Ako algebricky nájsť priesečník dvoch priamok

Keď sa priamky pretínajú na dvojrozmernom grafe, stretávajú sa len v jednom bode,[1]
opísaná jedinou množinou

x{\displaystyle x}

– a

y{\displaystyle y}

-súradnice. Keďže obe priamky prechádzajú týmto bodom, viete, že

x{\displaystyle x}

– a

y{\displaystyle y}

– súradnice musia spĺňať obe rovnice. Pomocou niekoľkých ďalších techník môžete nájsť priesečníky parabol a iných kvadratických kriviek pomocou podobnej logiky.

Metóda 1 z 2:Hľadanie priesečníka dvoch priamok


Napíšte rovnicu pre každý riadok s

y{\displaystyle y}

na ľavej strane. Ak je to potrebné, prestavte rovnicu tak, aby

y{\displaystyle y}

je sám na jednej strane znamienka rovnosti. Ak sa v rovnici použije

f(x){\displaystyle f(x)}

alebo

g(x){\displaystyle g(x)}

namiesto

y{\displaystyle y}

, namiesto toho oddeľte tento člen. Nezabudnite, že výrazy môžete zrušiť vykonaním rovnakého úkonu na oboch stranách.

  • Začnite so základnou rovnicou <porovnajte>y = mx + b</math>.[2]
    Zdroj experta
    Mario Banuelos, PhD
    Odborný asistent pre matematiku
    Rozhovor s odborníkom. 11. decembra 2021.
  • Ak nepoznáte rovnice, nájdite ich na základe informácií, ktoré máte.
  • Príklad: Vaše dve priamky sú

    y=x+3{\displaystyle y=x+3}

    a

    y12=2x{\displaystyle y-12=-2x}

    . Aby sme dostali

    y{\displaystyle y}

    len v druhej rovnici pridajte ku každej strane 12:

    y=122x{\displaystyle y=12-2x}


Nastavte pravé strany rovnice tak, aby sa navzájom rovnali. Hľadáme bod, v ktorom majú obe línie rovnaký

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

hodnoty; to je miesto, kde sa čiary pretínajú. Obe rovnice majú práve

y{\displaystyle y}

na ľavej strane, aby sme vedeli, že pravé strany sa navzájom rovnajú. Napíšte novú rovnicu, ktorá to vyjadruje.

  • Ak napríklad chcete vedieť, kde sa priamky y = x + 3 pretínajú s y = 12 – 2x, prirovnáte ich tak, že napíšete x + 3 = 12 – 2x.[3]
    Expertný zdroj
    Mario Banuelos, PhD
    Odborný asistent matematiky
    Rozhovor s odborníkom. 11. decembra 2021.


Vyriešte x. Nová rovnica má len jednu premennú,

x{\displaystyle x}

. Vyriešte to pomocou algebry vykonaním rovnakej operácie na oboch stranách. Získajte

x{\displaystyle x}

členov na jednej strane rovnice, potom ju uveďte v tvare

x=??{\displaystyle x=??}

.[4]
Odborný zdroj
Mario Banuelos, PhD
Odborný asistent matematiky
Odborný rozhovor. 11. decembra 2021.
(Ak to nie je možné, preskočte na koniec tejto časti.)

  • Príklad:

    x+3=122x{\displaystyle x+3=12-2x}
  • Pridajte
    2x{\displaystyle 2x}

    na každú stranu:

  • 3x+3=12{\displaystyle 3x+3=12}
  • Odpočítajte 3 z každej strany:
  • 3x=9{\displaystyle 3x=9}
  • Každú stranu vydeľte 3:
  • x=3{\displaystyle x=3}

    .


Použite tento

x{\displaystyle x}

-na vyriešenie

y{\displaystyle y}

. Vyberte rovnicu pre ktorúkoľvek z týchto priamok. Nahraďte každý

x{\displaystyle x}

v rovnici s nájdenou odpoveďou. Vykonajte aritmetiku na vyriešenie

y{\displaystyle y}

.[5]
Expertný zdroj
Mario Banuelos, PhD
Odborný asistent matematiky
Rozhovor s expertom. 11. decembra 2021.

