Ako deliť matice (s obrázkami)

Ak viete, ako vynásobiť dve matice, ste na dobrej ceste k „deleniu“ jednej matice druhou. Toto slovo je v úvodzovkách, pretože matice sa technicky nedajú deliť. Namiesto toho vynásobíme jednu maticu inverzný inej matice. Tieto výpočty sa bežne používajú na riešenie sústav lineárnych rovníc.[1]

Časť 1 z 3:Potvrdenie, že „delenie“ je možné


Rozumej matica „delenie. Technicky neexistuje nič také ako delenie matice. Delenie matice inou maticou je nedefinovaná funkcia.[2]
Najbližším ekvivalentom je násobenie inverznou hodnotou inej matice. Inými slovami, zatiaľ čo [A] ÷ [B] nie je definované, môžete vyriešiť úlohu [A] * [B]-1. Keďže tieto dve rovnice by boli ekvivalentné pre skalárne veličiny, „zdá sa“, že ide o maticové delenie, ale je dôležité používať správnu terminológiu.

  • Všimnite si, že [A] * [B]-1 a [B]-1 * [A] nie je rovnaký problém. Možno budete musieť vyriešiť obidve úlohy, aby ste našli všetky možné riešenia.
  • Napríklad namiesto
    (13263913)÷(7423){\displaystyle {\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}\div {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\koniec{pmatica}}

    , napíšte

    (13263913)(7423)1{\displaystyle {\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}}

    .
    Možno budete musieť vypočítať aj

    (7423)1(13263913){\displaystyle {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\koniec{pmatica}}

    , ktorá môže mať inú odpoveď.


Potvrďte, že „deliaca matica“ je štvorcová. Ak chcete vziať inverznú hodnotu matice, musí to byť štvorcová matica s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov. Ak matica, ktorú plánujete invertovať, nie je štvorcová, neexistuje jedinečné riešenie problému.[3]

  • Výraz „deliteľ matice“ je trochu voľný, pretože technicky nejde o problém delenia. V prípade [A] * [B]-1 ide o maticu [B]. V našom príkladovom probléme je to
    (7423){\displaystyle {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\koniec{matice}}

    .

  • Matica, ktorá má inverznú hodnotu, sa nazýva „invertovateľná“ alebo „nesingulárna“.“ Matice bez inverzie sú „singulárne.“


Skontrolujte, či sa dajú obe matice vynásobiť spolu. Ak chcete vynásobiť dve matice, počet stĺpcov v prvej matici sa musí rovnať počtu riadkov v druhej matici.[4]
Ak to nefunguje ani v jednom z týchto usporiadaní ([A] * [B]-1 alebo [B]-1 * [A]), problém nemá riešenie.

  • Napríklad, ak [A] je matica 4 x 3 (4 riadky, 3 stĺpce) a [B] je matica 2 x 2 (2 riadky, 2 stĺpce), neexistuje riešenie. [A] * [B]-1 nefunguje, pretože 3 ≠ 2, a [B]-1 * [A] nefunguje, pretože 2 ≠ 4.
  • Všimnite si, že inverzná matica [B]-1 má vždy rovnaký počet riadkov a stĺpcov ako pôvodná matica [B]. Na dokončenie tohto kroku nie je potrebné vypočítať inverznú hodnotu.
  • V našom príkladovom probléme sú obe matice 2 x 2, takže ich možno násobiť v oboch poradiach.


Nájdite determinant matice 2 x 2. Predtým, ako budete môcť prevziať inverznú hodnotu matice, je potrebné skontrolovať ešte jednu požiadavku. Determinant matice musí byť nenulový. Ak je determinant nulový, matica nemá inverznú hodnotu. Tu je postup, ako nájsť determinant v najjednoduchšom prípade, teda v prípade matice 2 x 2:

  • Matica 2 x 2: Determinant matice

    (abcd){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatica}}

    je ad – bc.[5]
    Inými slovami, vynásobte súčin hlavnej diagonály (zľava hore do prava dole) a potom odčítajte súčin antidiagonály (sprava hore doľava dole).

