Ako nakresliť koreňový bod systému (s obrázkami)

Systém so spätnou väzbou sa stáva stabilným, keď rovnice opisujúce tento systém majú korene, ktoré sa riadia určitými vzormi.

V opačnom prípade sa systém stane nestabilným. Príkladom takéhoto nestabilného systému je, keď mikrofóny vytvárajú piskoty. Časť hlasu z reproduktora sa vracia do mikrofónu a zosilňuje sa v zosilňovačoch a potom ide do reproduktorov a opäť sa vracia do mikrofónu a cyklicky sa opakuje, až kým nenasýti zosilňovače a nevytvorí vysoký hluk.

Spätná väzba niekedy udržiava systém práve na hranici nestability a začne systém oscilovať. To môže byť užitočné v elektronike a inde, aby sa dosiahlo stabilné kmitanie; v zariadení, ako sú hodiny. Ak však rezerva nebola starostlivo vypočítaná, malá zmena môže systém zdevastovať do záhuby. Toto je viditeľné, keď sa niektoré mosty zrútili, pretože začali kmitať a potom sa dostali do nestabilného chodu, keď po nich prechádzajú ľudia, autá alebo vlaky. Novopostavený londýnsky most otvorený pre chodcov na milénium bol v prvý deň svojho otvorenia blízko k tomuto úteku, ale keďže bol stále pod starostlivým dohľadom konštruktérov, bol odstavený a katastrofa sa nestala. Koreňová lokácia pomáha inžinierom predvídať špecifikáciu ich systému, aby spĺňal kritériá stability. Aj keď sú všetky akademické pracoviská plné množstva softvéru na kreslenie „koreňovej lokality“, predsa len je pre všetkých študentov inžinierstva fascinujúce poznať koncepčný náčrt tejto metódy.

Metóda 1 z 2: Predbežné údaje


Vedzte, že najjednoduchší systém má vstup a výstup. Systém sa nachádza medzi týmito dvoma. vstup vstupuje do systému, potom sa zmení a potom vystupuje ako požadovaný výstup. Systém je zostavený tak, aby vytvoril takú požadovanú zmenu pre výstup.


Zobrazte systém pomocou rámčeka. Vstup ide do nej ako šípka a výstup z nej vychádza ako šípka.

  • Čokoľvek, čo systém urobí so vstupom, sa nazýva funkcia systému.
  • Pred vykonaním tejto funkcie systém vždy vykoná jednu z troch vecí na svojom vstupe,
    • Tento koreňový lokus sa nazýva 180° koreňový lokus.
    • Stačí znížiť tento vstup. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je menší ako jedna (0 < K < 1).
    • Jednoducho ho udržujte na rovnakej hodnote. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je rovný jednej (K = 1).
    • Jednoducho ho zväčšite. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je väčší ako jedna (K > 1).
  • Pred vykonaním tejto funkcie môže systém urobiť vstup invertovaný, prevrátený, a potom vždy urobí jednu z troch vecí so svojím vstupom,
    • Tento koreňový bod sa nazýva 0° koreňový bod.
    • Jednoducho redukuje, že invertovaný vstup. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je väčší ako mínus jedna ( – 1 < K < 0).
    • Jednoducho ho ponechajte na rovnakej hodnote. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je rovný mínus jedna (K = – 1).
    • Jednoducho ho zvýši. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je menší ako mínus jedna (K < – 1).
  • K sa nazýva zisk systému.
  • Systém so spätnou väzbou má cestu z výstupu na vstup a podieľať sa a zdieľať niečo z výstupu na vstup.


Zapamätajte si, že systém bez spätnej väzby v inžinierskom zápise je taký, ako je znázornený na obrázku.
Vzťah výstupu k vstupu sa opisuje ako násobenie vstupu X(s) pomocou systémovej funkcie G(s), aby výsledkom bol výstup Y(s). To znamená, že, Y(s) = G(s)X(s).



