Ako diferencovať polynómy: 10 krokov (s obrázkami)

Diferenciácia je jedným zo základných procesov v kalkulu. Výsledkom diferencovania funkcie (zvyčajne nazývanej f(x)) je ďalšia funkcia nazývaná derivácia, zapísaná ako f'(x) („f prvočíslo x“). Táto derivácia má mnoho využití vo fyzike a matematike. Napríklad, ak vykreslíme graf polynómu f(x), derivácia f'(x) nám povie sklon (rýchlosť zmeny) pôvodnej funkcie vo všetkých jej bodoch. V prvej časti tohto článku sa naučíte diferencovať jednotlivé členy polynómu po jednom. Druhá časť využíva tento prístup na prechádzku typickým príkladom problému, diferencovanie celého polynómu. Po určitom precvičení je diferenciácia

5x3{\displaystyle 5x^{3}}

bude rovnako prirodzené ako násobenie a delenie.

Metóda 1 z 2:Diferencovanie polynomických členov


Diferencujte akúkoľvek konštantu na nulu. Konštanta je ľubovoľné obyčajné číslo, ktoré neobsahuje žiadnu premennú – napríklad 3, -16 alebo

2/3{\displaystyle 2/3}

. Tieto sú voľné v každej diferenciačnej úlohe, pretože ich derivácia je vždy 0. Tento člen jednoducho prečiarknite a pokračujte ďalej.[1]

  • Toto napíšte do formulára
    ddx(3)=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(3)=0}

    . Toto hovorí: „Derivát 3 vzhľadom na x je 0.“

  • Derivácia člena je „rýchlosť zmeny“ tohto člena: ako rýchlo sa tento člen mení vo vnútri funkcie. Keďže konštanta sa nikdy nemení (3 vždy zostane 3), jej rýchlosť zmeny je vždy nulová.


Diferencujte

x1{\displaystyle x^{1}}

na 1. Člen

x1{\displaystyle x^{1}}

(ktorý zvyčajne zapisujeme jednoducho ako

x{\displaystyle x}

) je ďalšia jednoduchá diferencia, keď poznáte pravidlo. Derivácia

x{\displaystyle x}

vzhľadom na

x{\displaystyle x}

je vždy 1.[2]

  • Zapíšte to ako
    ddx(x)=1{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)=1}

    .

  • Zápis dx znamená „derivácia vzhľadom na x.“ To znamená, že meníme hodnotu x, a sleduje sa, o koľko rýchlejšie alebo pomalšie sa zmení iný člen v reakcii na. Na stránke
    ddx(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)}

    , porovnávame zmenu x na zmenu x. To je to isté, a preto je miera zmeny 1.


Napíšte deriváciu

x2{\displaystyle x^{2}}

ako

2x{\displaystyle 2x}

. Dvojka v exponente sa pohybuje pred x sa stane koeficientom (číslo vynásobené x).[3]
) Medzitým sa

x2{\displaystyle x^{2}}

sa redukuje na

x{\displaystyle x}

.[4]

  • Všimli ste si vzor? Pri derivácii je hodnota exponentu premennej vždy o jednotku nižšia, ako bola v pôvodnom člene.
    x2{\displaystyle x^{2}}

    sa „zníži“ na

    x1{\displaystyle x^{1}}

    (čo je x), a

    x1{\displaystyle x^{1}}

    sa „zníži“ na

    x0{\displaystyle x^{0}}

    (ktorá sa rovná 1). Keďže hodnota exponentu premennej sa nazýva „stupeň“ polynómu, môžeme povedať, že diferencovanie člena znižuje stupeň tohto člena o jeden.[5]


Diferencujte

xn{\displaystyle x^{n}}

aby sme dostali

nxn1{\displaystyle nx^{n-1}}

. Alebo v angličtine: to differentiate a variable x zvýšený na exponent, zapíšte tento exponent pred x ako koeficient, potom znížte exponent o 1. Toto je jedno z najužitočnejších diferenciačných pravidiel. Pravidlá pre odvodenie

x2{\displaystyle x^{2}}

a

x{\displaystyle x}

vyššie uvedené sú vlastne len konkrétne príklady tohto všeobecného pravidla.[6]

  • Príklad: čo je
    ddx(x7){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{7})}

    (derivácia

    x7{\displaystyle x^{7}}

    vzhľadom na x)?

  • Exponent 7 sa stane koeficientom pred výrazom:
    7x?{\displaystyle 7x^{?}}
  • Nový exponent je o jeden menší ako pôvodný, 7-1=6.
  • Odpoveď je
    7x6{\displaystyle 7x^{6}}

    .


Vynásobíme koeficientom z pôvodného člena. Koeficient pred premennou sa pri diferencovaní výrazu nemení. Ak v odpovedi skončíte s viac ako jedným koeficientom, vynásobte ich spolu.[7]

  • Príklad: čo je
    ddx(5x3){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x^{3})}

    ?

