Ako dokončiť štvorec (s obrázkami)

Dokončenie štvorca je užitočná technika, ktorá vám umožňuje zmeniť usporiadanie kvadratickej rovnice do úhľadného tvaru, ktorý uľahčuje jej vizualizáciu alebo dokonca riešenie. Štvorec môžete doplniť, aby ste mohli prestaviť zložitejší kvadratický vzorec alebo dokonca vyriešiť kvadratickú rovnicu. Ak chcete vedieť, ako to urobiť, stačí postupovať podľa týchto krokov.

Časť 1 z 2:Transformácia štandardnej rovnice do vrcholového tvaru


Zapíšte rovnicu. Povedzme, že pracujete s nasledujúcou rovnicou: 3×2 – 4x + 5.


Vypočítajte koeficient štvorcového člena z prvých 2 členov. Ak chcete z prvých dvoch členov vynásobiť trojkou, jednoducho vytiahnite trojku a umiestnite ju okolo sústavy zátvoriek okolo oboch členov, pričom každý člen vydelíte 3. 3×2 delené 3 je jednoducho x2 a 4x delené 3 je 4/3x. Nová rovnica by teda mala vyzerať takto: 3(x2 – 4/3x) + 5. Číslo 5 zostane mimo rovnice, pretože ste ho nevydelili číslom 3.


Druhý člen znížiť na polovicu a odmocniť ho. Druhý člen, známy aj ako b člen v rovnici je 4/3. Druhý člen zmenšite na polovicu alebo ho najprv vydeľte číslom 2. 4/3 ÷ 2 alebo 4/3 x 1/2 sa rovná 2/3. Teraz tento člen odmocnite odmocnením čitateľa aj menovateľa zlomku. (2/3)2 = 4/9. Zapíšte tento člen.[1]


Pridajte a odčítajte tento člen z rovnice. Tento „dodatočný“ člen budete potrebovať, aby ste prvé tri členy tejto rovnice premenili na dokonalý štvorec. Musíte si však uvedomiť, že ste ho pridali aj tak, že ste ho od rovnice odčítali. Aj keď je zrejmé, že vám nepomôže, ak jednoducho spojíte výrazy – budete tam, kde ste začali. Nová rovnica by mala vyzerať takto: 3( x2 – 4/3 x + 4/9 – 4/9) + 5.[2]


Vytiahnite zo zátvorky člen, ktorý ste odčítali. Keďže pracujete s koeficientom 3 mimo zátvoriek, nemôžete jednoducho vytiahnuť -4/9. Najskôr to musíte vynásobiť tromi. -4/9 x 3 = -12/9 alebo -4/3. Ak nepracujete s rovnicou s iným koeficientom ako 1 cez člen x2, potom môžete tento krok preskočiť.


Preveďte výrazy v zátvorkách na dokonalý štvorec. Práve teraz vám v zátvorke zostane 3(x2 -4/3x +4/9). Pracovali ste smerom dozadu, aby ste dostali 4/9, čo bol vlastne iný spôsob, ako nájsť člen, ktorý by doplnil štvorec. Takže tieto členy môžete prepísať takto: 3(x – 2/3)2. Jediné, čo ste museli urobiť, bolo znížiť druhý člen na polovicu a odstrániť tretí člen. To, že to funguje, si môžete overiť vynásobením a zistiť, že vám to dáva prvé tri členy rovnice.[3]

  • 3(x – 2/3)2 =
  • 3(x – 2/3)(x -2/3) =
  • 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
  • 3(x2 – 4/3x + 4/9)


Spojte konštantné členy. Zostávajú vám dva konštantné členy alebo členy, ktoré nie sú pripojené k premennej. Teraz vám zostáva 3(x – 2/3)2 – 4/3 + 5. Jediné, čo musíte urobiť, je sčítať -4/3 a 5, aby ste dostali 11/3. Urobíte to tak, že im nastavíte rovnakého menovateľa: -4/3 a 15/3, a potom sčítate čitateľov, aby ste dostali 11, a menovateľa ponecháte ako 3.

  • -4/3 + 15/3 = 11/3.


Napíš rovnicu vo vrcholovom tvare. Všetko je hotové. Konečná rovnica je 3(x – 2/3)2 + 11/3. Koeficient 3 môžete odstrániť vydelením oboch častí rovnice a dostanete (x – 2/3)2 + 11/9. Teraz ste úspešne uviedli rovnicu do vrcholového tvaru, ktorý je a( x – h )2 + k, kde k predstavuje konštantný člen.