4Manipuláciou posledného výsledku dostaneme (pozri obrázok vyššie)


Ukážte teda, s rovnakými formálnymi zápismi ďalej. Všimnite si, že vo vnútri kríža (X) je znamienko plus (+) pre vstup a znamienko mínus (-) pre spätnú väzbu.
Výstup prichádza a prostredníctvom spätnej väzby ide zmeniť vstup. Pri výstupe Y(s) vychádza zo spätnej väzby a stáva sa Y(s) krát H(s) (to znamená, že Y(s)H(s)) a odčítava sa od vstupu X(s).
Preto v skutočnosti X(s) -Y(s)H(s) vstupuje do systému. X(s) -Y(s)H(s) vstupuje do systému a násobí sa funkciou systému a vychádza ako (X(s) -Y(s)H(s))G(s). Z toho vyplýva, že výstup Y(s) je v skutočnosti,
Y(s) = (X(s) -Y(s)H(s))G(s)



6Manipuláciou posledného výsledku dostaneme (pozri obrázok vyššie)


Všimnite si, že pomer Y(s) / X(s), bez ohľadu na to, aká je, sa nazýva prenosová funkcia.

  • Prenosová funkcia podľa rovnice 2 je známa ako Prenosová funkcia uzavretej slučky.
  • Súčin G(s)H(s) v rovnici 2 je známy ako Prenosová funkcia otvorenej slučky.


Majte na pamäti, že môžete mať rovnicu, 1 + H(s)G(s) = 0. Táto rovnica sa nazýva Charakteristická rovnica systému.


Pamätajte si, že. Všetky diskutované funkcie, dokonca aj každá z X(s) alebo Y(s) sú samy o sebe komplexné racionálny funkcie komplexnej premennej s.

Nezabudnite tiež, že komplexný racionálna funkcia je pomer dvoch komplexných komplexných polynómov. Napríklad H(s) = n(s) / d(s).


Porovnajte pomer Y(s) / X(s) v dvoch systémoch bez spätnej väzby a so spätnou väzbou, aby sa zistilo, aký je vplyv spätnej väzby v systéme.


Urobte jednoduchý výpočet, aby ste sa presvedčili, že funkciu spätnej väzby možno pohltiť do vstupu pred porovnávacím bodom.


Pozorujte jednoduchú spätnú väzbu. Často v spätnoväzbovej slučke je funkcia spätnej väzby jednotková, to znamená, že H(s) = 1.



14Rovnicu 2 potom zapíšeme ako (pozri obrázok vyššie)


Oddelený zisk K. Je lepšie oddeliť zisk systému ako nezávislý blok. Je správne, že teraz je táto G(s) nie je rovnaký ako predchádzajúci G(s), pretože z neho bolo odstránené jeho zosilnenie K, ale je vhodné preň stále používať rovnaký zápis, ako keby sme mali blok K a G(s) blok od začiatku.



16Zapíšte teda rovnicu 3 ako (pozri obrázok vyššie)


Všimnite si, že menovateľ určuje stabilitu systému. Radi by ste vedeli, kedy sa tento menovateľ stane nulovým alebo sa k nule priblíži, keď sa zmení zosilnenie systému, K, ako parameter. Máte záujem skontrolovať 1 + KG(s) = 0. Alebo G(s) = – 1 / K. Predpokladajme, že K > 0 a potom podľa symetrie zistíme, čo sa stane, ak K < 0. Pre komplexné pochopenie je potrebné diskutovať aj o triviálnom prípade K = 0.


Vypočítajte veľkosť (modul) a uhol (argument) G(s). Následne si všimnite, že |G(s)| = 1 / K a /G(s) = 180°q; kde, q je nepárne celé číslo. Tento symbol /___ ukazuje uhol komplexnej funkcie.


Pamätajte si G(s) je racionálna funkcia; to znamená, že sa rovná polynómu delenému polynómom, pričom oba sú v tej istej premennej s. Preto,


Všimnite si, že vo všeobecnosti nie je jednoduché nájsť korene polynómu stupňa väčšieho ako tri alebo štyri a vypísať ho v jeho koreňových činiteľoch, ako je to urobené v rovnici 5. Toto je jedna z prekážok pri rysovaní koreňového lokusu. Každopádne sa zatiaľ predpokladá, že takáto faktorizácia je známa. Teda pre polynóm stupňa n máme n komplexné korene ri


Začnite od najjednoduchšej sústavy. Charakteristická rovnica je nasledovná s + K = 0. Zmena K z 0 sa mení smerom nahor s z 0 na – smerom nadol.


Zapamätajte si. Zo strednej školy ste mali otázky typu určiť parameter β tak, že kvadratická rovnica x2 + x + β = 0 má dva rovnaké korene; takéto alebo podobné otázky. To bol základný problém koreňového loku parametrizovaný pomocou β. Vedeli ste, že by ste mali vypočítať diskriminant a dať ho rovný nule, aby ste splnili predpísanú podmienku : Δ = 1 – 4β = 0 a teda β = 1 / 4.


