8 spôsobov integrácie

Integrácia je inverzná operácia diferenciácie. Zvyčajne sa hovorí, že diferenciácia je veda, zatiaľ čo integrácia je umenie. Dôvodom je, že integrácia je jednoducho ťažšia úloha – zatiaľ čo derivácia sa zaoberá len správaním funkcie v bode, integrál, ktorý je oslavovaným súčtom, si integráciu vyžaduje globálne Znalosť funkcie. Hoci teda existujú funkcie, ktorých integrály možno vyhodnotiť pomocou štandardných postupov uvedených v tomto článku, mnohé ďalšie sa vyhodnotiť nedajú.

V tomto článku preberieme základné techniky integrácie jednej premennej a aplikujeme ich na funkcie s antiderivátmi.

Časť 1 zo 7:Základy

Pochopiť notáciu pre integráciu. Integrálny

abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}

pozostáva zo štyroch častí.

  • Stránka
    {\displaystyle \int }

    je symbol pre integráciu. Je to vlastne predĺžená S.

  • Funkcia
    f(x){\displaystyle f(x)}

    sa nazýva Integrál keď je vnútri integrálna.

  • Rozdiel
    dx{\displaystyle \mathrm {d} x}

    intuitívne je povedať, akú premennú integrujete vzhľadom na. Pretože (Riemannova) integrácia je len súčtom nekonečne tenkých obdĺžnikov s výškou

    f(x),{\displaystyle f(x),}

    vidíme, že

    dx{\displaystyle \mathrm {d} x}

    sa vzťahuje na šírku týchto obdĺžnikov.

  • Písmená
    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    sú hranice. Integrál nemusí mať hranice. V takomto prípade hovoríme, že máme do činenia s neurčitý integrál. Ak existuje, potom máme do činenia s určitý integrál.

  • V tomto článku budeme prechádzať procesom hľadania antideriváty funkcie. Antiderivát je funkcia, ktorej deriváciou je pôvodná funkcia, s ktorou sme začali.


Pochopiť definíciu integrálu. Keď hovoríme o integráloch, zvyčajne sa odvolávame na Riemann integrály; inými slovami, sčítanie obdĺžnikov. Daná funkcia

f(x),{\displaystyle f(x),}

obdĺžnik so šírkou

Δx,{\displaystyle \Delta x,}

a interval

[a,b],{\displaystyle [a,b],}

plocha prvého obdĺžnika je daná

f(x1)Δx1,{\displaystyle f(x_{1})\Delta x_{1},}

pretože je to len základ krát výška (hodnota funkcie). Podobne plocha druhého obdĺžnika je

f(x2)Δx2.{\displaystyle f(x_{2})\Delta x_{2}.}

Zovšeobecnením hovoríme, že plocha s obdĺžnik je

f(xi)Δxi.{\displaystyle f(x_{i})\Delta x_{i}.}

V súčtovom zápise to možno znázorniť takto.

  • i=1nf(xi)Δxi{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x_{i}}
  • Ak ste symbol sčítania videli prvýkrát, môže to vyzerať desivo…ale nie je to vôbec zložité. Všetko, čo to hovorí, je, že sčítame plochu
    n{\displaystyle n}

    obdĺžniky. (Premenná

    i{\displaystyle i}

    je známy ako fiktívny index.) Ako však môžete uhádnuť, plocha všetkých obdĺžnikov sa bude určite mierne líšiť od skutočnej plochy. Riešime to tak, že počet obdĺžnikov pošleme do nekonečna. Keď zväčšujeme počet obdĺžnikov, plocha všetkých obdĺžnikov sa lepšie približuje ploche pod krivkou. To je to, čo znázorňuje vyššie uvedený graf (pozri tipy, čo znázorňuje graf uprostred). Limit ako

    n{\displej n\to \infty }

    je to, čo definujeme ako integrál funkcie

    f(x){\displaystyle f(x)}

    z

    a{\displaystyle a}

    na

    b.{\displayystyle b.}
    • abf(x)dx=limni=1nf(xi)Δxi{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x_{i}}
  • Samozrejme, táto hranica musí existovať, aby mal integrál nejaký význam. Ak takáto limita na intervale neexistuje, potom hovoríme, že
    f(x){\displaystyle f(x)}

    nemá integrál na intervale

    [a,b].{\displaystyle [a,b].}

    V tomto článku (a takmer v každej fyzikálnej aplikácii) sa zaoberáme len funkciami, v ktorých existujú tieto integrály.