Druhá časť z 2:Riešenie kvadratickej rovnice


Zapíšte problém. Povedzme, že pracujete s nasledujúcou rovnicou: 3×2 + 4x + 5 = 6


Spojte konštantné členy a dajte ich na ľavú stranu rovnice. Konštantné členy sú všetky členy, ktoré nie sú pripojené k premennej. V tomto prípade máte 5 na ľavej strane a 6 na pravej strane. Chcete presunúť 6 na ľavú stranu, takže budete musieť od oboch strán rovnice odčítať 6. Zostane vám 0 na pravej strane (6-6) a -1 na ľavej strane (5-6). Rovnica by teraz mala znieť: 3×2 + 4x – 1 = 0.[4]


Vypočítajte koeficient štvorcového člena. V tomto prípade je 3 koeficientom člena x2. Ak chcete vynásobiť koeficient 3, stačí vytiahnuť 3, ostatné členy dať do zátvoriek a každý člen vydeliť 3. Takže 3×2 ÷ 3 = x2, 4x ÷ 3 = 4/3x a 1 ÷ 3 = 1/3. Rovnica by teraz mala znieť: 3(x2 + 4/3x – 1/3) = 0.


Vydelte konštantou, ktorú ste práve vydelili. To znamená, že sa môžete nadobro zbaviť toho otravného člena 3 mimo zátvoriek. Keďže ste každý člen vydelili číslom 3, môžete ho odstrániť bez toho, aby ste ovplyvnili rovnicu. Teraz máte x2 + 4/3x – 1/3 = 0


Druhý člen znížte na polovicu a odmocnite ho. Ďalej vezmite druhý člen, 4/3, známy aj ako b člen a nájdite jeho polovicu. 4/3 ÷ 2 alebo 4/3 x 1/2 je 4/6 alebo 2/3. A 2/3 na druhú je 4/9. Keď ste hotoví, musíte ju napísať na ľavej strane a pravú stranu rovnice, pretože v podstate pridávate nový člen. Budete ho potrebovať na oboch stranách rovnice, aby bola rovnica vyvážená. Rovnica by teraz mala znieť x2 + 4/3 x + 2/32 – 1/3 = 2/32


Presuňte pôvodný konštantný člen na pravú stranu rovnice a pridajte ho k členu na tejto strane. Presuňte pôvodný konštantný člen -1/3 na pravú stranu, aby bol 1/3. Pridajte ich k výrazu, ktorý ste tam práve umiestnili, 4/9 alebo 2/32. Nájdite spoločného menovateľa, aby ste spojili 1/3 a 4/9 vynásobením hornej aj dolnej časti 1/3 číslom 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Teraz sčítajte 3/9 a 4/9, aby ste dostali 7/9 na pravej strane rovnice. Vznikne: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 a potom x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.


Ľavú stranu rovnice zapíš ako dokonalý štvorec. Keďže ste už použili vzorec na nájdenie chýbajúceho člena, ťažkú časť už máte za sebou. Jediné, čo musíte urobiť, je umiestniť x a polovicu druhého koeficientu do zátvoriek a odmocniť ich, napríklad takto: (x + 2/3)2. Všimnite si, že vynásobením tohto dokonalého štvorca získate tri členy: x2 + 4/3 x + 4/9. Rovnica by teraz mala znieť: (x + 2/3)2 = 7/9.


Odmocninu z oboch strán. Na ľavej strane rovnice je odmocnina z (x + 2/3)2 jednoducho x + 2/3. Na pravej strane dostanete +/- (√7)/3. Druhá odmocnina menovateľa, 9, je párna 3 a druhá odmocnina zo 7 je √7. Nezabudnite písať +/-, pretože odmocnina môže byť kladná alebo záporná.


  • Izolujte premennú. Ak chcete izolovať premennú x, stačí presunúť konštantný člen 2/3 na pravú stranu rovnice. Teraz máte dve možné odpovede pre x:± (√7)/3 – 2/3. Toto sú vaše dve odpovede. Môžete to nechať tak, alebo nájsť skutočnú druhú odmocninu zo 7, ak potrebujete dať odpoveď bez znamienka radikálu.
  • Odkazy