Vyriešte podobný koreňový bod pre riadiaci systém znázornený v spätnoväzbovej slučke tu. Namiesto diskriminantu sa bude skúmať charakteristická funkcia; to znamená 1 + K (1 / s(s + 1) = 0. Manipulácia s touto rovnicou vedie k záveru s2 + s + K = 0.


Položte otázky týkajúce sa K.


Začíname od K = 0. Máte dva reálne korene s = 0 a s = – 1, pretože charakteristická rovnica je s2 + s = 0.


Zvýšenie K. Máte stále dva reálne korene, kým K = 1 / 4, kde sa dva korene budú rovnať; to znamená s1 = s2 = – 1 / 2.


Zvýšte K > 1 / 4. Diskriminačná hodnota bude záporná. Máte dva imaginárne korene, ktoré sú navzájom komplexne konjugované. Reálna hodnota oboch koreňov však zostáva rovnaká a rovná sa – 1 / 2. Zvyšovanie K nemá na to žiadny vplyv; zväčšia sa len imaginárne časti. Koreňové ohnisko je nakreslené ťažkými čiarami.

  • Pre tento kvadratický polynóm existujú dva korene a určite sa spájajú v jednom bode na reálnej priamke pre určitú hodnotu parametra K čím sa diskriminant rovná nule a vzniká opakovaný koreň.
  • Časť reálnej priamky medzi týmito dvoma koreňmi je súčasťou koreňového lokusu
  • Tento bod sa nazýva σ-bod alebo bod vetvenia asymptoty koreňového bodu.
  • Až do tejto hodnoty K systém sa tlmí bez prekročenia-odchýlenia (pred zastavením sa netrasie).
  • Na K = 1 / 4 systém kriticky tlmí.
  • Potom sa zvyšuje K len zväčšuje imaginárnu časť vytvorených konjugovaných koreňov.
  • To spôsobuje, že vetvenie koreňového loku je kolmé na reálnu priamku.
  • Teoreticky po celej tejto línii systém tlmí, ale s otrasmi. Prakticky môže zvyšovanie zosilnenia spôsobiť nestabilitu systému. Otrasy sa môžu stať takými trvalými, že v systéme vyvolajú nežiaduce frekvencie, ktoré následne systém vytrhnú nad rámec jeho materiálovej pevnosti. Napríklad malé trhliny dosahujú katastrofické body alebo dynamická únava to vyrieši. Vždy konštruktéri vymyslia na zabránenie neobmedzeného nárastu K.


Poznajte význam vecí, ktoré sa dejú v komplexnej rovine. Každý ľubovoľný bod v komplexnej rovine možno zobraziť vektorom, ktorý má dĺžku a uhol vzhľadom na reálnu priamku.

  • r je koreň s + r = 0
  • s sa hovorí, že je to skúšobný bod na vyhodnotenie – r.
  • Akýkoľvek výber s nad reálnou priamkou sa nazýva reálna čiara vyhodnotenie – r.


Všimnite si, že komplexná rovina nie je ako reálna priamka.

  • Na reálnej priamke ste ohraničení v intervaloch. Integrál má len dva koncové body, ktoré treba vyhodnotiť.
  • V komplexnej rovine sa nedá pohybovať všade. Naopak, musíte si vybrať oblasť, ktorú chcete obmedziť na vyhodnotenie. Aj to je príliš veľa. Obmedzíte svoje vyhodnotenia len na to, aby sa vykonávali na určitej krivke alebo na určitých (zvyčajne jednoduchých) dráhach.


Vyhodnotiť ľubovoľný testovací bod s1 vzhľadom na koreň polynómu s + 2 = 0. Je to vektor z hrotu s1 až po špičku r.


Predpokladajte, že máte určitý počet reálnych koreňov na reálnej priamke. Spýtajte sa, ktorá časť reálnej priamky pripadá na koreňový lokus, keď zisk k sa pohybuje od nuly po plus nekonečno.

  • Vyberte ľubovoľný bod na reálnej priamke, ak počet reálnych koreňov (núl a pólov) na pravej strane tohto koreňa je nepárne číslo (1, 3, 5, …), potom je táto časť reálnej priamky tiež na koreňovom loku.
  • V jednoduchom integrátore majú všetky body na zápornej časti reálnej priamky len jeden koreň na pravej strane. Z toho vyplýva, že všetky záporné reálne priamky sú v koreňovom loku.
  • V systéme riadenia motora sú len tie body reálnej priamky medzi s = 0 a s = – 1 majú nepárny počet koreňov na pravej strane. Z toho vyplýva, že len časť medzi s = 0 a s = – 1 je v koreňovom lokuse.