Zapamätajte si

+C{\displaystyle +C}

pri vyhodnocovaní neurčitých integrálov! Jednou z najčastejších chýb, ktorých sa ľudia môžu dopustiť, je, že zabudnú pridať integračnú konštantu. Dôvodom, prečo je to potrebné, je, že antideriváty nie sú jedinečné. V skutočnosti môže mať funkcia nekonečný počet antiderivátov. Sú povolené, pretože derivácia konštanty je 0.

Časť 2 zo 7: Mocninové pravidlo

1Uvažujme monomický

xn{\displaystyle x^{n}}

.

Vykonajte mocninové pravidlo pre integrály. Ide o rovnaké mocninové pravidlo pre derivácie, ale v opačnom poradí. Zvýšime výkon o 1 a vydelíme novým výkonom. Nezabudnite pridať integračnú konštantu

C.{\displayystyle C.}
  • xndx=xn+1n+1+C{\displaystyle \int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}
  • Ak chcete overiť, že toto mocninové pravidlo platí, diferencujte antiderivát, aby ste získali pôvodnú funkciu.
  • Mocninové pravidlo platí pre všetky funkcie tohto tvaru so stupňom
    n{\displaystyle n}

    okrem keď

    n=1.{\displaystyle n=-1.}

    Neskôr uvidíme prečo.

Aplikujte linearitu. Integrácia je lineárny operátor, čo znamená, že integrál súčtu je súčtom integrálov a koeficient každého člena sa dá vydeliť takto:

  • (axn+bxm)dx=axndx+bxmdx{\displaystyle \int (ax^{n}+bx^{m})\mathrm {d} x=a\int x^{n}\mathrm {d} x+b\int x^{m}\mathrm {d} x}
  • Toto by vám malo byť známe, pretože derivácia je tiež lineárny operátor; derivácia súčtu je súčtom derivácií.
  • Linearita neplatí len pre integrály polynómov. Platí pre každý integrál, kde integrál je súčtom dvoch alebo viacerých členov.

Nájdite antiderivát funkcie

f(x)=x4+2x35x21{\displaystyle f(x)=x^{4}+2x^{3}-5x^{2}-1}

. Ide o polynóm, takže pomocou vlastnosti linearity a mocninového pravidla možno ľahko vypočítať antiderivát. Ak chcete nájsť antiderivát konštanty, pamätajte, že

x0=1,{\displaystyle x^{0}=1,}

takže konštanta je v skutočnosti len koeficient

x0.{\displaystyle x^{0}.}
  • (x4+2x35x21)dx=15x5+24x453x3x+C{\displaystyle \int (x^{4}+2x^{3}-5x^{2}-1)\mathrm {d} x={\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {2}{4}}x^{4}-{\frac {5}{3}}x^{3}-x+C}

Nájdite antiderivát funkcie

f(x)=2x2+3x1x1/3{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}+3x-1}{x^{1/3}}}}

. Môže sa zdať, že ide o funkciu, ktorá sa vymyká našim pravidlám, ale pri letmom pohľade zistíme, že zlomok môžeme rozdeliť na tri zlomky a pomocou linearity a mocninového pravidla nájsť antiderivát.

