Ako odvodiť Faradayov tenzor: 14 krokov

Zatiaľ čo Maxwellove rovnice ukazujú súvislosti medzi elektrickým poľom

E{\displaystyle \mathbf {E} }

a magnetické pole

B,{\displaystyle \mathbf {B} ,}

v špeciálnej teórii relativity sú to vlastne dva aspekty tej istej sily – elektromagnetizmu. Je preto nevyhnutné odvodiť matematický objekt, ktorý by obe tieto polia užitočne popisoval.

Vychádzame z Lorentzovej sily a základných princípov špeciálnej teórie relativity, aby sme dospeli k matematickej formulácii elektromagnetického poľa a s ním spojenej Lorentzovej transformácie.

Časť 1 z 2:Odvodenie Faradayovho tenzora

Začnite Lorentzovou silou. Lorentzova sila je výsledkom pozorovaní z 19. storočia, ktoré popisujú spôsob, akým elektrické a magnetické polia pôsobia silou na nabité častice. Aj keď sa to na prvý pohľad môže zdať neškodné, tento vzťah je v skutočnosti relativistický, ak ho formulujeme takto. Nižšie zapíšeme silu v zmysle zmeny hybnosti.

  • dpdt=q(E+v×B){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
  • Ústredným princípom špeciálnej teórie relativity je, že zákony zachovania v newtonovskej mechanike platia aj pre modernizované 4-vektory. Z toho vyplýva, že vyššie uvedený vzťah platí pre 4-momentum
    pμ{\displaystyle p^{\mu }}

    a 4-rýchlosť

    vμ.{\displaystyle v^{\mu }.}

    Medzitým náboj

    q{\displaystyle q}

    je invariant.

Pripomeňme si vzťah medzi výkonom, silou a rýchlosťou. Keďže sila je definovaná ako práca za jednotku času a magnetické polia nevykonávajú žiadnu prácu, Lorentzovu silu môžeme zapísať ako

F=qE.{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} .}

Užitočnosť tohto vzťahu sa ukáže neskôr.

  • P=dEdt=Fv=qEv{\displaystyle {\begin{aligned}P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}&=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \\&=q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}
  • Nenechajte sa zmiasť
    E{\displaystyle E}

    v tomto kontexte znamená energiu, nie elektrické pole.

Pripomeňme si vzťah medzi súradnicovým časom

t{\displaystyle t}

a správny čas

τ{\displaystyle \tau }

. Lorentzova sila je síce pravdivá, ale v súčasnom stave nie je veľmi užitočná. Dôvodom, prečo je to tak, je, že súradnicový čas nie je v Minkowského priestore invariantný. Lorentzovu silu musíme preformulovať v termínoch vlastného času, pre vlastný čas je invariant.

  • dt=γdτ,γ=11v2c2{\displaystyle \mathrm {d} t=\gamma \mathrm {d} \tau ,\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
  • Keď sa derivácie uskutočnia vzhľadom na tieto premenné, vzťah je
    ddt=1γddτ.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}.}

    Preto, aby sme mohli previesť na vlastný čas, musíme vynásobiť

    γ.{\displaystyle \gamma .}

Prepíšte silu a Lorentzovu silu vzhľadom na vlastný čas. Výsledkom je jednoducho extra

γ{\displaystyle \gamma }

faktor na pravej strane.

  • dEdτ=γq(Ev){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma q(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )}
  • dpdτ=γq(E+v×B){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=\gamma q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}

Lorentzovu silu zapíšeme v zjavne kovariantnom tvare. Tento tvar je na pohľad podobný maticovej rovnici, v ktorej matica pôsobiaca na vektor dáva iný vektor. Môžeme to prepísať takto, pretože vyššie uvedené dve rovnice opisujú všetko, čo potrebujeme vedieť o matici. Rozpoznajte 4-momentum a 4-rýchlosť v zložkovom tvare nižšie.

