Ako dokázať Euklidovu vetu o priesečníkoch: 7 krokov

Keď si človek prvýkrát prečíta vetu 35 v tretej knihe Euklidových „Elementov“, môže byť prekvapený, že kríženie akordov vytvára dva rovnaké obdĺžniky bez ohľadu na to, či je ich priesečník v strede alebo nie, ale je to pomerne jednoduché pochopiť. V tomto článku sa naučíte dokázať vetu o pretínajúcich sa (alebo krížiacich sa) chordoch; konkrétne, ako dva chordi AD a BC vytvárajú dva rovnaké obdĺžniky.

Časť 1 zo 4:Učebnica


Pochopte definíciu Euklidovej vety o pretínajúcich sa chordoch. Veta o pretínajúcich sa chordách tvrdí tento veľmi užitočný fakt: Ak je daný bod P vo vnútri kružnice s dvoma priamkami prechádzajúcimi bodom P, AD a BC, potom AP*PD = BP*PC — dva obdĺžniky vytvorené susednými úsečkami sa v skutočnosti rovnajú. Tento článok vám v niekoľkých krokoch ukáže, ako dokázať, že je to pravda.


Dokážte podobnosť trojuholníkov ABP a CDP, ktorá vyplýva z ich uhlov od:

  • BAD = BCD, pretože vpísané uhly, ktorým podľahla rovnaká šnúra BD, sa rovnajú [III. kniha, vety 20 a 21];
  • ABC = ADC, pretože vpísané uhly, ktorým podľahla rovnaká tetiva AC, sa rovnajú [Kniha III, vety 20 a 21]; a
  • APB = CPD, pretože ide o dvojicu zvislých uhlov (zvislé uhly sú tvorené rovnakými priesečníkmi).


Dokážte, že z podobnosti trojuholníkov ABP a CDP vyplývajú tieto totožnosti a pomery: 1) AP/PC = BP/PD = AB/CD. To je v podstate to, ako spolu súvisia podobné trojuholníky.


Dokážte, že prvá vyššie uvedená identita, AP/PC = BP/PD, vedie priamo k vete o pretínajúcich sa chordoch, a to krížovým násobením: AP*PD = BP*PC. Takto sa dospelo ku vete geometricky aj matematicky, pretože tieto dva súčiny sú skutočne obdĺžniky.


Preskúmajte a zistite, že dôkaz, ktorý uvádza Euklides, je oveľa dlhší a zložitejší a používa Pytagorovu vetu, ktorá je sama o sebe pomerne dlhým dôkazom. Aby ste pochopili, ako tieto dôkazy fungujú, odkazujeme vás na nižšie uvedený preklad textu Euklidových „Elementov“.

Časť 2 zo 4:Vysvetľujúce grafy, schémy, fotografie

Časť 3 zo 4:Pomocné pokyny

Pri postupe v tomto učebnom texte využite pomocné články:

  • Pozri článok Ako násobiť a deliť geometricky ako matka príroda, kde nájdete zoznam článkov týkajúcich sa Excelu, geometrického a/alebo trigonometrického umenia, grafov/diagramov a algebrických formulácií.
  • Ak chcete získať ďalšie umelecké grafy a diagramy, môžete tiež kliknúť na Kategória:Obrázky Microsoft Excel, Kategória:Matematika, Kategória:Tabuľky alebo Kategória:Grafika, aby ste si pozreli mnoho tabuliek a grafov Excelu, v ktorých sa trigonometria, geometria a kalkulus zmenili na umenie, alebo jednoducho kliknite na kategóriu, ako sa zobrazuje v pravej hornej bielej časti tejto stránky, alebo v ľavej dolnej časti stránky.

4. časť zo 4:Video asistencia
Používaním tejto služby môžu byť niektoré informácie zdieľané so službou YouTube.




Odkazy


  1. Prvých šesť kníh Euklidových prvkov od *Johna Caseyho; zdroj public domain – túto elektronickú knihu môže používať ktokoľvek a kdekoľvek bez akýchkoľvek nákladov a takmer bez akýchkoľvek obmedzení. Môžete ju kopírovať, darovať alebo opätovne použiť podľa podmienok licencie projektu Gutenberg, ktorá je súčasťou tejto elektronickej knihy.
  2. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/194880/Euclid