  • ddx(5x3)=5×ddx(x3){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x^{3})=5\times {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{3})}

    (To znamená, že môžeme nájsť deriváciu

    x3{\displaystyle x^{3}}

    , potom vynásobíme našu odpoveď číslom 5.)

  • Ak chcete nájsť deriváciu
    x3{\displaystyle x^{3}}

    , z exponentu 3 urobte koeficient a potom exponent znížte o 1:

    ddx(x3)=3x2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{3})=3x^{2}}
  • Toto dosaďte späť do vzorca a vynásobte oba koeficienty spolu:
    5×ddx(x3)=5×3x2=15x2{\displaystyle 5\times {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{3})=5\times 3x^{2}=15x^{2}}

Metóda 2 z 2:Diferencovanie celých polynómov


Každý člen považujte za samostatný problém. Polynómy obsahujú viacero členov, ktoré sa sčítajú alebo odčítajú. Ak chcete diferencovať polynóm, diferencujte každý člen zvlášť. Všetky symboly sčítania a odčítania môžete nechať na pokoji.[8]

  • Vezmite napríklad
    f(x)=12x3+x25x+6{\displaystyle f(x)=-12x^{3}+x^{2}-5x+6}

    . Derivácia,

    f(x){\displaystyle f'(x)}

    , sa rovná derivácii každého člena, pripočítanej alebo odpočítanej tak, ako boli v pôvodnom.

  • V matematickom vyjadrení to môžeme zapísať ako:
    ddx(f(x))=ddx(12x3+x25x+6){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(f(x))={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(-12x^{3}+x^{2}-5x+6)} =ddx(12x3)+ddx(x2)ddx(5x)+ddx(6){\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(-12x^{3})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2})-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(6)}

    .


Zbavte sa konštantného člena. Ak existuje konštanta (výraz bez premennej), vymažte ju. Diferencovaním sa vždy odstráni konštantný člen.[9]

  • V našom príklade je 6 konštanta.
    ddx(6)=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(6)=0}

    , takže sa ho môžeme zbaviť.

  • Pozor: len členy bez premenných sú konštanty. Toto pravidlo sa netýka čísel, ktoré sú násobené x alebo akoukoľvek inou premennou.


Presuňte exponent každej premennej na začiatok člena. Nezabudnite, že keď diferencujeme, exponent každej premennej sa stáva koeficientom. Ak sa pred výrazom už nachádza koeficient, vynásobte oba koeficienty spolu.[10]

  • f(x)=ddx(12x3)+ddx(x2)ddx(5x){\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(-12x^{3})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2})-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x)}
  • =(3×12)x?+2x?(1×5)x?{\displaystyle =(3\times -12)x^{?}+2x^{?}-(1\times 5)x^{{?}}
  • =36x?+2x?5x?{\displaystyle =-36x^{{?}+2x^{?}-5x^{?}}
  • Keďže
    x=x1{\displaystyle x=x^{1}}

    , vzali sme exponent „1“ a presunuli ho pred

    5x{\displaystyle 5x}

    termín. Keďže násobenie 1 nikdy nemení výraz, môžete tento krok preskočiť, keď pochopíte, o čo ide.


Znížte každý exponent o jeden stupeň. Na tento účel od každého exponentu v každej premennej odpočítajte 1.[11]

  • f(x)=36x31+2x215x11{\displaystyle f'(x)=-36x^{3-1}+2x^{2-1}-5x^{1-1}}
  • =36x2+2x15x0{\displaystyle =-36x^{2}+2x^{1}-5x^{0}}
  • =36x2+2x5{\displaystyle =-36x^{2}+2x-5}
  • Pamätajte si, že
    x1{\displaystyle x^{1}}

    je rovnaká ako

    x{\displaystyle x}

    . Nezabudnite tiež, že všetko, čo je zvýšené na nultú mocninu (

    x0{\displaystyle x^{0}}

    ) sa rovná 1.


  • Nájdite hodnotu novej rovnice pri danej hodnote „x“. Diferenciáciu už máte za sebou, ale v testových úlohách je bežný ďalší krok. Ak ste požiadaní, aby ste „vyhodnotili výraz“ pre hodnotu x, všetko, čo musíte urobiť, je nahradiť každý x v novej rovnici s danou hodnotou a vyriešte.[12]

    • Vyhodnoťte napríklad deriváciu f'(x) pri x=2.
    • Derivačná rovnica, ktorú sme našli, je
      f(x)=36x2+2x5{\displaystyle f'(x)=-36x^{2}+2x-5}
    • f(2)=36(2)2+2(2)5{\displaystyle f'(2)=-36(2)^{2}+2(2)-5}
    • =36(4)+45{\displaystyle =-36(4)+4-5}
    • =144+45{\displaystyle =-144+4-5}
    • =145{\displaystyle =-145}
    • Táto odpoveď sa vzťahuje späť na pôvodnú funkciu f(x). Hovorí nám, že ak nakreslíme dotyčnicu k tejto funkcii v bode x=2, sklon tejto dotyčnice je -145.
  • Odkazy