Pamätajte si, že charakteristická funkcia pre všeobecnú spätnoväzbovú slučku bola 1 + G(s)H(s) = 0. Odstráňte zisk K kdekoľvek sa nachádza, ako samostatný parameter a zapíšte charakteristickú rovnicu ako 1 + K F(s) = 0, kde F(s) je racionálna funkcia, t. j, F(s) = N(s) / D(s). Obidve N(s) a D(s) sú polynómy.

  • Korene z N(s), to znamená, že nuly F(s) je polynóm stupňa m.
  • Korene D(s), to znamená, že póly F(s) je polynóm stupňa n.
  • Charakteristická funkcia pre jednoduchý integrátor je 1 + K / s = 0.
    • F(s) = 1 / s.
  • Charakteristická funkcia pre systém riadenia motora je 1 + K / s (1 + s) = 0.
    • F(s) = 1 / s (1 + s).


Rozpoznajte a správne systém. V správnom systéme m < n. počet núl je striktne menší ako počet pólov. To znamená, že systém sa neodráža ani netoleruje nekonečné prechody.


Poznajte význam vetiev. Vetvy sú cesty, ktoré vytvárajú korene charakteristickej funkcie, keď hodnota prírastku K sa mení od nuly do nekonečna. Každá hodnota K dáva novú charakteristickú funkciu s rôznymi koreňmi.

  • Ak chcete dosadiť rôzne hodnoty K do charakteristickej rovnice a vyriešte polynómy, aby ste získali korene buď musíte použiť počítač, alebo použiť grafické metódy, ako je koreňový lokus, aby ste načrtli riešenia.

Metóda 2 z 2: Nakreslite koreňový bod


Naučte sa základné pravidlo. Koreňové ložisko je symetrické vzhľadom na reálnu os komplexnej roviny.


Naučte sa prvé a najjednoduchšie pravidlo pre kreslenie koreňového bodu. Počet vetiev koreňového lokusu je rovnaký ako počet koreňov D(s); to je počet pólov F(s).

  • Jednoduchý integrátor má jeden pól. Má jednu vetvu.
  • Systém riadenia motora má dva póly jeden pri s = 0 a druhá pri s = – 1. Má dve vetvy.


Prejsť na učenie druhého najjednoduchšieho pravidla. Keď K sa mení od nuly do nekonečna vetvy Koreňového lokusu by sa mohli asymptoticky blížiť k nekonečnu.

  • Všetky tieto asymptoty sa pretínajú v bode na reálnej priamke.
  • Bod priesečníka sa nazýva σ-bod.
  • Vypočítajte σ-bod z,
  • Sčítajte všetky póly a potom od neho odpočítajte výsledok sčítania všetkých núl. Teraz výsledok vydeľte rozdielom počtu pólov a počtu núl.
    • Sigma bod pre jednoduchý integrátor je σ = 0
    • Sigma bod pre riadenie motora je σ = (0 – 1) / 2 = – 1 / 2
  • Nezamieňajte si asymptoty s vetvami. Asymptoty sa vetvia do nekonečna.
  • Pamätajte, že vetvy priamky sú jej vlastnými asymptotami, ak sa pohybujú do nekonečna.


Naučte sa, čo je nula v nekonečne. Vo všetkých prípadoch, ktoré m < n hodnota s →∞ tvorí F(s) → 0. Toto sa nazýva nula v nekonečne.

Z rovnice 7 si vyložte, že s ňou môžete manipulovať tak, aby ste mali F(s) = – 1 / K. To znamená K = 0 robí F(s) = ∞. Ale viete, že F(s) sa stáva nekonečným pri vlastných póloch. Preto vetvy koreňového Locusu začínajú vždy od pólov, kde zároveň K je nulová.

  • Jednoducho dostaneme záver, že vždy existujú n vetvy vyrastajúce (vychádzajúce) z n póly F(s).

Položte si otázku, kde vetvy pristávajú (končia)? m Koniec vetvy na m nuly. Zostávajúce nm vetvy siaha do nekonečna, čo sa považuje za nuly v nekonečne.

