekde medzi 2 a 4. Vyskúšajme 3 tak, že ho zapojíme späť do vášho pomeru:
      483=1288{\displaystyle {\frac {48}{\bf {3}}}={\frac {128}{8}}}


    Skontrolujte svoju prácu. Pri tejto metóde si vždy skontrolujte svoju prácu. Niekedy odpoveď nebude celé číslo a budete musieť do tabuľky doplniť zlomky alebo použiť inú metódu.

    • Skontrolujte, či
      483=1288{\displaystyle {\frac {48}{3}}={\frac {128}{8}}}

      je správnym riešením, nakreslite cez zlomok dve uhlopriečky. Vynásobte dve čísla pozdĺž jednej priamky:

      48×8=384{\displaystyle 48\times 8=384}

      .

    • Teraz vynásobte obe čísla pozdĺž druhého riadku:
      3×128=384{\displaystyle 3\times 128=384}

      .

    • Obe odpovede sú rovnaké, čo znamená, že vaša odpoveď je správna.

    Otázka 5 zo 7:Ako vyriešiť percentuálne podiely?


    Prepíšte úlohu ako podiel. Akékoľvek percento môžete zapísať ako zlomok 100. Využite tento fakt na stanovenie úlohy ako podiel (dva rovnaké zlomky):

    • Podiel bude mať vždy tvar
      PartWhole=%100{\displaystyle {\frac {Časť}{Celok}}={\frac {\%}{100}}}

      . Pri slovných úlohách sa „časť“ zvyčajne uvádza vedľa slova „je“ a „celok“ sa zvyčajne uvádza za slovom „z“.[3]

    • Napríklad „3 je koľko percent z 6?“ možno prepísať ako
      36=x100{\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {x}{100}}}

      . Percento je neznáme, takže ho zapíšeme ako

      x{\displaystyle x}

      a vyriešiť ju.


    Riešenie krížovým násobením alebo inou metódou. Teraz, keď je problém zadaný ako podiel, môžete ho vyriešiť ľubovoľnou metódou. Jednou z najbežnejších metód je krížové násobenie:

    • Najprv vynásobíme cez diagonálu dve známe čísla. Pre podiel
      36=x100{\displaystyle {\frac {\color {purple}{3}}{6}}={\frac {x}{\color {purple}{100}}}}

      , to znamená vynásobenie

      3×100=300{\displaystyle 3\times 100=300}

      .

    • Teraz svoju odpoveď vydeľte posledným zostávajúcim číslom v podiele:
      300÷6=50{\displaystyle 300\div 6=50}

      .

    • x=50{\displaystyle x=50}

      a úplný podiel je

      36=50100{\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {50}{100}}}

    Otázka 6 zo 7:Ako sa riešia pomery algebricky?


    Považujte podiel za algebraickú rovnicu. Pomery sa zvyčajne uvádzajú na hodinách predalgebry. Keď však prejdete na algebru, dozviete sa, že podiel je len jeden druh algebraickej rovnice. Pre každú algebraickú rovnicu platí jedno veľké pravidlo:

    • Ľavú stranu rovnice môžeš zmeniť, pokiaľ urobíš rovnaké počty na pravej strane.


    Vynásobte každú stranu menovateľom. Pri riešení neznámej hodnoty

    x{\displaystyle x}

    v algebraickej rovnici, vaším cieľom je získať

    x{\displaystyle x}

    samostatne na jednej strane. Keď sa

    x{\displaystyle x}

    je uviaznutý vo vnútri zlomku, ako vo všetkých úlohách o pomere, dobrým spôsobom, ako začať, je zrušiť tieto zlomky.

    • Začnite napríklad s podielom
      1727=13x{\displaystyle {\frac {17}{27}}={\frac {13}{x}}}

      .

    • Ak sa chcete zbaviť zlomku na ľavej strane, vynásobte obe strany číslom 27:
    • 27×1727=27×13x{\displaystyle {\frac {27\times 17}{27}}={\frac {27\times 13}{x}}
    • 27 na ľavej strane sa zruší:
      17=27×13x{\displaystyle 17={\frac {27\times 13}{x}}}


    Vynásobte každú stranu druhým menovateľom. Tým sa zbavíte druhého zlomku. Toto môžete urobiť aj vtedy, ak je menovateľ

    x{\displaystyle x}

    , ako je znázornené tu:

    • x×17=x×27×13x{\displaystyle x\times 17={\frac {x\times 27\times 13}{x}}}
    • Dve
      x{\displaystyle x}

      s na pravej strane sa rušia:

      17x=27×13{\displaystyle 17x=27\times 13}


    Vydelte a dostanete

    x{\displaystyle x}

    sama o sebe. Teraz by ste mali mať jednu stranu rovnice, ktorá je práve

    x{\displaystyle x}

    vynásobenú iným číslom. Vydelením každej strany týmto číslom dostaneme

    x{\displaystyle x}

    samostatne:

    • 17x17=27×1317{\displaystyle {\frac {17x}{17}}={\frac {27\times 13}{17}}}
    • 17 na ľavej strane sa zruší:
      x=27×1317{\displaystyle x={\frac {27\times 13}{17}}}


    Zjednodušte svoju odpoveď alebo ju nechajte tak, ako je. Teraz môžete svoj výsledok vložiť do kalkulačky (alebo vypočítať ručne) a nájsť hodnotu

    x{\displaystyle x}

    . Niekedy sa odpoveď nezjednoduší na celé číslo alebo dokonca na jednoduché desatinné číslo. V takom prípade je najlepšie ponechať odpoveď ako zlomok.

