Ako brať parciálne derivácie

Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných umožňuje zistiť rýchlosť zmeny jednej premennej, pričom ostatné premenné zostávajú konštantné. Predstavte si to takto: ak je derivácia jednej premennej

df/dx{\displaystyle df/dx}

to znamená, že sa pozeráme na veľmi malú zmenu nášho vstupu

x{\displaystyle x}

o sumu

dx{\displaystyle dx}

. Výsledkom je výstup funkcie

f{\displaystyle f}

zmení o množstvo

df{\displaystyle df}

. Keď však zavediete viacero premenných, môžete teraz zmeniť viac ako len

x{\displaystyle x}

smer! Tu prichádzajú na rad parciálne derivácie.

Pre funkciu

z=f(x,y),{\displaystyle z=f(x,y),}

môžeme vziať čiastočný derivát s ohľadom na buď

x{\displaystyle x}

alebo

y.{\displaystyle y.}

Parciálne derivácie sa označujú pomocou

{\displaystyle \partial }

symbol, vyslovovaný ako „partial“, „dee“ alebo „del.“ Pri funkciách sa bežne stretávame aj s parciálnymi deriváciami, ktoré sa označujú indexom e.g.,

fx.{\displaystyle f_{x}.}

Hľadanie parciálnych derivácií je jednoduché a podobné hľadaniu obyčajných derivácií s niekoľkými úpravami. Poskytneme vám základný úvod do brania parciálnych derivácií prvého rádu a prejdeme si úvahy o deriváciách druhého rádu.

Časť 1 z 3:Predpoklady

Preskúmajte podmienku, aby bola funkcia diferencovateľná. Pripomeňme si, že definícia derivácie zahŕňa limitu, a aby boli limity prísne, musíme do nej zahrnúť

(ϵ,δ).{\displaystyle (\epsilon ,\delta ).}

Preskúmame v dvoch dimenziách.

  • Funkcia
    f(x,y){\displaystyle f(x,y)}

    je diferencovateľná v bode

    (x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}

    ak a len ak sa dá zapísať v nasledujúcom tvare, kde

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    sú konštanty a

    ξ{\displaystyle \xi }

    je chybový člen.

    • f(x,y)=f(x0,y0)+a(xx0)+b(yy0)dotyčnica roviny+ξ(x,y)chybový člen{\displaystyle f(x,y)=\podčiarkni {f(x_{0},y_{0})+a(x-x_{0})+b(y-y_{0})} _{\text{tangentná rovina}}+\podčiarkni {\xi (x,y)} _{\text{chybový člen}}}
    • Vzhľadom na ľubovoľný
      ϵ>0,{\displaystyle \epsilon >0,}

      existuje a

      δ>0{\displaystyle \delta >0}

      tak, že

      |ξ(x,y)|<ϵ(xx0)2+(yy0)2{\displaystyle |\xi (x,y)|<\epsilon {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}

      kedykoľvek

      0<(xx0)2+(yy0)2<δ.{\displaystyle 0<{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<\delta .}
  • Čo to všetko znamená? V podstate možno funkciu diferencovateľnú v bode zapísať ako dotyčnicu roviny s korekčným členom. To znamená, že funkcia musí byť lokálne lineárna v blízkosti bodu. – Ak funkciu v tomto bode priblížite, je to ekvivalentné výberu menšieho a menšieho
    ϵ,{\displaystyle \epsilon ,}

    funkcia začína čoraz viac pripomínať rovinu.

  • Aby teda táto funkcia bola diferencovateľná, musí sa tento chybový člen zmenšovať rýchlejšie ako pri lineárnom prístupe. Ak by sme sa k bodu priblížili lineárne (alebo horšie) z určitej vzdialenosti (dôvod, prečo vidíme odmocninu zo vzdialenosti), potom dostaneme niečo podobné tvaru absolútnej hodnoty alebo kružnice a vieme, že funkcia v takomto bode nie je diferencovateľná. Preto máme nerovnosť zahŕňajúcu
    |ξ(x,y)|.{\displaystyle |\xi (x,y)|.}



Zopakujte si definíciu parciálnej derivácie. Ak je funkcia

z=f(x,y){\displaystyle z=f(x,y)}

je diferencovateľná v bode

(x0,y0):{\displaystyle (x_{0},y_{0}):}
  • Potom parciálna derivácia vzhľadom na
    x{\displaystyle x}

    je intuitívne sklon dotyčnice v bode

    (x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}

    rovnobežný s osou xz, kde

    x{\displaystyle x}

    sa blíži k

    x0{\displaystyle x_{0}}

    (pozri obrázok vyššie, kde dotyčnica leží na

    x=1{\displaystyle x=1}

    ). Inými slovami, je to limita rozdielových kvocientov. Matematicky to môžeme zapísať takto.