  • Príklad:

    x=3{\displaystyle x=3}

    a

    y=x+3{\displaystyle y=x+3}
  • y=3+3{\displaystyle y=3+3}
  • y=6{\displaystyle y=6}


Skontrolujte si svoju prácu. Je dobré zapojiť svoj

x{\displaystyle x}

-do druhej rovnice a zistiť, či dostanete rovnaký výsledok. Ak dostanete iné riešenie pre

y{\displaystyle y}

, vráťte sa späť a skontrolujte, či vo vašej práci nie sú chyby.[6]
Expertný zdroj
Mario Banuelos, PhD
Odborný asistent pre matematiku
Rozhovor s odborníkom. 11. decembra 2021.

  • Príklad:

    x=3{\displaystyle x=3}

    a

    y=122x{\displaystyle y=12-2x}
  • y=122(3){\displaystyle y=12-2(3)}
  • y=126{\displaystyle y=12-6}

  • y=6{\displaystyle y=6}

  • Toto je rovnaká odpoveď ako predtým. Neurobili sme žiadnu chybu.


Zapíšte

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

súradnice priesečníka. Teraz ste vyriešili

x{\displaystyle x}

-hodnota a

y{\displaystyle y}

-hodnota bodu, v ktorom sa dve priamky pretínajú. Bod zapíšte ako dvojicu súradníc, pričom

x{\displaystyle x}

-hodnotu ako prvé číslo.[7]
Odborný zdroj
Mario Banuelos, PhD
Asistent matematiky
Odborný rozhovor. 11. decembra 2021.

  • Príklad:

    x=3{\displaystyle x=3}

    a

    y=6{\displaystyle y=6}
  • Dve priamky sa pretínajú v bode (3,6).


Riešenie neobvyklých výsledkov. Niektoré rovnice znemožňujú riešenie

x{\displaystyle x}

. To nemusí vždy znamenať, že ste urobili chybu. Existujú dva spôsoby, ako môže dvojica riadkov viesť k špeciálnemu riešeniu:

  • Ak sú tieto dve priamky rovnobežné, nepretínajú sa.
    x{\displaystyle x}

    členy sa zrušia a vaša rovnica sa zjednoduší na nepravdivý výrok (ako napr

    0=1{\displaystyle 0=1}

    ). Napíšte „Priamky sa nepretínajú“ alebo žiadne skutočné riešenie“ ako svoju odpoveď.

  • Ak tieto dve rovnice opisujú tú istú priamku, všade sa „pretínajú“.
    x{\displaystyle x}

    výrazy sa zrušia a vaša rovnica sa zjednoduší na pravdivé tvrdenie (ako napr

    3=3{\displaystyle 3=3}

    ). Napíšte „obe priamky sú rovnaké“ ako svoju odpoveď.

Metóda 2 z 2:Úlohy s kvadratickými rovnicami


Rozpoznať kvadratické rovnice. V kvadratickej rovnici je jedna alebo viac premenných v štvorci (

x2{\displaystyle x^{2}}

alebo

y2{\displaystyle y^{2}}

) a neexistujú žiadne vyššie mocniny. Priamky, ktoré tieto rovnice predstavujú, sú zakrivené, takže môžu pretínať priamku v bodoch 0, 1 alebo 2. V tejto časti sa dozviete, ako nájsť riešenie úlohy s hodnotou 0, 1 alebo 2.