  • f(x)dx=2x2+3x1x1/3dx=(2x2x1/3+3xx1/31x1/3)dx=(2x5/3+3x2/3x1/3)dx=238x8/3+335x5/332x2/3+C=34x8/3+95x5/332x2/3+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int f(x)\mathrm {d} x&=\int {\frac {2x^{2}+3x-1}{x^{1/3}}}\mathrm {d} x\\&=\int \left({\frac {2x^{2}}{x^{1/3}}}+{\frac {3x}{x^{1/3}}}-{\frac {1}{x^{1/3}}}}\right)\mathrm {d} x\&=\int (2x^{5/3}+3x^{2/3}-x^{-1/3})\mathrm {d} x\\&=2\cdot {\frac {3}{8}}x^{8/3}+3\cdot {\frac {3}{5}}x^{5/3}-{\frac {3}{2}}x^{2/3}+C\&={\frac {3}{4}}x^{8/3}+{\frac {9}{5}}x^{5/3}-{\frac {3}{2}}x^{2/3}+C\end{aligned}}}
  • Spoločnou témou je, že musíte vykonať akúkoľvek manipuláciu, aby ste dostali integrál do polynómu. Odtiaľ je integrácia jednoduchá. Odhadnúť, či je integrál dostatočne jednoduchý na to, aby sa dal vylúčiť hrubou silou, alebo si najprv vyžaduje algebraickú manipuláciu, je úlohou zručnosti.

Časť 3 zo 7:Definitná integrácia

Uvažujme nižšie uvedený integrál. Na rozdiel od integračného procesu v časti 2 máme aj hranice na vyhodnotenie pri.

  • 23x2dx{\displaystyle \int _{2}^{3}x^{2}\mathrm {d} x}

Použite základnú vetu kalkulu. Táto veta sa skladá z dvoch častí. Prvá časť bola uvedená v prvej vete tohto článku: integrácia je inverzná operácia diferenciácie, takže integráciou a následnou diferenciáciou funkcie sa obnoví pôvodná funkcia. Druhá časť je uvedená nižšie.

  • Nech
    F(x){\displaystyle F(x)}

    je antiderivát

    f(x).{\displaystyle f(x).}

    Potom

    abf(x)dx=F(b)F(a).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}
  • Táto veta je neuveriteľne užitočná, pretože zjednodušuje integrál a znamená, že určitý integrál je úplne určený len hodnotami na jeho hraniciach. Na výpočet integrálov už nie je potrebné sčítavať obdĺžniky. Teraz už len musíme nájsť antideriváty a vyhodnotiť ich na hraniciach!

Vyhodnoťte integrál uvedený v kroku 1. Teraz, keď máme základnú vetu ako nástroj na riešenie integrálov, môžeme ľahko vypočítať hodnotu integrálu, ako je definovaný vyššie.

  • 23x2dx=13x3|23=13(3)313(2)3=193{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{2}^{3}x^{2}\mathrm {d} x&={\frac {1}{3}}x^{3}{\Bigg |}_{2}^{3}\\&={\frac {1}{3}}(3)^{3}-{\frac {1}{3}}(2)^{3}\\&={\frac {19}{3}}\end{aligned}}}
  • Opäť platí, že základná veta kalkulu sa nevzťahuje len na funkcie ako
    f(x)=x2.{\displaystyle f(x)=x^{2}.}

    Na integráciu možno použiť fundamentálnu vetu ľubovoľný funkcie, pokiaľ dokážete nájsť antiderivatívu.

Vyhodnotiť integrál s vymenenými hranicami. Pozrime sa, čo sa tu stane.

  • 32x2dx=13x3|32=13(2)313(3)3=193{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{2}x^{2}\mathrm {d} x&={\frac {1}{3}}x^{3}{\Bigg |}_{3}^{2}\\&={\frac {1}{3}}(2)^{3}-{\frac {1}{3}}(3)^{3}\\&=-{\frac {19}{3}}\end{aligned}}}
  • Práve sme získali zápornú hodnotu odpovede, ktorú sme dostali predtým. To ilustruje dôležitú vlastnosť definitných integrálov. Výmena hraníc neguje integrál.
    • baf(x)dx=abf(x)dx{\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}

Časť 4 zo 7:Antideriváty spoločných funkcií

Zapamätajte si antideriváty exponenciálnych funkcií. V nasledujúcich krokoch uvedieme bežne sa vyskytujúce funkcie, ako sú exponenciálne a trigonometrické funkcie. So všetkými sa často stretávame, takže vedieť, aké sú ich antideriváty, je kľúčové pre budovanie integračných zručností. Nezabudnite, že neurčité integrály majú navyše

C,{\displaystyle C,}

pretože derivácia konštanty je 0.