    • a=fx|(x0,y0)=limxx0f(x,y0)f(x0,y0)xx0{\displaystyle a={\frac {\časť f}{\časť x}}{\Bigg |}_{(x_{0},y_{0})}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}}}
  • Parciálna derivácia vzhľadom na
    y{\displaystyle y}

    funguje podobným spôsobom. Sklon dotyčnice je teraz rovnobežný s osou yz.

    • b=fy|(x0,y0)=limyy0f(x0,y)f(x0,y0)yy0{\displaystyle b={\frac {\časť f}{\časť y}}{\Bigg |}_{(x_{0},y_{0})}=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(x_{0},y)-f(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}}}}
  • Podobne ako pri obyčajnej derivácii, použitie definície nie je takmer nikdy praktickým spôsobom vyhodnocovania derivácií. Na obídenie definície sa používa skôr niekoľko techník. Je však dôležité, aby ste pochopili definíciu a to, ako partikuly zovšeobecňujú bežné derivácie na akýkoľvek počet rozmerov, nielen na dva.

Pochopiť vlastnosti derivácie. Všetky nižšie uvedené vlastnosti obyčajných derivácií sa prenášajú aj na parciálne derivácie. Všetky tieto vlastnosti sú tvrdenia, ale nebudeme ich tu dokazovať. Všetky vlastnosti predpokladajú, že derivácia existuje v určitom bode.

  • Derivácia konštanty krát funkcia sa rovná konštante krát derivácia funkcie, i.e. môžete vynásobiť skaláre. Pri práci s parciálnymi deriváciami sa vylučujú nielen skaláre, ale aj premenné, vzhľadom na ktoré deriváciu neberieme.
    • ddxcf(x)=cddxf(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}cf(x)=c{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)}
  • Derivácia súčtu je súčet derivácií. Táto a predchádzajúca vlastnosť vyplývajú zo skutočnosti, že derivácia je lineárny operátor, ktorý podľa definície musí spĺňať práve tieto dva typy podmienok.
    • ddx(f(x)+g(x))=ddxf(x)+ddxg(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(f(x)+g(x))={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}g(x)}
  • Ak je funkcia v určitom bode diferencovateľná, potom je v tomto bode spojitá. Opačný postup zjavne neplatí: ak by ste úplne pochopili krok 1, uvedomili by ste si, že funkcia, ktorá obsahuje päticu, je spojitá, ale nie je diferencovateľná v pätici.

Časť 2 z 3:Základné techniky

Pravidlo výkonu

Vypočítajte parciálnu deriváciu vzhľadom na

x{\displaystyle x}

tejto funkcie.

  • f(x,y)=2x2y33x4y2{\displaystyle f(x,y)=2x^{2}y^{3}-3x^{4}y^{2}}

Ignorovať

y{\displaystyle y}

a zaobchádzajte s ním ako s konštantou. Použite mocninové pravidlo

ddxxn=nxn1{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n}=nx^{n-1}}

pre

x{\displaystyle x}

iba.

  • fx=22x21y343x41y2=4xy312x3y2{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}&=2\cdot 2x^{2-1}y^{3}-4\cdot 3x^{4-1}y^{2}\\&=4xy^{3}-12x^{3}y^{2}\end{aligned}}}

Vyššie derivácie

Porozumieť zápisu derivácií vyššieho rádu. Parciálne derivácie druhého rádu môžu byť buď „čisté“ alebo zmiešané.

