Ako deliť polynómy: 10 krokov (s obrázkami)

Polynómy sa dajú deliť rovnako ako číselné konštanty, a to buď delením faktorom, alebo dlhým delením. Metóda, ktorú použijete, závisí od toho, ako zložitý je deliteľ a deliteľ polynómu.

Časť 1 z 3:Určenie, ktorý prístup použiť


Pozrite sa, aký zložitý je deliteľ. To, ako komplikovaný je deliteľ (polynóm, ktorým delíte) v porovnaní s dividendou (polynóm, ktorým delíte), určuje, ktorý prístup je najlepší.

  • Ak je deliteľ monomický (jednočlenný polynóm), buď premenná s koeficientom, alebo konštanta (číslo bez premennej, ktorá nasleduje za ním), pravdepodobne môžete dividendu vynásobiť a zrušiť jeden z výsledných činiteľov a deliteľa. Pokyny a príklady nájdete v časti „Faktorovanie deliteľa“.
  • Ak je deliteľ dvojčlen (dvojčlen), možno budete môcť dividendu vydeliť a zrušiť jeden z výsledných činiteľov a deliteľa.
  • Ak je deliteľ trojčlen (trojčlen), môžete vynásobiť dividendu aj deliteľa, zrušiť spoločný činiteľ a potom buď vynásobiť dividendu, alebo použiť dlhé delenie.
  • Ak je deliteľom polynóm s viac ako tromi činiteľmi, pravdepodobne budete musieť použiť dlhé delenie.[1]
    Pokyny a príklady nájdete v časti „Použitie dlhého polynomického delenia“.


Pozrite sa, ako zložitá je dividenda. Ak vám pohľad na polynóm deliteľa rovnice nepovie, či sa máte pokúsiť vydeliť dividendu, pozrite sa na samotnú dividendu.

  • Ak má dividenda tri členy alebo menej, pravdepodobne ju môžete vydeliť a zrušiť deliteľa.[2]
  • Ak má deliteľ viac ako tri členy, pravdepodobne budete musieť deliteľa rozdeliť pomocou dlhého delenia.

2. časť z 3:Faktorovanie dividendy [3]


Pozrite sa, či všetky členy v dividende obsahujú spoločný činiteľ s deliteľom. Ak je to tento prípad, môžete ho vynásobiť a pravdepodobne zrušiť deliteľa.

  • Ak delíte dvojčlen 3x – 9 číslom 3, môžete vydeliť 3 z oboch členov dvojčlenu, čím vznikne 3(x – 3). Potom môžete zrušiť deliteľa 3, čím vznikne kvocient x – 3.
  • Ak delíte dvojčlen 24×3 – 18×2 číslom 6x, môžete z obidvoch členov dvojčlenu vydeliť 6x, čím vznikne 6x(4×2 – 3). Môžete zrušiť deliteľa 6x, čím zostane kvocient 4×2 – 3.


Hľadajte v dividende špeciálne vzory, ktoré vám napovedajú, že sa dá rozložiť. Niektoré mnohočleny zobrazujú výrazy, ktoré vám hovoria, že sa dajú vydeliť. Ak sa jeden z týchto činiteľov zhoduje s deliteľom, môžete ho zrušiť, pričom zvyšný činiteľ zostane ako kvocient. Tu je niekoľko vzorov, ktoré treba hľadať:

  • Rozdiel dokonalých štvorcov. Toto je binomický člen v tvare “a 2×2 – b 2“, kde hodnoty “a 2“ a “b 2“ sú dokonalé štvorce. Tento dvojčlen je deliteľom dvoch dvojčlenov (ax + b)(ax – b), kde a a b sú odmocniny koeficientu a konštanty predchádzajúceho dvojčlenu.
  • Dokonalý štvorcový trinomiál. Tento trojčlen má tvar a2x2 + 2abx + b 2. Faktor je (ax + b)(ax + b), čo sa dá napísať aj (ax + b)2. Ak je pred druhým členom znamienko mínus, binomické činitele budú mať tvar (ax – b)(ax – b).
  • Súčet alebo rozdiel kociek. Toto je binóm v tvare a3x3 + b3 alebo a3x3 – b3, kde hodnoty “a 3“ a “b 3“ sú dokonalé kocky. Tento dvojčlen sa delí na dvojčlen a trojčlen. Súčet kocky sa delí na (ax + b)(a2x2 – abx + b2). Rozdiel kubických činiteľov je (ax – b)(a2x2 + abx + b2).


