Ako diferencovať exponenciálne funkcie

Exponenciálne funkcie sú špeciálnou kategóriou funkcií, ktoré zahŕňajú exponenty, ktoré sú premennými alebo funkciami. Pomocou niektorých základných pravidiel počítania môžete začať hľadaním derivácie základných funkcií, ako napr

ax{\displaystyle a^{x}}

. To potom poskytuje tvar, ktorý môžete použiť pre akýkoľvek číselný základ zvýšený na premenný exponent. Rozšírením tejto práce môžete nájsť aj deriváciu funkcií, kde exponent je sám funkciou. Nakoniec uvidíte, ako diferencovať „mocninu“, špeciálnu funkciu, v ktorej sa exponent zhoduje so základom.

Časť 1 zo 4:Diferencovanie všeobecných exponenciálnych funkcií

Začnite so všeobecnou exponenciálnou funkciou. Začnite so základnou exponenciálnou funkciou, ktorá používa premennú ako základ. Takýmto výpočtom derivácie všeobecnej funkcie môžete použiť riešenie ako model pre celú rodinu podobných funkcií.[1]

  • y=ax{\displaystyle y=a^{x}}

Zoberte prirodzený logaritmus oboch strán. Musíte manipulovať s funkciou, aby ste pomohli nájsť štandardnú deriváciu v zmysle premennej

x{\displaystyle x}

. Začína sa tým, že sa z oboch strán zoberie prirodzený logaritmus, a to takto:

  • lny=lnax{\displaystyle \ln y=\ln a^{x}}

Eliminujte exponent. Pomocou pravidiel logaritmov možno túto rovnicu zjednodušiť tak, aby sa odstránil exponent. Exponent vo funkcii logaritmu možno odstrániť ako násobok pred logaritmom takto:

  • lny=xlna{\displaystyle \ln y=x\ln a}

Rozlíšiť obe strany a zjednodušiť. Ďalším krokom je diferencovať každú stranu vzhľadom na

x{\displaystyle x}

. Pretože

a{\displaystyle a}

je konštantná, potom

lna{\displaystyle \ln a}

je tiež konštanta. Derivát

x{\displaystyle x}

sa zjednoduší na 1 a člen zmizne. Kroky sú nasledovné:

  • lny=xlna{\displaystyle \ln y=x\ln a}
  • ddxlny=ddxxlna{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln y={\frac {d}{dx}}x\ln a}
  • 1ydydx=lnaddxx{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a{\frac {d}{dx}}x}
  • 1ydydx=lna1{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a*1}
  • 1ydydx=lna{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a}

Zjednodušte a vyriešte deriváciu. Obe strany vynásobte y, aby ste vyčlenili deriváciu. Pomocou základných krokov algebry vynásobte obe strany tejto rovnice

y{\displaystyle y}

. Tým sa izoluje derivácia

y{\displaystyle y}

na ľavej strane rovnice. Potom si pripomeňme, že

y=ax{\displaystyle y=a^{x}}

, takže túto hodnotu dosadíme na pravú stranu rovnice. Kroky vyzerajú takto:

  • 1ydydx=lna{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a}
  • dydx=ylna{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\ln a}
  • dydx=axlna{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a^{x}\ln a}

Interpretujte konečný výsledok. Pripomeňme si, že pôvodnou funkciou bola exponenciálna funkcia

y=ax{\displaystyle y=a^{x}}

, toto riešenie ukazuje, že derivácia všeobecnej exponenciálnej funkcie je

axlna{\displaystyle a^{x}\ln a}

.

  • Túto hodnotu možno rozšíriť pre ľubovoľnú hodnotu
    a{\displaystyle a}

    , ako v nasledujúcich príkladoch:

    • ddx2x=2xln2{\displaystyle {\frac {d}{dx}}2^{x}=2^{x}\ln 2}
    • ddx3x=3xln3{\displaystyle {\frac {d}{dx}}3^{x}=3^{x}\ln 3}
    • ddx10x=10xln10{\displaystyle {\frac {d}{dx}}10^{x}=10^{x}\ln 10}

Časť 2 zo 4:Rozšírenie dôkazu pre deriváciu ex

Vyberte špeciálny príklad. V predchádzajúcej časti sme ukázali, ako diferencovať všeobecný prípad exponenciálnej funkcie s ľubovoľnou konštantou ako základom. Ďalej vyberieme špeciálny prípad, kde základom je exponenciálna konštanta

e{\displaystyle e}

.[2]

  • e{\displaystyle e}

    je matematická konštanta, ktorá sa približne rovná 2.718.

  • Pre túto deriváciu vyberte špeciálnu funkciu
    y=ex{\displaystyle y=e^{x}}

    .

Použite dôkaz všeobecnej derivácie exponenciálnej funkcie. Pripomeňme si z predchádzajúcej časti, že derivácia všeobecnej exponenciálnej funkcie

ax{\displaystyle a^{x}}

je

axlna{\displaystyle a^{x}\ln a}

. Tento výsledok aplikujte na špeciálnu funkciu

ex{\displaystyle e^{x}}

takto: [3]

  • y=ex{\displaystyle y=e^{x}}
  • dydx=ddxex{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}e^{x}}
  • dydx=exlne{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}\ln e}

Zjednodušte výsledok. Pripomeňme si, že prirodzený logaritmus je založený na špeciálnej konštante

e{\displaystyle e}

. Preto prirodzený logaritmus

e{\displaystyle e}

je práve 1. Tým sa výsledok derivácie zjednoduší nasledovne: [4]

  • dydx=exlne{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}\ln e}
  • dydx=ex1{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}*1}
  • dydx=ex{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}}

Interpretovať konečný výsledok. Tento dôkaz vedie k špeciálnemu prípadu, že derivácia funkcie

ex{\displaystyle e^{x}}

je práve táto funkcia. Teda:[5]

  • ddxex=ex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

Časť 3 zo 4:Hľadanie derivácie e s funkčným exponentom

Definujte svoju funkciu. V tomto príklade nájdete všeobecnú deriváciu funkcií, ktoré majú

e{\displaystyle e}

zvýšená na exponent, keď samotný exponent je funkciou

x{\displaystyle x}

.[6]

  • Ako príklad uvažujme funkciu
    y=e2x+3{\displaystyle y=e^{2x+3}}

    .