  • Rozšírte rovnice pomocou zátvoriek, aby ste skontrolovali, či ide o kvadratické rovnice. Napríklad,
    y=(x+3)(x){\displaystyle y=(x+3)(x)}

    je kvadratická, pretože sa rozkladá na

    y=x2+3x.{\displaystyle y=x^{2}+3x.}
  • Rovnice pre kružnicu alebo elipsu majú obidve an
    x2{\displaystyle x^{2}}

    a

    y2{\displaystyle y^{2}}

    termín.[8]
    [9]
    Ak máte problémy s týmito špeciálnymi prípadmi, pozrite si časť Tipy nižšie.


Napíšte rovnice v tvare y. Ak je to potrebné, prepíšte každú rovnicu tak, aby y bolo len na jednej strane.

  • Príklad: Nájdite priesečník

    x2+2xy=1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1}

    a

    y=x+7{\displaystyle y=x+7}

    .

  • Prepíšte kvadratickú rovnicu v tvare y:
  • y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}

    a

    y=x+7{\displaystyle y=x+7}

    .

  • Tento príklad má jednu kvadratickú rovnicu a jednu lineárnu rovnicu. Úlohy s dvoma kvadratickými rovnicami sa riešia podobným spôsobom.


Spojte tieto dve rovnice, aby ste zrušili y. Keď ste stanovili obe rovnice rovné y, viete, že obe strany bez y sa navzájom rovnajú.

  • Príklad:

    y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}

    a

    y=x+7{\displaystyle y=x+7}

  • x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}


Usporiadajte novú rovnicu tak, aby sa jedna strana rovnala nule. Použite štandardné algebraické techniky na získanie všetkých členov na jednej strane. Tým sa problém nastaví tak, aby sme ho mohli vyriešiť v ďalšom kroku.

  • Príklad:

    x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}
  • Od každej strany odčítajte x:
  • x2+x+1=7{\displaystyle x^{2}+x+1=7}
  • Odpočítajte 7 z každej strany:

  • x2+x6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}


Vyriešte kvadratickú rovnicu. Keď ste stanovili jednu stranu rovnú nule, existujú tri spôsoby riešenia kvadratickej rovnice. Pre rôznych ľudí sú rôzne metódy jednoduchšie. Môžete si prečítať o kvadratickom vzorci alebo o „dokončení štvorca“, alebo postupovať podľa tohto príkladu metódy faktoringu:

  • Príklad:

    x2+x6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}
  • Cieľom faktoringu je nájsť dva faktory, ktoré sa spolu vynásobia a vytvoria túto rovnicu. Počnúc prvým členom vieme, že
    x2{\displaystyle x^{2}}

    môžete rozdeliť na x a x. Zapíšte (x )(x ) = 0, aby ste to ukázali.

  • Posledný člen je -6. Vymenujte každú dvojicu činiteľov, ktoré sa násobia tak, že tvoria zápornú šestku:
    61{\displaystyle -6*1}

    ,

    32{\displaystyle -3*2}

    ,

    23{\displaystyle -2*3}

    , a

    16{\displaystyle -1*6}

    .

  • Stredný člen je x (ktorý môžete zapísať ako 1x). Sčítajte každú dvojicu činiteľov, kým nedostanete ako odpoveď 1. Správna dvojica faktorov je
    23{\displaystyle -2*3}

    , pretože

    2+3=1{\displaystyle -2+3=1}

    .

  • Doplňte medzery v odpovedi touto dvojicou činiteľov:
    (x2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}

    .


Dávajte pozor na dve riešenia pre x. Ak budete pracovať príliš rýchlo, môžete nájsť jedno riešenie úlohy a neuvedomiť si, že existuje aj druhé riešenie. Tu je návod, ako nájsť dve hodnoty x pre priamky, ktoré sa pretínajú v dvoch bodoch:

  • Príklad (faktoring): Výsledkom je rovnica

    (x2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}

    . Ak sa niektorý z činiteľov v zátvorkách rovná 0, rovnica je pravdivá. Jedno riešenie je

    x2=0{\displaystyle x-2=0}

    x=2{\displaystyle x=2}

    . Druhé riešenie je

    x+3=0{\displaystyle x+3=0}

    x=3{\displaystyle x=-3}

    .