  • exdx=ex+C{\displaystyle \int e^{x}\mathrm {d} x=e^{x}+C}
  • axdx=axlna+C{\displaystyle \int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}

Zapamätajte si antideriváty trigonometrických funkcií. Toto sú len spätne aplikované derivácie a mali by byť známe. So sínusmi a kosínusmi sa stretávame oveľa častejšie a mali by sme určite zapamätať si. Podobne sa vyskytujú aj hyperbolické analógy, hoci sa s nimi stretávame menej často.

  • sinxdx=cosx+C{\displaystyle \int \sin x\mathrm {d} x=-\cos x+C}
  • cosxdx=sinx+C{\displaystyle \int \cos x\mathrm {d} x=\sin x+C}
  • sec2xdx=tanx+C{\displaystyle \int \sec ^{2}x\mathrm {d} x=\tan x+C}
  • csc2xdx=cotx+C{\displaystyle \int \csc ^{2}x\mathrm {d} x=-\cot x+C}
  • sekxtanxdx=sekx+C{\displaystyle \int \sec x\tan x\mathrm {d} x=\sec x+C}
  • cscxcotxdx=cscx+C{\displaystyle \int \csc x\cot x\mathrm {d} x=-\csc x+C}

Zapamätajte si antideriváty inverzných trigonometrických funkcií. Tieto by sa naozaj nemali považovať za cvičenie v „memorovaní“.“ Pokiaľ ste sa zoznámili s deriváciami, potom by vám mala byť známa aj väčšina týchto antiderivátov.

  • 11x2dx=sin1x+C{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\sin ^{-1}x+C}
  • 11x2dx=cos1x+C{\displaystyle \int {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\cos ^{-1}x+C}
  • 11+x2dx=tan1x+C{\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x=\tan ^{-1}x+C}

Zapamätajte si antiderivát recipročnej funkcie. Predtým sme povedali, že funkcia

f(x)=x1,{\displaystyle f(x)=x^{-1},}

alebo

f(x)=1x,{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}

bola výnimka z mocninového pravidla. Dôvodom je, že antiderivátom tejto funkcie je logaritmická funkcia.

  • 1xdx=ln|x|+C{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=\ln |x|+C}
  • (Niekedy autori radi uvádzajú
    dx{\displaystyle \mathrm {d} x}

    v čitateli zlomku, takže sa číta takto

    dxx.{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x}}.}

    Uvedomte si tento zápis.)

  • Dôvod pre absolútnu hodnotu vo funkcii logaritmu je jemný a vyžaduje si dôkladnejšie pochopenie reálnej analýzy, aby bolo možné úplne odpovedať. Zatiaľ budeme žiť len s tým, že domény sa po sčítaní stĺpcov absolútnych hodnôt stávajú rovnakými.

Vyhodnoťte nasledujúci integrál nad danými hranicami. Naša funkcia je daná ako

f(x)=2cosx+tan2x6.{\displaystyle f(x)=2\cos x+\tan ^{2}x-6.}

Tu nepoznáme antiderivát

tan2x,{\displaystyle \tan ^{2}x,}

ale môžeme použiť trigonometrickú identitu na prepísanie integrálu v tvare funkcie, ktorej poznáme antiderivát – a to,