  • Zápis pre čisté druhé derivácie je jednoduchý.
    • fxx(x0,y0)=2fx2=limxx0fx(x,y0)fx(x0,y0)xx0{\displaystyle f_{xx}(x_{0},y_{0})={\frac {\časť ^{2}f}{\časť x^{2}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f_{x}(x,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}}}
    • fyy(x0,y0)=2fy2=limyy0fy(x0,y)fy(x0,y0)yy0{\displaystyle f_{yy}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f_{y}(x_{0},y)-f_{y}(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}}}}
  • O zmiešaných deriváciách hovoríme vtedy, keď sa druhá (alebo vyššia) derivácia berie vzhľadom na inú premennú ako prvá. Zápis s indexom pozostáva z vyšších derivácií zapísaných vpravo, zatiaľ čo Leibnizov zápis má vyššie derivácie zapísané vľavo. Pozor na poradie.
    • fxy(x0,y0)=2fyx=limyy0fx(x0,y)fx(x0,y0)yy0{\displaystyle f_{xy}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f_{x}(x_{0},y)-f_{x}(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}}}}
    • fyx(x0,y0)=2fxy=limxx0fy(x,y0)fy(x0,y0)xx0{\displaystyle f_{yx}(x_{0},y_{0})={\frac {\časť ^{2}f}{\časť x\časť y}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f_{y}(x,y_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}}}

Opäť diferencujte. Dávajte pozor na to, vzhľadom na ktoré premenné beriete parciálne a v akom poradí ich beriete.

  • Nájdime derivát výsledku, ktorý sme dostali v predchádzajúcej časti, vzhľadom na
    y.{\displaystyle y.}

    Inými slovami, hľadáme

    fxy.{\displaystyle f_{xy}.}
    • fx=4xy312x3y2{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=4xy^{3}-12x^{3}y^{2}}
    • 2fyx=12xy224x3y{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=12xy^{2}-24x^{3}y}
  • Teraz nájdime druhú zmiešanú deriváciu, alebo
    fyx.{\displaystyle f_{yx}.}
    • fy=6x2y26x4y{\displaystyle {\frac {\časť f}{\časť y}}=6x^{2}y^{2}-6x^{4}y}
    • 2fxy=12xy224x3y{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=12xy^{2}-24x^{3}y}
  • Všimnite si, že zmiešané derivácie sú rovnaké! Niekedy sa to nazýva Clairautova veta: ak
    fxy{\displaystyle f_{xy}}

    a

    fyx{\displaystyle f_{yx}}

    sú spojité pri

    (x0,y0),{\displaystyle (x_{0},y_{0}),}

    potom sa rovnajú. Požiadavka, aby derivácie boli spojité, znamená, že táto veta platí len pre hladké, dobre zvládnuté funkcie.

Pravidlo súčinu

Na vyhodnotenie derivácií súčinov použite pravidlo súčinu. Pravidlo súčinu jednej premennej sa prirodzene prenáša do viacrozmerného počtu; každá funkcia sa „dostane na rad“ pri diferencovaní.

  • xf(x,y)g(x,y)=fxg+fgx{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)g(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}g+f{\frac {\partial g}{\partial x}}

Nájdite parciálnu deriváciu vzhľadom na

x{\displaystyle x}

nižšie uvedenej funkcie.

  • z=xexy2{\displaystyle z=xe^{x}y^{2}}

Použite pravidlo súčinu. Nech

f(x,y)=x{\displaystyle f(x,y)=x}

a

g(x,y)=exy2.{\displaystyle g(x,y)=e^{x}y^{2}.}
  • zx=exy2+xexy2{\displaystyle {\frac {\časť z}{\časť x}}=e^{x}y^{2}+xe^{x}y^{2}}

Pravidlo kvocientu

Použite pravidlo kvocientu na vyhodnotenie derivácií kvocientov. Prirodzene sa prenáša aj pravidlo kvocientu jednej premennej. Vo všeobecnosti je však jednoduchšie previesť funkciu tak, aby ste namiesto nej mohli použiť pravidlo súčinu.

  • xf(x,y)g(x,y)=gfxfgxg2{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {f(x,y)}{g(x,y)}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial x}}-f{\frac {\partial g}{\partial x}}{g^{2}}}}

Nájdite parciálnu deriváciu vzhľadom na

y{\displaystyle y}

nižšie uvedenej funkcie.

  • z=2x2yxy2+1{\displaystyle z={\frac {2x^{2}y}{xy^{2}+1}}}

Vyvolajte pravidlo kvocientu.