  • ddτ(E/cpxpypz)=γq(F00F01F02F03F10F11F12F13F20F21F22F23F30F31F32F33)(1vxvyvz){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}{\begin{pmatrix}E/c\p_{x}\\p_{y}\p_{z}\end{pmatrix}}=\gamma q{\begin{pmatrix}F^{0}{}_{0}&F^{0}{}_{1}&F^{0}{}_{2}&F^{0}{}_{3}\\F^{1}{}_{0}&F^{1}{}_{1}&F^{1}{}_{2}&F^{1}{}_{3}\\F^{2}{}_{0}&F^{2}{}_{1}&F^{2}{}_{2}&F^{2}{}_{3}\\F^{3}{}_{0}&F^{3}{}_{1}&F^{3}{}_{2}&F^{3}{}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}}
  • Uvedená matica je Faradayov tenzor
    Fμν,{\displaystyle F^{\mu }{}_{\nu },}

    zapísané v tvare zložiek. (Teraz sa nestarajte o umiestnenie indexov.) Odtiaľto je jasné, že musíme nájsť tieto zložky tak, aby spĺňali

    dEdτ=γq(Ev){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma q(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )}

    a

    dpdτ=γq(E+v×B).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=\gamma q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}

Riešte maticovú rovnicu pre

Fμν{\displaystyle F^{\mu }{}_{\nu }}

priamym porovnaním. Je ľahké to urobiť po jednej rovnici.

  • ddτ(E/c)=γq(F00+F01vx+F02vy+F03vz)=γqc(Ev){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(E/c)=\gamma q(F^{0}{}_{0}+F^{0}{}_{1}v_{x}+F^{0}{}_{2}v_{y}+F^{0}{}_{}{3}v_{z})={\frac {\gamma q}{c}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )}
    • Tu je odpoveď triviálna.
      F00=0,F01=Ex/c,F02=Ey/c,F03=Ez/c{\displaystyle F^{0}{}_{0}=0,F^{0}{}_{1}=E_{x}/c,F^{0}{}_{2}=E_{y}/c,F^{0}{}_{3}=E_{z}/c}
  • dpxdτ=γq(F10+F11vx+F12vy+F13vz){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p_{x}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma q(F^{1}{}_{0}+F^{1}{}_{1}v_{x}+F^{1}{}_{2}v_{y}+F^{1}{}_{3}v_{z})}
    • Tu je odpoveď o niečo menej zrejmá, pretože musíme zahrnúť
      B{\displaystyle \mathbf {B} }

      aj pole. Keďže toto je

      x{\displaystyle x}

      zložky sily, musíme hľadať polia, ktoré vytvárajú sily v tomto smere. Vieme, že

      E{\displaystyle \mathbf {E} }

      polia vytvárajú sily rovnobežné s nimi, zatiaľ čo pohybujúca sa nabitá častica v poli

      B{\displaystyle \mathbf {B} }

      pole generuje silu v smere kolmom na obe

      v{\displaystyle \mathbf {v} }

      a

      B.{\displaystyle \mathbf {B} .}
    • Samozrejme, častica pohybujúca sa v
      x{\displaystyle x}

      nemôže generovať silu v tom istom smere, vzhľadom na to, ako

      B{\displaystyle \mathbf {B} }

      polia s nimi interagujú, takže tento člen je 0.

    • Preto,
      F10=Ex/c,F11=0,F12=Bz,F13=By.{\displaystyle F^{1}{}_{0}=E_{x}/c,F^{1}{}_{1}=0,F^{1}{}_{2}=B_{z},F^{1}{}_{3}=-B_{y}.}
  • Posledné dva riadky tenzora môžeme odvodiť rovnakým spôsobom. Dôležitou časťou je antisymetria, ktorá sa prejavuje v pravom dolnom delení 3×3 tenzora a ktorá vyplýva z krížového súčinu v Lorentzovej sile. Pritom sa diagonálne prvky tenzora posielajú na 0. Posledné dva riadky sú nasledovné.
    • F20=Ey/c,F21=Bz,F22=0,F23=Bx{\displaystyle F^{2}{}_{0}=E_{y}/c,F^{2}{}_{1}=-B_{z},F^{2}{}_{2}=0,F^{2}{}_{3}=B_{x}}
    • F30=Ez/c,F31=By,F32=Bx,F33=0{\displaystyle F^{3}{}_{0}=E_{z}/c,F^{3}{}_{1}=B_{y},F^{3}{}_{2}=-B_{x},F^{3}{}_{3}=0}

Dostaneme sa k Faradayovmu tenzorom. Tento tenzor, nazývaný aj elektromagnetický tenzor, opisuje elektromagnetické pole v časopriestore. Dve polia, o ktorých sa predtým uvažovalo ako o samostatných, ktoré sa ukázali ako vzájomne prepojené prostredníctvom Maxwellových rovníc, sú napokon špeciálnou teóriou relativity spojené do jedného matematického objektu. Nižšie uvedený tenzor je v zmiešanom tvare, pretože sme ho odvodili z Lorentzovej sily.

