Ako nájsť doménu a rozsah funkcie: 14 krokov

Každá funkcia obsahuje dva typy premenných: nezávislé premenné a závislé premenné, ktorých hodnoty doslova „závisia“ od nezávislých premenných. Napríklad vo funkcii y = f(x) = 2x + y, x je nezávislá a y je závislé (inými slovami, y je funkciou x). Platné hodnoty pre danú nezávislú premennú x sa spoločne nazývajú „doména.“ Platné hodnoty pre danú závislú premennú y sa spoločne nazývajú „rozsah.“[1]

Časť 1 z 3:Hľadanie domény funkcie


Určite typ funkcie, s ktorou pracujete. Oblasť funkcie sú všetky hodnoty x (vodorovná os), ktoré vám dajú platnú výstupnú hodnotu y. Rovnica funkcie môže byť kvadratická, zlomok alebo môže obsahovať korene. Ak chcete vypočítať doménu funkcie, musíte najprv vyhodnotiť členy v rámci rovnice.

  • Kvadratická funkcia má tvar ax2 + bx + c: f(x) = 2×2 + 3x + 4
  • Príklady funkcií so zlomkami: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x – 1), atď.
  • Medzi funkcie s koreňom patria: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1), f(x) = √-x atď.


Zapíšte doménu so správnym zápisom. Zápis oboru funkcie zahŕňa použitie oboch zátvoriek [,] a zátvorky (,). Ak je číslo zahrnuté v doméne, použijete zátvorku a ak doména číslo nezahŕňa, použijete zátvorku. Písmeno U označuje spojenie, ktoré spája časti oboru, ktoré môžu byť oddelené medzerou.[2]

  • Napríklad doména [-2, 10) U (10, 2] zahŕňa -2 a 2, ale nezahŕňa číslo 10.
  • Vždy používajte zátvorky, ak a používate symbol nekonečna, ∞. Je to preto, že nekonečno je pojem a nie číslo.


Nakreslite graf kvadratickej rovnice. Kvadratické rovnice vytvárajú parabolický graf, ktorý smeruje buď nahor, alebo nadol. Vzhľadom na to, že parabola bude pokračovať nekonečne von po osi x, oblasťou väčšiny kvadratických funkcií sú všetky reálne čísla. Inak povedané, kvadratická rovnica zahŕňa všetky hodnoty x na číselnej priamke, takže jej obor R (symbol pre všetky reálne čísla).

  • Ak chcete získať predstavu o funkcii, vyberte si ľubovoľnú hodnotu x a vložte ju do funkcie. Riešením funkcie s touto hodnotou x sa získa hodnota y. Tieto hodnoty x a y predstavujú súradnicu (x, y) grafu funkcie.
  • Načrtnite túto súradnicu a zopakujte postup s ďalšou hodnotou x.
  • Vynesenie niekoľkých hodnôt týmto spôsobom by vám malo poskytnúť všeobecnú predstavu o tvare kvadratickej funkcie.


Ak ide o zlomok, menovateľ sa rovná nule. Pri práci so zlomkom nikdy nemôžete deliť nulou. Nastavením menovateľa rovného nule a riešením pre x môžete vypočítať hodnoty, ktoré budú vo funkcii vylúčené.[3]

  • Napríklad: Určte oblasť funkcie f(x) = (x + 1)/(x – 1).
  • Menovateľ tejto funkcie je (x – 1).
  • Nastavte ju na nulu a vyriešte pre x: x – 1 = 0, x = 1.
  • Napíšte doménu: Oblasť tejto funkcie nemôže obsahovať 1, ale obsahuje všetky reálne čísla okrem 1; preto je oblasťou (-∞, 1) U (1, ∞).
  • (-∞, 1) U (1, ∞) možno čítať ako množinu všetkých reálnych čísel okrem 1.Symbol nekonečna, ∞, predstavuje všetky reálne čísla. V tomto prípade sú do oboru zahrnuté všetky reálne čísla väčšie ako 1 a menšie ako jedna.


Nastavte členy vnútri radikálu tak, aby boli väčšie alebo rovné nule, ak existuje koreň funkcie. Nemožno brať druhú odmocninu zo záporného čísla, preto každá hodnota x, ktorá vedie k zápornému číslu, musí byť vylúčená z oboru tejto funkcie.[4]

  • Napríklad: Určite obor funkcie f(x) = √(x + 3).
  • Členmi v rámci radikálu sú (x + 3).
  • Nastavte ich väčšie alebo rovné nule: (x + 3) ≥ 0.
  • Riešenie pre x: x ≥ -3.
  • Oblasť tejto funkcie zahŕňa všetky reálne čísla väčšie alebo rovné -3; preto je oblasťou [-3, ∞).

Druhá časť z 3:Určenie rozsahu kvadratickej funkcie


Potvrďte, že máte kvadratickú funkciu. Kvadratická funkcia má tvar ax2 + bx + c: f(x) = 2×2 + 3x + 4. Tvar kvadratickej funkcie na grafe je parabola smerujúca nahor alebo nadol. Existujú rôzne metódy výpočtu oboru funkcie v závislosti od typu, s ktorým pracujete.[5]

  • Najjednoduchší spôsob, ako určiť rozsah iných funkcií, ako sú koreňové a zlomkové funkcie, je nakresliť graf funkcie pomocou grafickej kalkulačky.