  • zy=(xy2+1)(2x2)(2x2y)(2xy)(xy2+1)2=2x2(1xy2)(xy2+1)2{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial z}{\partial y}}&={\frac {(xy^{2}+1)(2x^{2})-(2x^{2}y)(2xy)}{(xy^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {2x^{2}(1-xy^{2})}{(xy^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}

Reťazové pravidlo

Uvažujme nasledujúcu funkciu. Tu,

f(x,y){\displaystyle f(x,y)}

je funkcia

x{\displaystyle x}

a

y,{\displaystyle y,}

ktoré sú zase zapísané v termínoch ďalších dvoch premenných

s{\displaystyle s}

a

t.{\displaystyle t.}

Inými slovami, máme do činenia s kompozíciou funkcií

f(x(s,t),y(s,t)).{\displaystyle f(x(s,t),y(s,t)).}
  • f(x,y)=3x2y4xy3{\displaystyle f(x,y)=3x^{2}y-4xy^{3}}
  • x(s,t)=st3s2{\displaystyle x(s,t)=st-3s^{2}}
  • y(s,t)=s+t{\displaystyle y(s,t)=s+t}

Nájdite parciálnu deriváciu

f{\displaystyle f}

vzhľadom na

t,{\displaystyle t,}

pričom držíme

s{\displaystyle s}

konštanta. Pretože

f{\displaystyle f}

nie je definované priamo v termínoch

(s,t),{\displaystyle (s,t),}

musíme použiť reťazové pravidlo. Viacrozmerná analógia reťazového pravidla zahŕňa parciálne derivácie s každá premenných, ktoré

f{\displaystyle f}

sa zapíše v tvaroch. Keďže tu máme do činenia s viacerými premennými, je dôležité sledovať, čo je konštantné.

  • (ft)s=(fx)y(xt)s+(fy)x(yt)s{\displaystyle \levo({\frac {\partial f}{\partial t}}\pravo)_{s}=\levo({\frac {\partial f}{\partial x}}\pravo)_{y}\levo({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{s}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)_{s}}

Vyhodnotiť derivácie pre danú funkciu.

  • (fx)y=6xy4y3{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}=6xy-4y^{3}}
  • (xt)s=s{\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{s}=s}
  • (fy)x=3x212xy2{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}=3x^{2}-12xy^{2}}
  • (yt)s=1{\displaystyle \left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)_{s}=1}
  • (ft)s=(6xy4y3)s+3x212xy2{\displaystyle \levice({\frac {\partial f}{\partial t}}pravica)_{s}=(6xy-4y^{3})s+3x^{2}-12xy^{2}}

Časť 3 z 3:Udržiavanie konštantných výrazov

Uvažujme nasledujúcu parciálnu deriváciu. Použijeme funkciu definovanú v predchádzajúcej časti (reťazové pravidlo). Teraz máme v rukách výraz

xy2{\displaystyle xy^{2}}

konštanta. Len máloktorá z predchádzajúcich techník nám bude pri riešení tohto problému užitočná, pretože to, čo sa udržiava konštantné.

  • (fy)xy2{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{xy^{2}}}
  • f(x,y)=3x2y4xy3{\displaystyle f(x,y)=3x^{2}y-4xy^{3}}

Vypočítajte diferencie

df{\displaystyle \mathrm {d} f}

a

d(xy2){\displaystyle \mathrm {d} (xy^{2})}

. Cieľom je tu nahradiť

dx.{\displaystyle \mathrm {d} x.}
  • df=(6xy4y3)dx+(3x212xy2)dy{\displaystyle \mathrm {d} f=(6xy-4y^{3})\mathrm {d} x+(3x^{2}-12xy^{2})\mathrm {d} y}
  • d(xy2)=y2dx+2xydy{\displaystyle \mathrm {d} (xy^{2})=y^{2}\mathrm {d} x+2xy\mathrm {d} y}

Nastavte

d(xy2){\displaystyle \mathrm {d} (xy^{2})}

rovná 0. Udržuje sa konštantná. Potom vyhodnoťte pre

x.{\\displaystyle \partial x.}
  • y2x+2xyy=0{\displaystyle y^{2}\časť x+2xy\časť y=0}
  • x=2xyy{\displaystyle \časť x=-{\frac {2x}{y}}\časť y}
  • Nahraďte do

    df{\displaystyle \mathrm {d} f}

    a vyriešte pre

    fy{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}

    .

    • f=(6xy4y3)(2xyy)+2xyy=(12x2+8xy2)y+2xyy{\displaystyle {\begin{aligned}}časti f&=(6xy-4y^{3})\levo(-{\frac {2x}{y}}\časť y\pravo)+2xy\časť y\&=(-12x^{2}+8xy^{2})\časť y+2xy\časť y\end{aligned}}
    • (fy)xy2=2xy12x2+8xy2{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{xy^{2}}=2xy-12x^{2}+8xy^{2}}