1+tan2x=sec2x.{\displaystyle 1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x.}
  • π/4π/3f(x)dx=π/4π/3(2cosx+tan2x6)dx=π/4π/3(2cosx+sek2x7)dx=(2sinx+tanx7x)|π/4π/3=(2sinπ3+tanπ37π3)(2sinπ4+tanπ47π4)=23217π12{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\pi /4}^{\pi /3}f(x)\mathrm {d} x&=\int _{\pi /4}^{\pi /3}(2\cos x+\tan ^{2}x-6)\mathrm {d} x\\&=\int _{\pi /4}^{\pi /3}(2\cos x+\sec ^{2}x-7)\mathrm {d} x\\&=(2\sin x+\tan x-7x){\Big |}_{\pi /4}^{\pi /3}\\&=\levá(2\sin {\frac {\pi }{3}}+\tan {\frac {\pi }{3}}-{\frac {7\pi }{3}}}vpravo)-\levá(2\sin {\frac {\pi }{4}}+\tan {\frac {\pi }{4}}-{\frac {7\pi }{4}}vpravo)\\&=2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}-1-{\frac {7\pi }{12}}\end{aligned}}}
  • Ak potrebujete desatinnú aproximáciu, môžete použiť kalkulačku. Tu,
    23217π120.7827.{2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}-1-{\frac {7\pi }{12}} aprox -0.7827.}

Časť 5 zo 7:Integrály symetrických funkcií

Vyhodnoťte integrál párnej funkcie. Rovnomerné funkcie sú funkcie s vlastnosťou, že

f(x)=f(x).{\displaystyle f(-x)=f(x).}

Inými slovami, mali by ste byť schopní nahradiť každý

x{\displaystyle x}

s a

x{\displaystyle -x}

a dostaneme rovnakú funkciu. Príkladom párnej funkcie je

x2.{\displaystyle x^{2}.}

Ďalším príkladom je funkcia kosínus. Všetky párne funkcie sú symetrické okolo osi y.

  • 11(cosx+x4)dx{\displaystyle \int _{-1}^{1}(\cos x+x^{4})\mathrm {d} x}
  • Náš integrál je párny. Môžeme okamžite integrovať pomocou fundamentálnej vety kalkulu, ale ak sa pozrieme pozornejšie, vidíme, že hranice sú symetrické okolo
    x=0.{\displaystyle x=0.}

    To znamená, že integrál od -1 po 0 nám dá rovnakú hodnotu ako integrál od 0 po 1. Takže môžeme zmeniť hranice na 0 a 1 a vynásobiť a 2.

    • 11(cosx+x4)dx=201(cosx+x4)dx{\displaystyle \int _{-1}^{1}(\cos x+x^{4})\mathrm {d} x=2\int _{0}^{1}(\cos x+x^{4})\mathrm {d} x}
  • Možno sa to nezdá veľa, ale hneď uvidíme, že sa nám práca zjednodušila. Po nájdení antiderivatív si všimnite, že ju musíme vyhodnotiť len v bode
    x=1.{\displaystyle x=1.}

    Antiderivát pri

    x=0{\displaystyle x=0}

    bude nie prispievajú k integrálu.

    • 201(cosx+x4)dx=2sin1+25{\displaystyle 2\int _{0}^{1}(\cos x+x^{4})\mathrm {d} x=2\sin 1+{\frac {2}{5}}}
  • Vo všeobecnosti, vždy keď vidíte párnu funkciu so symetrickými hranicami, mali by ste vykonať toto zjednodušenie, aby ste robili menej aritmetických chýb.
    • aaf(x)dx=20af(x)dx,  f(x) even{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=2\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} x,\ \ f(x)\ \mathrm {even} }

Vyhodnotiť integrál nepárnej funkcie. Liché funkcie sú funkcie s vlastnosťou, že

f(x)=f(x).{\displaystyle f(-x)=-f(x).}

Inými slovami, mali by ste byť schopní nahradiť každý

x{\displaystyle x}

s a

x{\displaystyle -x}

a potom dostaneme záporné pôvodnej funkcie. Príkladom nepárnej funkcie je

x3.{\displaystyle x^{3}.}

Funkcie sínus a tangens sú tiež nepárne. Všetky nepárne funkcie sú symetrické okolo počiatku (predstavte si, že zápornú časť funkcie otočíte o 180° – potom sa uloží na kladnú časť funkcie). Ak sú hranice symetrické, potom integrál bude 0.