  • Fμν=(0Ex/cEy/cEz/cEx/c0BzByEy/cBz0BxEz/cByBx0){\displaystyle F^{\mu }{}_{\nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\{end{pmatrix}}

Časť 2 z 2:Lorentzove transformácie elektromagnetických polí

Začnite s kovariantnými formami Lorentzovej sily, 4-momentom a 4rýchlosťou. Indexový zápis umožňuje tieto veličiny opísať kompaktnejšie a nezávisle od súradníc.

  • dpαdτ=qFαβvβ{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha }{}_{\beta }v^{\beta }}
  • pα=Λαβpβ{\displaystyle p^{\alfa \prime }=\Lambda ^{\alfa \prime }{}_{\beta }p^{\beta }}
  • vβ=Λβδvδ{\displaystyle v^{\beta \prime }=\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\delta }v^{\delta }}
  • Nad,
    Λ{\displaystyle \Lambda }

    je Lorentzov transformačný tenzor. Pre zvýšenie v

    x{\displaystyle x}

    smeru, môže byť zapísaný nasledovne.

    Λ1,{\displaystyle \Lambda ^{-1},}

    má samozrejme kladné hodnoty

    γβ{\displaystyle \gamma \beta }

    na off-diagonále.

    • Λ=(γγβ00γβγ0000100001){\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\koniec{pmatica}}

Zapíšte Lorentzovu silu meranú v zosilnenej sústave. Fyzikálne zákony sú rovnaké v každej inerciálnej vzťažnej sústave, takže rovnice majú podobný tvar. Sila zápisu uvedených vzťahov v kovariantnom tvare vyplýva zo skutočnosti, že Lorentzova transformácia je lineárna transformácia.

  • dpαdτ=qFαβvβ{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha \prime }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \prime }{}_{\beta \prime }v^{\beta \prime }}

Zapíšte zosilnenú Lorentzovu silu v podobe veličín meraných v súradnicovom rámci. Potom každú stranu vynásobíme inverzným Lorentzovým tenzorom

Λ1.{\displaystyle \Lambda ^{-1}.}
  • (Λ1)μαddτΛαβpβ=q(Λ1)μαFαβΛβδvδ{\displaystyle (\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alfa \prime }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\Lambda ^{\alfa \prime }{}_{\beta }p^{\beta }=q(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alfa \prime }F^{\alfa \prime }{}_{\beta \prime }\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\delta }v^{\delta }}

Faktor v inverznom Lorentzovom tenzore. Keďže Lorentzov tenzor možno považovať za konštantu, možno ho vložiť do operátora derivácie. Pozorujte, že

(Λ1)αβΛβσ=δασ,{\displaystyle (\Lambda ^{-1})^{\alfa }{}_{\beta \prime }\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\sigma }=\delta ^{\alfa }{}_{\sigma },}

kde

δ{\displaystyle \delta }

je Kroneckerova delta (nemýliť si s indexom nižšie, ktorý predstavuje len čísla).

  • ddτ(Λ1)μαΛαβpβ=q(Λ1)μαFαβΛβδvδddτδμβpβ=q(Λ1)μαFαβΛβδvδ{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alpha \prime }\Lambda ^{\alpha \prime }{}_{\beta }p^{\beta }}&=q(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alfa \prime }F^{\alfa \prime }{}_{\beta \prime }\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\delta }v^{\delta }\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\delta ^{\mu }{}_{\beta }p^{\beta }&=q(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alfa \prime }F^{\alfa \prime }{}_{\beta \prime }\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\delta }v^{\delta }\end{aligned}}}
  • Keď Kroneckerova delta pôsobí na vektor, ten istý vektor je výstupom. Jediný rozdiel je v tom, že tu
    β{\displaystyle \beta }

    index je zmenšený.

  • dpμdτ=q(Λ1)μαFαβΛβδvδ{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=q(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alfa \prime }F^{\alfa \prime }{}_{\beta \prime }\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\delta }v^{\delta }}

Získame zosilnený Faradayov tenzor. Všimnite si, že na pravej strane,

(Λ1)μαFαβΛβδ{\displaystyle (\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alfa \prime }F^{\alfa \prime }{}_{\beta \prime }\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\delta }}

opisuje Faradayov tenzor v súradnicovom rámci

Fμλ,{\displaystyle F^{\mu }{}_{\lambda },}

tak, že

dpμdτ=qFμλvλ{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\mu }{}_{\lambda }v^{\lambda }}

(kde sme pôvodne začali).