Uvedomte si tretie pravidlo. Tretie pravidlo určuje uhly asymptot, ktoré vedú vetvy koreňového lósu. Je rovný 180° / (nm).

  • Použite symetriu na nakreslenie všetkých asymptôt.


Zistite, ako sa vetva vzďaľuje od pólu. Tento uhol sa nazýva uhol odchod vetvy od pólu. Použite tento vzťah. Preskúmajme, čo je každý faktor,

  • J : je index skúmaného pólu. Radi by ste vypočítali uhol odchodu tohto konkrétneho pólu.
  • φJ : je uhol odklonu od pólu J.
  • pJ : je komplexná hodnota skúmaného pólu.
  • i : putuje medzi počtom núl od prvej nuly ( i = 1) na m-th nula (i = m).
  • pJzi : je vyhodnotenie pJ na zi.
  • k : putuje medzi množstvom pólov od prvého pólu ( k = 1) na n-th pól (k = n).

    • k = J zrejme bolo zakázané zúčastniť sa. Ale ani to nemá žiadny význam; výsledkom je pJpJ = 0; s nulovou účasťou.
  • pJpk : je vyhodnotenie pJ na pk.
  • arg : ukazuje, že počítate najmenší uhol vektora v zátvorkách [ … ] vzhľadom na reálnu os.
  • q : je nepárne celé číslo. Väčšinu času stačí q = 1 stačí.


Pochopte význam predchádzajúcej rovnice. Chcete poznať uhol odklonu od určitého pólu, potom,

  • určte uhol každej nuly vyhodnotenej týmto pólom; sčítajte ich.
  • Určte uhol každého pólu vyhodnotený týmto pólom; sčítajte ich.
  • Odpočítajte ich od seba.
  • K výsledku pripočítajte 180° (niekedy musíte pripočítať – 180° alebo dokonca 540° alebo – 540°).


Naučte sa, ako sa vetva pohybuje smerom k nule. Toto sa nazýva uhol príchod vetvy do nuly. Na výpočet použite tento vzťah. Preštudujme si, čo je každý faktor,

  • J : je index skúmanej nuly. Rádi by ste vypočítali uhol príchodu tejto konkrétnej nuly.
  • ɸJ : je uhol príchodu do nuly J.
  • zJ : je komplexná hodnota skúmanej nuly.
  • k : putuje medzi počtom pólov od prvého pólu ( k = 1) na n-tretí pól (k = n).
  • zJpk : je vyhodnotenie zJ na pk.
  • i : putuje medzi počtom núl od prvej nuly ( i = 1) na m-nuly (i = m).

    • i = J zrejme bola zakázaná účasť. Ale ani to nemá význam; vyplýva zJzJ = 0; s nulovou účasťou.
  • zJzi : je hodnotenie zJ na adrese zi.
  • arg : ukazuje, že počítate najmenší uhol vektora vnútri zátvoriek [ … ] vzhľadom na reálnu os.
  • q : je nepárne celé číslo. Väčšinu času stačí q = 180° stačí.


Pochopte význam predchádzajúcej rovnice. Chceš poznať uhol príchodu na určitú nulu, potom,

  • určiť uhol každého pólu ohodnoteného touto nulou; sčítať ich.
  • Určiť uhol každej nuly ohodnotený touto nulou; sčítať ich.
  • Odpočítajte ich od seba navzájom.
  • K výsledku pripočítajte 180° (niekedy musíte pripočítať – 180° alebo dokonca 540° alebo – 540°).

Poznajte osirelé vetvy. Vetvy, ktoré opúšťajú póly bez toho, aby mali nulu, ku ktorej by mohli dospieť, sa budú približovať k nekonečnu na stranách strážcov asymptoty.

  • Oslávte, že ste teraz pri ňom. Zostáva niekoľko špekulatívnych bodov, aby bol náčrt realistickejší. Tieto sa vykonávajú vyhodnotením testovacieho bodu alebo pomocou základnej kalkulačky (preč sú časy, keď ste museli používať bolestivé posuvné pravidlá). Najlepšie body na hľadanie a zároveň najviac znepokojujúce body sú body „prekríženia“ Locusu na pomyselných osiach. To sú body, ktoré spôsobujú, že systém kmitá a potom do pravej polovice komplexnej roviny sa systém stáva netlmeným a nestabilným.
  • Odkazy

    1. Modern Control Engineering, Katsuhiko Ogata, 1970, Prentice-Hall Inc., NJ., US.