  • π/2π/2(2x3+2sinx)dx{\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2}(2x^{3}+2\sin x)\mathrm {d} x}
  • Tento integrál by sme mohli vyhodnotiť priamo…alebo môžeme rozpoznať, že náš integrál je nepárny. Okrem toho sú hranice symetrické okolo pôvodu. Preto je náš integrál rovný 0. Prečo je to tak? Je to preto, že antiderivát je párny. Rovnomerné funkcie majú vlastnosť, že
    f(x)=f(x),{\displaystyle f(-x)=f(x),}

    takže keď vyhodnotíme na hraniciach

    a{\displaystyle -a}

    a

    a,{\displaystyle a,}

    potom

    F(a)=F(a){\displaystyle F(-a)=F(a)}

    okamžite vyplýva, že

    F(a)F(a)=0.{\displaystyle F(a)-F(-a)=0.}
    • π/2π/2(2x3+2sinx)dx=0{\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2}(2x^{3}+2\sin x)\mathrm {d} x=0}
  • Vlastnosti týchto funkcií sú veľmi silné pri zjednodušovaní integrálov, ale hranice musí byť symetrický. V opačnom prípade budeme musieť vyhodnotiť starým spôsobom.
    • aaf(x)dx=0,  f(x) odd{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0,\ \ f(x)\ \mathrm {odd} }

Časť 6 zo 7:U-substitúcia

Pozrite si hlavný článok o tom, ako vykonať u-substitúcie. U-substitúcia je technika, ktorá mení premenné s nádejou, že sa získa jednoduchší integrál. Ako uvidíme, ide o analógiu reťazového pravidla pre derivácie.

Vyhodnoťte integrál

eax{\displaystyle e^{ax}}

. Čo urobíme, keď má exponent v sebe koeficient? Na zmenu premenných použijeme substitúciu u. Ukázalo sa, že tieto druhy u-sub sú najjednoduchšie na vykonanie a robia sa tak často, že u-sub sa často vynecháva. Napriek tomu ukážeme celý proces.

  • eaxdx{\displaystyle \int e^{ax}\mathrm {d} x}

Zvoľte a

u{\displaystyle u}

a nájdeme

du{\displaystyle \mathrm {d} u}

. Zvolíme

u=ax{\displaystyle u=ax}

tak, aby sme dostali a

eu{\displaystyle e^{u}}

v integrande funkciu, ktorej antiderivát poznáme – samu seba. Potom musíme nahradiť

dx{\displaystyle \mathrm {d} x}

s

du,{\displaystyle \mathrm {d} u,}

ale musíme sa uistiť, že sledujeme naše výrazy. V tomto príklade,

du=adx,{\displaystyle \mathrm {d} u=a\mathrm {d} x,}

takže celý integrál musíme vydeliť

a{\displaystyle a}

na kompenzáciu.

  • eaxdx=1aeudu{\displaystyle \int e^{ax}\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\int e^{u}\mathrm {d} u}

Vyhodnoťte a prepíšte v zmysle pôvodnej premennej. Pri neurčitých integráloch sa musia prepísať v tvare pôvodnej premennej.

  • eaxdx=1aeax+C{\displaystyle \int e^{ax}\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}

Vyhodnoťte nasledujúci integrál s danými hranicami. Ide o určitý integrál, takže musíme vyhodnotiť antiderivatívu na hraniciach. Uvidíme tiež, že tento u-sub je prípad, keď je potrebné „spätne substituovať.“

  • 01x2x+3dx{\displaystyle \int _{0}^{1}x{\sqrt {2x+3}}\mathrm {d} x}

Zvoľte a

u{\displaystyle u}

a nájdite

du{\displaystyle \mathrm {d} u}

. Nezabudnite zmeniť aj hranice podľa vašej substitúcie. Zvolíme

u=2x+3{\displaystyle u=2x+3}

takže zjednodušíme druhú odmocninu. Potom

du=2dx,{\displaystyle \mathrm {d} u=2\mathrm {d} x,}

a hranice sa potom zmenia z 3 na 5. Avšak po nahradení

dx{\displaystyle \mathrm {d} x}

s a

du,{\displaystyle \mathrm {d} u,}

stále máme

x{\displaystyle x}

v integrále.