    • x=27×1317=35117{\displaystyle x={\frac {27\times 13}{17}}={\frac {351}{17}}}
    • Veľkou výhodou tejto metódy je, že funguje aj vtedy, keď
      x{\displaystyle x}

      je takéto ťažké číslo. Ak vám to však nedávalo zmysel, nič sa nedeje: väčšina učiteľov a učebníc začína s ostatnými vyššie uvedenými metódami a algebru vás naučí o niečo neskôr.

    Otázka 7 zo 7:Ako vyriešiť podiel s premennou na oboch stranách?


    Uvedomte si, že vaším cieľom je získať premennú na jednej strane. Ťažšie úlohy o pomere majú

    x{\displaystyle x}

    na obidve strany znamienka rovnosti. Funguje to rovnako ako akýkoľvek iný podiel, ale na spracovanie premennej budete musieť použiť algebru

    x{\displaystyle x}

    . Vaším cieľom je získať každý

    x{\displaystyle x}

    v rovnici na jednu stranu, aby ste ju mohli zjednodušiť na jednu

    x{\displaystyle x}

    a nájdite odpoveď.


    Ak jeden

    x{\displaystyle x}

    je menovateľ, vynásobte obe strany číslom

    x{\displaystyle x}

    . Ak je spodná časť jedného zlomku

    x{\displaystyle x}

    , potom to už dostane

    x{\displaystyle x}

    na jednej strane. Od tohto bodu sa k odpovedi dostanete bežnou algebrou:

    • 3x4=48x{\displaystyle {\frac {3x}{4}}={\frac {48}{x}}}
    • Vynásobte
      x{\displaystyle x}

      na oboch stranách:

      x×3x4=x×48x{\displaystyle x\times {\frac {3x}{4}}=x\times {\frac {48}{x}}}
    • Zjednodušte:
      3x24=48{\displaystyle {\frac {3x^{2}}{4}}=48}
    • Vynásobte 4 na oboch stranách:
      4×3x24=4×48{\displaystyle 4\times {\frac {3x^{2}}{4}}=4\times 48}
    • Zjednodušte:
      3x2=192{\displaystyle 3x^{2}=192}
    • Na oboch stranách vydeľte číslom 3:
      3x23=1923{\displaystyle {\frac {3x^{2}}{3}}={\frac {192}{3}}}
    • Zjednodušte:
      x2=64{\displaystyle x^{2}=64}
    • Nájdite druhú odmocninu:
      x=64=±8{\displaystyle x={\sqrt {64}}=\pm 8}

  • V opačnom prípade vynásobte celého menovateľa pomocou

    x{\displaystyle x}

    . Násobenie len časťou menovateľa vám nepomôže zbaviť sa zlomku. Vždy vynásobte celým menovateľom:

    • Upozornenie: Toto je zložitý príklad. Ak ste sa ešte neučili o kvadratických rovniciach, možno budete chcieť túto časť preskočiť.
    • 3x+1=2x8{\displaystyle {\frac {3}{x+1}}={\frac {2x}{8}}}
    • Vynásobte
      (x+1){\displaystyle (x+1)}

      :

      (x+1)3x+1=2x(x+1)8{\displaystyle (x+1){\frac {3}{x+1}}={\frac {2x(x+1)}{8}}}
    • Zjednodušte. Nezabudnite násobiť
      2x{\displaystyle 2x}

      s obidve V zátvorkách sú uvedené výrazy a výsledky sa sčítajú:

      3=2x2+2x8{\displaystyle 3={\frac {2x^{2}+2x}{8}}}
    • Zlomok vpravo má členy, ktoré sú všetky deliteľné 2. Zjednodušte:
      3=x2+x4{\displaystyle 3={\frac {x^{2}+x}{4}}}
    • Vynásobte 4 na oboch stranách:
      4×3=4×x2+x4{\displaystyle 4\times 3=4\times {\frac {x^{2}+x}{4}}}
    • Zjednodušte:
      12=x2+x{\displaystyle 12=x^{2}+x}
    • Odpočítajte 12, aby ste na jednej strane dostali nulu:
      x2+x12=0{\displaystyle x^{2}+x-12=0}
    • Teraz môžete túto rovnicu vyriešiť ako kvadratickú rovnicu pomocou akejkoľvek metódy, ktorú ste sa naučili.
    • Môžete to napríklad vynásobiť ako
      (x+4)(x3)=0{\displaystyle (x+4)(x-3)=0}

      , potom sa rieši pre

      x+4=0{\displaystyle x+4=0}

      a

      x3=0{\displaystyle x-3=0}

      aby ste dostali svoje dve odpovede,

      x=4{\displaystyle x=-4}

      a

      x=3{\displaystyle x=3}

      .

  • Odkazy