Nájdite hodnotu x vrcholu funkcie. Vrchol kvadratickej funkcie je vrchol paraboly. Zapamätajte si, že kvadratická rovnica má tvar ax2 + bx + c. Na zistenie súradnice x použite rovnicu x = -b/2a. Táto rovnica je deriváciou základnej kvadratickej funkcie, ktorá predstavuje rovnicu s nulovým sklonom (vo vrchole grafu je sklon funkcie nulový).

  • Nájdite napríklad rozsah funkcie 3×2 + 6x -2.
  • Vypočítajte x-ovú súradnicu vrcholu: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1


Vypočítajte hodnotu y vrcholu funkcie. Zapojením x-ovej súradnice do funkcie vypočítame príslušnú y-ovú hodnotu vrcholu. Táto hodnota y označuje okraj vášho oboru pre funkciu.

  • Vypočítajte y-ovú súradnicu: y = 3×2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
  • Vrchol tejto funkcie je (-1, -5).


Určte smer paraboly tak, že dosadíte aspoň jednu ďalšiu hodnotu x. Vyberte si akúkoľvek inú hodnotu x a vložte ju do funkcie, aby ste vypočítali zodpovedajúcu hodnotu y. Ak je hodnota y nad vrcholom, parabola pokračuje do +∞. Ak je hodnota y pod vrcholom, parabola pokračuje do -∞.

  • Použite hodnotu x -2: y = 3×2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
  • Z toho vyplýva súradnica (-2, -2).
  • Táto súradnica vám hovorí, že parabola pokračuje nad vrcholom (-1, -5); preto rozsah zahŕňa všetky hodnoty y nad -5.
  • Oblasť tejto funkcie je [-5, ∞)


Napíšte rozsah so správnym zápisom. Rovnako ako doména, aj rozsah sa zapisuje rovnakým zápisom. Použite zátvorku, ak je číslo zahrnuté v obore, a zátvorku, ak obor číslo nezahŕňa. Písmeno U označuje spojenie, ktoré spája časti oboru, ktoré môžu byť oddelené medzerou.[6]

  • Napríklad rozsah [-2, 10) U (10, 2] obsahuje -2 a 2, ale neobsahuje číslo 10.
  • Vždy používajte zátvorky, ak používate symbol nekonečna, ∞.

Časť 3 z 3:Grafické hľadanie rozsahu funkcie


Znázornite graf funkcie. Často je najjednoduchšie určiť rozsah funkcie tak, že ju jednoducho vykreslíte do grafu. Mnohé koreňové funkcie majú rozsah (-∞, 0] alebo [0, +∞), pretože vrchol bočnej paraboly je na vodorovnej osi x. V tomto prípade funkcia zahŕňa všetky kladné hodnoty y, ak parabola smeruje nahor, alebo všetky záporné hodnoty y, ak parabola smeruje nadol. Zlomkové funkcie budú mať asymptoty, ktoré vymedzujú rozsah.[7]

  • Niektoré koreňové funkcie budú začínať nad alebo pod osou x. V tomto prípade je rozsah určený bodom, v ktorom začína koreň funkcie. Ak parabola začína pri y = -4 a stúpa nahor, potom je jej rozsah [-4, +∞).
  • Najjednoduchší spôsob, ako vykresliť graf funkcie, je použiť grafický program alebo grafickú kalkulačku.
  • Ak nemáte grafickú kalkulačku, môžete nakresliť hrubý náčrt grafu tak, že do funkcie vložíte hodnoty x a získate príslušné hodnoty y. Zakreslite tieto súradnice do grafu, aby ste získali predstavu o tvare grafu.


Nájdite minimum funkcie. Po vykreslení grafu funkcie by ste mali byť schopní jasne vidieť najnižší bod grafu. Ak nie je zrejmé žiadne minimum, vedzte, že niektoré funkcie budú pokračovať až do -∞.

  • Zlomková funkcia bude obsahovať všetky body okrem tých, ktoré sú na asymptote. Často majú rozsahy ako (-∞, 6) U (6, ∞).


Určenie maxima funkcie. Opäť by ste po vykreslení grafu mali byť schopní určiť maximálny bod funkcie. Niektoré funkcie budú pokračovať do +∞, a preto nebudú mať maximum.


  • Zapíšte rozsah so správnym zápisom. Podobne ako doména, aj rozsah sa zapisuje rovnakým zápisom. Použite zátvorku, ak je číslo zahrnuté v obore, a zátvorku, ak obor číslo nezahŕňa. Písmeno U označuje spojenie, ktoré spája časti domény, ktoré môžu byť oddelené medzerou.[8]

    • Napríklad rozsah [-2, 10) U (10, 2] obsahuje čísla -2 a 2, ale neobsahuje číslo 10.
    • Vždy používajte zátvorky, ak používate symbol nekonečna, ∞.
  • Odkazy