  • Napríklad matica
    (7423){\displaystyle {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatica}}

    má determinant (7)(3) – (4)(2) = 21 – 8 = 13. Táto hodnota je nenulová, takže je možné nájsť inverznú hodnotu.


Nájdite determinant väčšej matice. Ak je vaša matica 3 x 3 alebo väčšia, nájdenie determinantu si vyžaduje trochu viac práce:

  • 3 x 3 matica: Vyberte si ľubovoľný prvok a prečiarknite riadok a stĺpec, do ktorého patrí. Nájdite determinant zostávajúcej matice 2 x 2, vynásobte ju zvoleným prvkom a pozrite si tabuľku znamienok matíc, aby ste určili znamienko. Zopakujte to pre ďalšie dva prvky v rovnakom riadku alebo stĺpci ako prvý, ktorý ste vybrali, a potom spočítajte všetky tri determinanty. Prečítajte si tento článok, kde nájdete pokyny krok za krokom a tipy na urýchlenie tohto postupu.
  • Väčšie matice: Odporúča sa použiť grafickú kalkulačku alebo softvér. Metóda je podobná metóde matice 3 x 3, ale je zdĺhavá pri ručnom použití.[6]
    Ak chcete napríklad nájsť determinant matice 4 x 4, musíte nájsť determinanty štyroch matíc 3 x 3.


Pokračujte ďalej. Ak vaša matica nie je štvorcová alebo ak je jej determinant nulový, napíšte „nemá jedinečné riešenie“.“ Problém je hotový. Ak je matica štvorcová a jej determinant je nenulový, pokračujte v ďalšom kroku: nájdenie inverznej matice.

Časť 2 z 3:Inverzia matice


Prehoďte pozície prvkov na hlavnej diagonále 2 x 2. Ak je vaša matica 2 x 2, môžete použiť skratku, ktorá vám tento výpočet výrazne uľahčí.[7]
Prvý krok tejto skratky zahŕňa zámenu ľavého horného prvku za pravý dolný prvok. Napríklad:

  • (7423){\displaystyle {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}

    (3427){\displaystyle {\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}}
  • Poznámka: Väčšina ľudí používa kalkulačky na nájdenie inverznej hodnoty matice 3 x 3 alebo väčšej. Ak by ste to chceli vypočítať ručne, pozrite si koniec tejto časti.


Vezmite opačne ostatné dva prvky, ale nechajte ich na mieste. Inými slovami, vynásobte horný vpravo a dno vľavo prvkov o -1:

  • (3427){\displaystyle {\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatica}}

    (3427){\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}


Vezmite recipročnú hodnotu determinantu. Determinant tejto matice ste našli v predchádzajúcej časti, takže ho netreba počítať druhýkrát. Stačí zapísať reciproký 1 / (determinant):

  • V našom príklade je determinant 13. Recipročná hodnota je
    113{\displaystyle {\frac {1}{13}}}

    .


Vynásobte novú maticu recipročnou hodnotou determinantu. Vynásobte každý prvok novej matice recipročnou hodnotou, ktorú ste práve zistili. Výsledná matica je inverzná matica 2 x 2:

  • 113(3427){\displaystyle {\frac {1}{13}}*{\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\koniec{pmatica}}

    =

    (313413213713){\displaystyle {\begin{pmatica}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{matice}}}


Potvrďte, že inverzná hodnota je správna. Ak chcete skontrolovať svoju prácu, vynásobte inverznú maticu pôvodnou maticou. Ak je inverzná hodnota správna, ich súčinom bude vždy matica identity,

(1001){\displaystyle {\begin{pmatica}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

Ak matematika sedí, pokračujte na ďalšiu časť a dokončite svoj problém.

  • Pri riešení príkladovej úlohy vynásobte
    (7423)(313413213713)=(1001){\displaystyle {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\koniec{pmatica}}

    .