Použite metódu pokusu a omylu na vynásobenie dividendy. Ak v dividende nevidíte žiadny zreteľný vzor, ktorý by vám napovedal, ako ju vydeliť, môžete vyskúšať niekoľko možných kombinácií delenia. Môžete to urobiť tak, že sa najprv pozriete na konštantu a nájdete pre ňu niekoľko činiteľov, potom na koeficient stredného člena.

  • Ak je napríklad dividenda x2 – 3x – 10, pozrite sa na činitele 10 a použite číslo 3 na určenie správnej dvojice činiteľov.
  • Číslo 10 možno rozdeliť na činitele 1 a 10 alebo 2 a 5. Keďže znamienko pred číslom 10 je záporné, jeden z dvojčlenov s faktorom musí mať pred svojou konštantou záporné číslo.
  • Číslo 3 je rozdielom medzi 2 a 5, takže to musia byť konštanty deliteľa dvojčlena. Keďže znamienko pred číslom 3 je záporné, binóm s číslom 5 musí byť ten so záporným číslom. Činitele binómu sú teda (x – 5)(x + 2). Ak je deliteľom jeden z týchto dvoch činiteľov, tento činiteľ sa môže zrušiť a zvyšný činiteľ je kvocient.

Časť 3 z 3:Použitie dlhého delenia polynómov[4]


Nastavte delenie. Dlhé delenie polynómov zapíšete rovnako ako pri delení čísel. Dividenda ide pod dlhý deliaci pruh, zatiaľ čo deliteľ ide doľava.

  • Ak delíte x2 + 11 x + 10 číslom x +1, x2 + 11 x + 10 ide pod čiarou, zatiaľ čo x + 1 ide doľava.


Prvý člen deliteľa vydelíme prvým členom dividendy. Výsledok tohto delenia sa dostane na hornú lištu delenia.

  • V našom príklade delením x2, prvého člena dividendy, x, prvým členom deliteľa, dostaneme x. V hornej časti deliacej lišty nad x2 by ste napísali x.


Vynásobte x na mieste kvocientu deliteľom. Výsledok násobenia zapíšete pod ľavý člen dividendy.

  • Ak budeme pokračovať v našom príklade, vynásobením x + 1 číslom x dostaneme x2 + x. Toto by ste zapísali pod prvé dva členy dividendy.


Odpočítajte od dividendy. Ak to chcete urobiť, najprv obráťte znamienka súčinu násobenia. Po odčítaní znížte zostávajúce členy dividendy.

  • Obrátením znamienok x2 + x dostaneme – x2 – x. Po odpočítaní tohto koeficientu od prvých dvoch členov dividendy zostane 10x. Po znížení zostávajúceho člena dividendy máte 10x + 10 ako prechodný kvocient, ktorým môžete pokračovať v procese delenia.

  • Zopakujte predchádzajúce tri kroky na prechodnom kvociente. Opäť budete deliť prvý člen deliteľa s členom prechodného kvocientu, tento výsledok zapíšete na hornú časť deliacej lišty za prvý člen kvocientu, výsledok vynásobíte deliteľom a potom vypočítate, čo od prechodného kvocientu odčítať.

    • Keďže x prechádza do 10x 10-krát, napíšete „+ 10“ za x na pozíciu kvocientu na deliacej lište.
    • Vynásobením x +1 číslom 10 dostaneme 10x + 10. Napíšete ho pod priebežný kvocient a obrátite znamienka pre odčítanie, čím vznikne -10x – 10.
    • Keď vykonáte odčítanie, máte zvyšok 0. Ak teda delíme x2 + 11 x + 10 x +1, dostaneme kvocient x + 10. (Rovnaký výsledok by ste mohli získať aj faktorovaním, ale tento príklad bol zvolený tak, aby delenie bolo pomerne jednoduché.)
  • Odkazy