  • Preto,
    (Λ1)μαFαβΛβδ=Fμδ.{\displaystyle (\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\alfa \prime }F^{\alfa \prime }{}_{\beta \prime }\Lambda ^{\beta \prime }{}_{\delta }=F^{\mu }{}_{\delta }.}

    To nám však hovorí, ako zvýšiť z pohyblivého rámca do súradnicového rámca. Ak chcete vykonať inverznú operáciu, jednoducho prehoďte Lorentzove tenzory vynásobením zľava

    Λ{\displaystyle \Lambda }

    a vynásobením sprava

    Λ1.{\displaystyle \Lambda ^{-1}.}

    Nižšie uvedená rovnica nám dáva požadovaný vzťah.

  • Fαβ=ΛααFαβ(Λ1)ββ{\displaystyle F^{\alfa \prime }{}_{\beta \prime }=\Lambda ^{\alfa \prime }{}_{\alfa }F^{\alfa }{}_{\beta }(\Lambda ^{-1})^{\beta }{}_{\beta \prime }}
  • Tí, ktorí sú oboznámení s lineárnou algebrou, spoznajú, že tento výraz má podobný tvar ako zmena základu.

Vyhodnoťte Faradayov tenzor v posilnenom rámci. Nižšie uvádzame zvýšenie v

+x{\displaystyle +x}

smer. Nezabudnite, že v procese vyhodnocovania musia byť všetky diagonálne prvky tenzora rovné 0.

  • (0Excγ(EycβBz)γ(Ezc+βBy)Exc0γ(βEyc+Bz)γ(βEzcBy)γ(EycβBz)γ(βEycBz)0Bxγ(Ezc+βBy)γ(βEzc+By)Bx0){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&\gamma ({\frac {E_{y}}{c}}-\beta B_{z})&\gamma ({\frac {E_{z}}{c}}+\beta B_{y})\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&\gamma (-\beta {\frac {E_{y}}{c}}+B_{z})&\gamma (-\beta {\frac {E_{z}}{c}}-B_{y})\\\gamma ({\frac {E_{y}}{c}}-\beta B_{z})&\gamma (\beta {\frac {E_{y}}{c}}-B_{z})&0&B_{x}\\gamma ({\frac {E_{z}}{c}}+\beta B_{y})&\gamma (\beta {\frac {E_{z}}{c}}+B_{y})&-B_{x}&0\end{pmatrix}}
  • Získajte Lorentzove transformácie pre

    E{\displaystyle \mathbf {E} }

    a

    B{\displaystyle \mathbf {B} }

    polia. Tu je potrebné poznamenať dve veci. Najprv z uvedeného tenzora vidíme, že zložky oboch polí rovnobežných so smerom pohybu zostávajú nezmenené. Po druhé, a čo je dôležitejšie, transformácie pre zložky kolmé na smer pohybu ukazujú, že pole, ktoré je nulové v jednom referenčnom rámci, nemusí byť nulové v inom referenčnom rámci. Vo všeobecnosti to tak bude (najmä pri elektromagnetických vlnách, ktoré nemôžu existovať bez vzájomnej indukcie), takže špeciálna teória relativity nám hovorí, že tieto dve polia sú v skutočnosti len dva aspekty toho istého elektromagnetického poľa.

    • Elektrické polia (všimnite si, že sme vynásobili

      c{\displaystyle c}

      na obe strany)

      • Ex=Ex{\displaystyle E_{x}^{\prime }=E_{x}}
      • Ey=γ(EyβcBz){\displaystyle E_{y}^{\prime }=\gamma (E_{y}-\beta cB_{z})}
      • Ez=γ(Ez+βcBy){\displaystyle E_{z}^{\prime }=\gamma (E_{z}+\beta cB_{y})}
    • Magnetické polia

      • cBx=cBx{\displaystyle cB_{x}^{\prime }=cB_{x}}
      • cBy=γ(cBy+βEz){\displaystyle cB_{y}^{\prime }=\gamma (cB_{y}+\beta E_{z})}
      • cBz=γ(cBzβEy){\displaystyle cB_{z}^{\prime }=\gamma (cB_{z}-\beta E_{y})}