  • 01x2x+3dx=1235xudu{\displaystyle \int _{0}^{1}x{\sqrt {2x+3}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{3}^{5}x{\sqrt {u}}\mathrm {d} u}

Riešte pre

x{\displaystyle x}

v zmysle

u{\displaystyle u}

a nahraďte. Toto je spätná substitúcia, o ktorej sme hovorili predtým. Náš u-sub sa nezbavil všetkých

x{\displaystyle x}

členov v integrále, takže sa ho musíme zbaviť spätnou substitúciou. Zistíme, že

x=u32.{\displaystyle x={\frac {u-3}{2}}.}

Po zjednodušení dostaneme nasledovné.

  • 1235xudu=1435(u3)udu{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{3}^{5}x{\sqrt {u}}\mathrm {d} u={\frac {1}{4}}\int _{3}^{5}(u-3){\sqrt {u}}\mathrm {d} u}

Rozbaľte a vyhodnoťte. Výhodou pri práci s určitými integrálmi je, že pred vyhodnotením nemusíte antiderivát prepísať v termínoch pôvodnej premennej. Takýto postup by priniesol zbytočné komplikácie.

  • 1435(u3)udu=1435(u3/23u1/2)du=14(25u5/2323u3/2)|35=14(25(5)5/22(5)3/225(3)5/2+2(3)3/2)=14(6533/2+233/2)=144533/2=335{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int _{3}^{5}(u-3){\sqrt {u}}\mathrm {d} u&={\frac {1}{4}}\int _{3}^{5}(u^{3/2}-3u^{1/2})\mathrm {d} u\\&={\frac {1}{4}}({\frac {2}{5}}u^{5/2}-3\cdot {\frac {2}{3}}u^{3/2}\pravo){\Bigg |}_{3}^{5}\&={\frac {1}{4}}\levo({\frac {2}{5}}(5)^{5/2}-2\cdot (5)^{3/2}-{\frac {2}{5}}(3)^{5/2}+2\cdot (3)^{3/2}\pravo)\\&={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {6}{5}}\cdot 3^{3/2}+2\cdot 3^{3/2}\right)\\&={\frac {1}{4}}{\frac {4}{5}}3^{3/2}\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{5}}\end{aligned}}}

Časť 7 zo 7:Integrácia po častiach

Pozrite si hlavný článok o tom, ako integrovať po častiach. Vzorec pre integráciu po častiach je uvedený nižšie. Hlavným cieľom integrovania po častiach je integrovať súčin dvoch funkcií – ide teda o analógiu súčinového pravidla pre derivácie. Táto technika zjednodušuje integrál na integrál, ktorý sa, dúfajme, ľahšie vyhodnotí.

  • udv=uvvdu{\displaystyle \int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u}

Vyhodnoťte integrál funkcie logaritmu. Vieme, že derivácia

lnx{\displaystyle \ln x}

je

1x,{\displaystyle {\frac {1}{x}},}

ale nie antiderivát. Ukazuje sa, že tento integrál je jednoduchou aplikáciou integrovania po častiach.

  • lnxdx{\displaystyle \int \ln x\mathrm {d} x}

Vyberte si a

u{\displaystyle u}

a

dv,{\displaystyle \mathrm {d} v,}

a nájdeme

du{\displaystyle \mathrm {d} u}

a

v{\displaystyle v}

. Vyberáme

u=lnx{\displaystyle u=\ln x}

pretože derivácia je algebraická, a preto sa s ňou ľahšie manipuluje. Potom

dv=dx.{\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x.}

Preto,

du=1xdx{\displaystyle \mathrm {d} u={\frac {1}{x}}\mathrm {d} x}

a

v=x.{\displaystyle v=x.}

Dosadením všetkých týchto údajov do vzorca dostaneme nasledovné.

  • lnxdx=xlnxdx{\displaystyle \int \ln x\mathrm {d} x=x\ln x-\int \mathrm {d} x}
  • Integrál logaritmu sme previedli na integrál 1, ktorý je triviálne vyhodnotiť.
  • Vyhodnoťte.

    • lnxdx=xlnxx+C{\displaystyle \int \ln x\mathrm {d} x=x\ln x-x+C}