  • Tu je osvieženie, ako násobiť matice.
  • Poznámka: Násobenie matíc nie je komutatívne: záleží na poradí činiteľov. Pri násobení matice jej inverznou hodnotou však obe možnosti vedú k maticiam identity.[8]


Preskúmajte inverziu matice pre matice 3 x 3 alebo väčšie. Ak sa tento postup neučíte prvýkrát, ušetrite si čas tým, že pre väčšie matice použijete grafickú kalkulačku alebo matematický softvér. Ak to potrebujete vypočítať ručne, tu je stručný prehľad jednej metódy: [9]
[10]

  • Pripojte maticu identity I k pravej strane vašej matice. Napríklad [B] → [B | I ]. Matica identity má prvky „1“ pozdĺž hlavnej diagonály a prvky „0“ na všetkých ostatných pozíciách.
  • Vykonávajte riadkové operácie na redukciu matice, kým ľavá strana nie je v riadkovom echelónovom tvare, potom pokračujte v redukcii, kým ľavá strana nie je maticou identity.
  • Po dokončení operácie bude mať vaša matica tvar [I | B-1]. Inými slovami, pravá strana bude inverzná k pôvodnej matici.

Časť 3 z 3:Násobenie matíc na dokončenie problému


Napíšte obe možné rovnice. V „bežnej matematike“ so skalárnymi veličinami je násobenie komutatívne; 2 x 6 = 6 x 2. Pre matice to neplatí, takže možno budete musieť vyriešiť dve úlohy:

  • [A] * [B]-1 je riešenie x pre problém x[B] = [A].
  • [B]-1 * [A] je riešenie x pre problém [B]x = [A].
  • Ak je to súčasť rovnice, uistite sa, že vykonávate rovnakú operáciu na oboch stranách. Ak [A] = [C], potom [B]-1[A] robí nie rovná [C][B]-1, pretože [B]-1 je na ľavej strane [A], ale na pravej strane [C].[11]


Nájdite rozmery vašej odpovede. Rozmery výslednej matice sú vonkajšie rozmery dvoch faktorov. Má rovnaký počet riadkov ako prvá matica a rovnaký počet stĺpcov ako druhá matica.

  • Ak sa vrátime k nášmu pôvodnému príkladu, obidve
    (13263913){\displaystyle {\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}

    a

    (313413213713){\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}

    sú matice 2 x 2, takže rozmery odpovede sú tiež 2 x 2.

  • Ak si zoberieme zložitejší príklad, ak [A] je 4 x 3 a [B]-1 je matica 3 x 3 matica, potom matica [A] * [B]-1 má rozmery 4 x 3.


Nájdite hodnotu prvého prvku. Úplný návod nájdete v prepojenom článku alebo si osviežte pamäť týmto zhrnutím:

  • Ak chcete nájsť riadok 1, stĺpec 1 [A][B]-1, nájdite bodový súčin riadku 1 [A] a stĺpca 1 [B]-1. To znamená, že pre maticu 2 x 2 vypočítajte
    a1,1b1,1+a1,2b2,1{\displaystyle a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}}

    .

  • V našom príklade
    (13263913)(313413213713){\displaystyle {\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}

    , riadok 1 stĺpec 1 našej odpovede je:

    (13313)+(26213){\displaystyle (13*{\frac {3}{13}})+(26*{\frac {-2}{13}})}

    =3+4{\displaystyle =3+-4}

    =1{\displaystyle =-1}

  • Zopakujte postup bodového súčinu pre každú pozíciu v matici. Napríklad prvok na pozícii 2,1 je bodový súčin riadku 2 [A] a stĺpca 1 [B]-1. Skúste príklad dokončiť sami. Mali by ste dostať nasledujúce odpovede:

    • (13263913)(313413213713)=(11075){\displaystyle {\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&10\\7&-5\end{pmatrix}}
    • Ak potrebujete nájsť iné riešenie,
      (313413213713)(13263913)=(92193){\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-9&2\\19&3\koniec{matica}}
  • Odkazy