Definujte premennú

u{\displaystyle u}

. Toto riešenie bude zahŕňať reťazové pravidlo derivácií. Pripomeňme si, že reťazové pravidlo platí, keď máme jednu funkciu,

u(x){\displaystyle u(x)}

vnorené do iného,

f(x){\displaystyle f(x)}

, ako tu máte. Reťazové pravidlo hovorí: [7]

  • dydx=dydududx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}}
  • V súhrne definujete exponent ako samostatnú funkciu
    u(x){\displaystyle u(x)}

    .

  • V tomto príklade je exponentom vnorená funkcia
    u(x){\displaystyle u(x)}

    . Teda pre tento príklad:

    • y=eu{\displaystyle y=e^{u}}

      , a

    • u=2x+3{\displaystyle u=2x+3}

Aplikujte reťazové pravidlo. Reťazové pravidlo vyžaduje, aby ste našli derivácie oboch funkcií

y{\displaystyle y}

a

u{\displaystyle u}

. Výsledná derivácia je potom súčinom týchto dvoch.[8]

  • Dve samostatné derivácie sú:
    • dydu=ddueu=eu{\displaystyle {\frac {dy}{du}}={\frac {d}{du}}e^{u}=e^{u}}

      . (Nezabudnite, že derivácia

      ex{\displaystyle e^{x}}

      je

      ex{\displaystyle e^{x}}

      .)

    • dudx=ddx(2x+3)=2{\displaystyle {\frac {du}{dx}}={\frac {d}{dx}}(2x+3)=2}
  • Po nájdení dvoch samostatných derivácií ich spojte a nájdite deriváciu pôvodnej funkcie:
  • dydx=dydududx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}}
    • ddxe2x+3=e(2x+3)2=2e(2x+3){\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{2x+3}=e^{(2x+3)}*2=2e^{(2x+3)}}

Precvičte si ďalší príklad

e{\displaystyle e}

s funkčným exponentom. Vyberte iný príklad,

y=esinx{\displaystyle y=e^{\sin x}}

.[9]

  • Definujte vnorenú funkciu. V tomto prípade,
    u=sinx{\displaystyle u=\sin x}

    .

  • Nájdite derivácie funkcií
    y{\displaystyle y}

    a

    u{\displaystyle u}

    .

    • dydu=eu{\displaystyle {\frac {dy}{du}}=e^{u}}
    • dudx=cosx{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=\cos x}
  • Kombinujte pomocou reťazového pravidla:
    • y=esinx{\displaystyle y=e^{\sin x}}
    • dydx=dydududx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}}
    • ddxesinx=eucosx=esinxcosx{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\sin x}=e^{u}*\cos x=e^{\sin x}\cos x}

Časť 4 zo 4:Hľadanie derivácie xx

Definujte funkciu. Pre tento špeciálny príklad, niekedy nazývaný „mocninová veža“, zvoľte takú funkciu, aby: [10]

  • y=xx{\displaystyle y=x^{x}}

Nájdite prirodzený logaritmus každej strany. Tak ako predtým, aj tu sa riešenie začína prirodzeným logaritmom každej strany rovnice: [11]

  • lny=ln(xx){\displaystyle \ln y=\ln(x^{x})}
  • lny=xlnx{\displaystyle \ln y=x\ln x}

Vezmite deriváciu každej strany rovnice. Na pravej strane tejto rovnice bude potrebné uplatniť pravidlo súčinu derivácií. Pripomeňme si, že pravidlo súčinu hovorí, že ak

y=f(x)g(x){\displaystyle y=f(x)*g(x)}

, potom

y=fg+fg{\displaystyle y^{\prime }=f*g^{\prime }+f^{\prime }*g}

.[12]

  • lny=xlnx{\displaystyle \ln y=x\ln x}
  • 1ydydx=x1x+1lnx{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=x*{\frac {1}{x}}+1*\ln x}
  • 1ydydx=1+lnx{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=1+\ln x}

Každú stranu vynásobíme y. Izolujte derivačný člen vpravo vynásobením oboch strán rovnice číslom y.[13]

  • 1ydydx=1+lnx{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=1+\ln x}
  • dydx=y(1+lnx){\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y*(1+\ln x)}
  • Nahraďte pôvodnú hodnotu y. Pripomeňme si z prvého kroku, že funkcia je

    y=xx{\displaystyle y=x^{x}}

    . Nahradením tohto člena namiesto

    y{\displaystyle y}

    je posledným krokom na nájdenie derivácie.[14]

    • dydx=y(1+lnx){\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y*(1+\ln x)}
    • dydx=xx(1+lnx){\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{x}(1+\ln x)}
    • ddxxx=xx+xxlnx{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{x}=x^{x}+x^{x}\ln x}
  • Odkazy