Ako odvodiť efekt svetlometu v špeciálnej teórii relativity: 7 krokov

Efekt svetlometu je jedným z neintuitívnych dôsledkov Einsteinovej špeciálnej teórie relativity. Tento efekt predpokladá, že pohybujúci sa zdroj svetla má svoje svetelné lúče sústredené smerom k smeru pohybu, a preto pozorovateľ vo vzťažnej sústave zdroja pozoruje širšie zorné pole.

Tento článok bude pre jednoduchosť výpočtov pracovať v 2+1 dimenziách.

Časť 1 z 2:Odvodenie

Definujte 4-momentum. 4-momentum

P{\displaystyle P}

je relativistická analógia lineárnej hybnosti v newtonovskej mechanike, vylepšená tak, aby zahŕňala dodatočnú časovú zložku. Táto časová zložka opisuje energiu, takže 4-momentum zjednocuje lineárnu hybnosť a energiu do jedného matematického objektu. Nižšie píšeme 4-momentum ako riadkový vektor, aby sme ušetrili miesto, hoci by sa mal považovať za stĺpcový vektor.

  • P=(Ec,px,py){\displaystyle P=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y}\right)}

Uvažujme zdroj svetla vyžarujúci do všetkých smerov. Potom 4-momentum fotónu z pokojového rámca zdroja závisí od uhla vzhľadom na rýchlosť zdroja

v,{\displaystyle v,}

o ktorom povieme, že je v bode

+x{\displaystyle +x}

smer. Ďalej predpokladáme, že všetky fotóny sú emitované s rovnakou energiou.

  • P=(Ec,Eccosθ,Ecsinθ){\displaystyle P=\left({\frac {E}{c}},{\frac {E}{c}}\cos \theta ,{\frac {E}{c}}\sin \theta \right)}
  • Snažte sa, aby
    c{\displaystyle c}

    konštanty vás vyvádzajú z miery – nepovažujte ich za konštanty, ale skôr za prevodné koeficienty jednotiek.

Lorentzovo zvýšenie súradnicového rámca. Toto je rám pohybujúci sa v

x{\displaystyle -x}

smer vzhľadom na zdroj. Výsledkom tohto značenia je, že na off-diagonále Lorentzovej transformácie máme kladné veličiny. Všimnite si, že označujeme prvočísla pre súradnicový rámec, nie pre pohybujúci sa rámec.

  • (EcEccosθEcsinθ)=(γγβ0γβγ0001)(EcEccosθEcsinθ){\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {E^{\prime }}{c}}\{\frac {E^{\prime }}{c}}\cos \theta ^{\prime }\\{\frac {E^{\prime }}{c}}\sin \theta ^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\gamma \beta &0\\\gamma \beta &\gamma &0\\0&0&1\koniec{pätica}}{\začiatok{pätica}{\frac {E}{c}}\\{\frac {E}{c}}\cos \theta \\{\frac {E}{c}}\sin \theta \koniec{pätica}}
  • Nad,
    β=vc{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}

    a

    γ=11v2c2,{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

    Lorentzov faktor.

Riešenie energie v súradnicovom rámci. Uvedená maticová rovnica je sústavou lineárnych rovníc. Tretí je triviálny a nehovorí nám nič nové.

  • Ec=γEc+γβEccosθE=γE(1+βcosθ){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E^{\prime }}{c}}&=\gamma {\frac {E}{c}}+\gamma \beta {\frac {E}{c}}\cos \theta \\E^{\prime }&=\gamma E\left(1+\beta \cos \theta \right)\end{aligned}}

Riešte uhol v súradnicovom rámci. Konečným výsledkom derivácie je transformácia uhlov, ktorá sa trochu podobá vzorcu pre sčítanie rýchlostí.

  • Eccosθ=γβEc+γEccosθγEc(1+βcosθ)cosθ=γEc(β+cosθ)cosθ=β+cosθ1+βcosθ{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E^{\prime }}{c}}\cos \theta ^{\prime }&=\gamma \beta {\frac {E}{c}}+\gamma {\frac {E}{c}}\cos \theta \\{\frac {\gamma E}{c}}(1+\beta \cos \theta \right)\cos \theta ^{\prime }&={\frac {\gamma E}{c}}(\beta +\cos \theta \pravá)\\\cos \theta ^{\prime }&={\frac {\beta +\cos \theta }{1+\beta \cos \theta }}\end{aligned}}}
  • To je svetlomety efekt.


Vizualizujte efekt svetlometu. Z dôvodu neintuitívnosti bola vyššie vložená vizualizácia z pohľadu na referenčnú súradnicovú sústavu.

  • Zvislé čiary sú výsledkom transformácií uhlov. Za predpokladu 180-stupňového videnia vidíme, že pozorovateľ pohybujúci sa relativistickou rýchlosťou vidí aj mierne za ňu.
  • Farba označuje relativistický Dopplerov efekt. Vidíme, že pohľad pozorovateľky pred ňou sa stal modro posunutým a modro posunutý pohľad sa viac koncentruje v blízkosti stredu jej zorného poľa. Pri dostatočne vysokých rýchlostiach môže vidieť modro posunuté infračervené a dokonca mikrovlnné a rádiové vlny ako viditeľné svetlo.
  • Vpravo je pohľad na tunel z jej vzťažného rámca. Keď sa pohybuje rýchlejšie, spočiatku sa bude zdať, že sa pohybuje dozadu, ale nie je to tak – jej zorné pole sa v skutočnosti rozširuje. Jej pohľad sa tiež postupne stáva modro posunutým pred ňou a červeno posunutým za ňou, čo zodpovedá zužujúcemu sa kužeľu v prvej animácii. Pamätajte si, že v jej vzťažnej sústave sa nepohybuje, ale všetko ostatné sa pohybuje.
  • Za zmienku stojí aj to, ako sa tunel postupne deformuje. Toto je dôsledok relativity simultánnosti. V newtonovskej mechanike sa predpokladá, že pozorovateľ vidí súčasne hornú aj dolnú časť steny, takže zvislé priamky sú rovné. V špeciálnej teórii relativity to neplatí. V dôsledku konečnej rýchlosti svetla sa svetlo v blízkosti stredu dostane do nej skôr ako svetlo v hornej a dolnej časti, takže tunel sa javí ako konvexný.

Časť 2 z 2:Príklad

  • Uvažujme o probléme. Zdroj svetla pohybujúci sa rýchlosťou

    β=35{\displaystyle \beta ={\frac {3}{5}}}

    vyžaruje fotóny pod uhlami

    θ=±π2{\displaystyle \theta =\pm {\frac {\pi }{2}}

    – inými slovami, rovno nad a pod. Aké sú uhly vzhľadom na smer rýchlosti v súradnicovom rámci?

    • Riešenie: na získanie uhlov, ktoré nás zaujímajú, použite vzorec pre efekt svetlometov. Pozorujte, že uhly sa transformujú rovnakým spôsobom v oboch smeroch.

      • cosθ=β+cosθ1+βcosθcosθ=35+cosπ21+35cosπ2cosθ=35θ±53.13{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta ^{\prime }&={\frac {\beta +\cos \theta }{1+\beta \cos \theta }}\\cos \theta ^{\prime }&={\frac {{\frac {3}{5}}+\cos {\frac {\pi }{2}}{1+{\frac {3}{5}}}\cos {\frac {\pi }{2}}}}\\\cos \theta ^{\prime }&={\frac {3}{5}}\\theta ^{\prime }&\aprox \pm 53.13^{\circ }\end{aligned}}