  • Príklad (kvadratická rovnica alebo dokončenie štvorca): Ak ste na riešenie rovnice použili jednu z týchto metód, objaví sa odmocnina. Napríklad naša rovnica sa stáva

    x=(1+25)/2{\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2}

    . Nezabudnite, že odmocnina sa môže zjednodušiť na dve rôzne riešenia:

    25=55{\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5}

    , a

    25=(5)(5){\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)}

    . Napíšte dve rovnice, jednu pre každú možnosť, a v každej z nich vyriešte x.


Riešenie úloh s jedným alebo nulovým riešením. Dve priamky, ktoré sa sotva dotýkajú, majú len jeden priesečník a dve priamky, ktoré sa nikdy nedotýkajú, majú nulu. Tu je návod, ako ich rozpoznať:

  • Jedno riešenie: Úlohy sa delia na dva rovnaké činitele ((x-1)(x-1) = 0). Po dosadení do kvadratického vzorca je odmocnina
    0{\displaystyle {\sqrt {0}}}

    . Stačí vyriešiť len jednu rovnicu.

  • Žiadne skutočné riešenie: Neexistujú žiadne faktory, ktoré by spĺňali požiadavky (súčet do stredného člena). Po dosadení do kvadratického vzorca dostaneme záporné číslo pod znamienkom odmocniny (ako napr
    2{\displaystyle {\sqrt {-2}}

    ). Ako odpoveď napíšte „žiadne riešenie“.


Zapojte hodnoty x späť do pôvodnej rovnice. Keď máte hodnotu x vášho priesečníka, zapojte ju späť do jednej z rovníc, s ktorou ste začali. Riešte pre y, aby ste našli hodnotu y. Ak máte druhú hodnotu x, zopakujte to aj pre ňu.

  • Príklad: Našli sme dve riešenia,

    x=2{\displaystyle x=2}

    a

    x=3{\displaystyle x=-3}

    . Jedna z našich priamok má rovnicu

    y=x+7{\displaystyle y=x+7}

    . Zapojte

    y=2+7{\displaystyle y=2+7}

    a

    y=3+7{\displaystyle y=-3+7}

    , potom vyriešte každú rovnicu, aby ste zistili, že

    y=9{\displaystyle y=9}

    a

    y=4{\displaystyle y=4}

    .


  • Napíšte súradnice bodu. Teraz napíšte svoju odpoveď v súradnicovom tvare s hodnotou x a hodnotou y priesečníka bodov. Ak máte dve odpovede, uistite sa, že ku každej hodnote y priradíte správnu hodnotu x.

    • Príklad: Keď sme zapojili

      x=2{\displaystyle x=2}

      , sme dostali

      y=9{\displaystyle y=9}

      , takže jeden priesečník je v bode (2, 9). Rovnaký postup pre naše druhé riešenie nám hovorí, že ďalší priesečník leží v bode (-3, 4).

  • Referencie

      https://science.jrank.org/pages/3019/Geometry-Points-lines-planes.html

      Mario Banuelos, PhD. Odborný asistent matematiky. Rozhovor s expertom. 11. decembra 2021.

      Mario Banuelos, PhD. Docent matematiky. Rozhovor s expertom. 11. decembra 2021.

      Mario Banuelos, PhD. Odborný asistent matematiky. Rozhovor s odborníkom. 11. decembra 2021.

      Mario Banuelos, PhD. Odborný asistent matematiky. Expertný rozhovor. 11. decembra 2021.

      Mario Banuelos, PhD. Odborný asistent matematiky. Rozhovor s odborníkom. 11. decembra 2021.

      Mario Banuelos, PhD. Odborný asistent matematiky. Rozhovor s odborníkom. 11. decembra 2021.

      https://www.mathsisfun.com/algebra/circle-equations.html

      http://www.mathwarehouse.com/ellipse/rovnica-ellipse.php