Ako odvodiť kvadratický vzorec: 8 krokov

Jednou z najdôležitejších zručností, ktorú sa študent algebry naučí, je kvadratický vzorec, resp

x=b±b24ac2a.{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Pomocou kvadratického vzorca vyriešime akúkoľvek kvadratickú rovnicu v tvare

ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

sa stáva jednoduchou záležitosťou dosadenia koeficientov

a,b,c{\displaystyle a,b,c}

do vzorca. Hoci mnohým stačí poznať vzorec, porozumenie ako je odvodený (inými slovami, odkiaľ pochádza), je úplne iná vec. Vzorec je odvodený prostredníctvom „doplnenia štvorca“, ktoré má aj iné aplikácie v matematike, preto sa odporúča, aby ste ho poznali.

Kroky

Začnite so štandardným tvarom všeobecnej kvadratickej rovnice. Zatiaľ čo každá rovnica s

x2{\displaystyle x^{2}}

člen v ňom sa kvalifikuje ako kvadratický, štandardný tvar nastaví všetko na 0. Pamätajte si, že

a,b,c{\displaystyle a,b,c}

sú koeficienty, ktoré môžu byť ľubovoľným reálnym číslom, preto ich nenahradzujte žiadnymi číslami – chceme pracovať so všeobecným tvarom.[1]

  • ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  • Jedinou podmienkou je, že
    a0,{\displaystyle a\neq 0,}

    pretože inak sa rovnica redukuje na lineárnu rovnicu. Skúste nájsť všeobecné riešenia pre špeciálne prípady, keď

    b=0{\displaystyle b=0}

    a kde

    c=0.{\displaystyle c=0.}

odčítame

c{\displaystyle c}

z oboch strán. Naším cieľom je izolovať

x.{\displaystyle x.}

Na začiatok presunieme jeden z koeficientov na druhú stranu tak, aby ľavá strana pozostávala len z členov s

x{\displaystyle x}

v ňom.[2]

  • ax2+bx=c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}

Obe strany vydeľte

a{\displaystyle a}

.[3]
Všimnite si, že sme mohli vymeniť tento a predchádzajúci krok a stále sme sa dostali na to isté miesto. Nezabudnite, že delenie polynómu niečím znamená, že delíte každý z jednotlivých členov. Týmto spôsobom nám uľahčíme dokončenie štvorca.

  • x2+bax=ca{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}}

Dokončite štvorec. Pripomeňme si, že cieľom je prepísať výraz

x2+2x+2{\displaystyle x^{2}+2\Box x+\Box ^{2}}

ako

(x+)2,{\displaystyle (x+\Box )^{2},}

kde

{\displaystyle \Box }

je akýkoľvek koeficient. Možno vám nie je hneď jasné, že to môžeme urobiť. Ak to chcete vidieť jasnejšie, prepíšte

bax{\displaystyle {\frac {b}{a}}x}

ako

2b2ax{\displaystyle 2{\frac {b}{2a}}x}

vynásobením výrazu

22.{\displaystyle {\frac {2}{2}}.}

Môžeme to urobiť, pretože násobenie číslom 1 nič nemení. Teraz jasne vidíme, že v našom prípade,

=b2a,{\displaystyle \Box ={\frac {b}{2a}},}

takže nám chýba len

2{\displaystyle \Box ^{2}}

člen. Preto, aby sme dokončili štvorec, pripočítame ho k obom stranám – a to,

(b2a)2=b24a2.{\displaystyle \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.}

Potom, samozrejme, vynásobíme.[4]

  • x2+2b2ax+b24a2=b24a2ca(x+b2a)2=b24a2ca{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\levo(x+{\frac {b}{2a}}}pravo)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\end{aligned}}}
  • Tu je jasné, prečo
    a0,{\displaystyle a\neq 0,}

    pretože

    a{\displaystyle a}

    je v menovateli a nemôžete ho deliť 0.

  • Ak potrebujete, môžete ľavú stranu rozšíriť, aby ste potvrdili, že dokončenie štvorca funguje.

Napíšte pravú stranu pod spoločným menovateľom. Tu chceme, aby obidva menovatele boli

4a2,{\displaystyle 4a^{2},}

takže vynásobte

ca{\displaystyle {\frac {-c}{a}}}

člen pomocou

4a4a.{\displaystyle {\frac {4a}{4a}}.}

[5]

  • (x+b2a)2=b24a24ac4a2=b24ac4a2{\displaystyle {\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}\\&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\end{aligned}}}

Urobte druhú odmocninu z každej strany. Je však dôležité, aby ste si uvedomili, že pri tomto postupe vlastne robíte dva kroky. Keď vezmeme druhú odmocninu z

d2,{\displaystyle d^{2},}

nedostanete

d.{\displaystyle d.}

V skutočnosti dostanete jeho absolútnu hodnotu,

|d|.{\displaystyle |d|.}

Táto absolútna hodnota je kritická pri získavaní oboch koreňov – jednoduchým položením štvorcových koreňov na obe strany získate len jeden z koreňov.

  • |x+b2a|=b24ac4a2{\displaystyle \left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}
  • Teraz sa môžeme zbaviť stĺpcov absolútnej hodnoty tak, že do nich vložíme a
    ±{\displaystyle \pm }

    na pravej strane. Môžeme to urobiť, pretože absolútna hodnota nerozlišuje medzi kladnou a zápornou hodnotou, takže platia obe. Táto zaujímavosť je dôvodom, prečo nám kvadratická rovnica umožňuje získať dva korene.

    • x+b2a=±b24ac4a2{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}
  • Zjednodušme tento výraz ešte o niečo viac. Keďže odmocnina z kvocientu je kvocientom odmocnín, môžeme pravú stranu zapísať ako
    ±b24ac4a2.{\displaystyle {\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}.}

    Potom môžeme vziať druhú odmocninu menovateľa.

    • x+b2a=±b24ac2a{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Izolácia

x{\displaystyle x}

odčítaním

b2a{\displaystyle {\frac {b}{2a}}}

z oboch strán.

  • x=b2a±b24ac2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}
  • Napíšte pravú stranu pod spoločným menovateľom. Týmto sa získa kvadratický vzorec, vzorec, ktorý rieši akúkoľvek kvadratickú rovnicu v štandardnom tvare. Funguje to pre ľubovoľný

    a,b,c{\displaystyle a,b,c}

    a výstupy

    x{\displaystyle x}

    ktoré môžu byť reálne alebo komplexné. Ak chcete potvrdiť, že tento postup funguje, jednoducho postupujte podľa krokov tohto článku v opačnom poradí, aby ste získali štandardný tvar.

    • x=b±b24ac2a{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  • Odkazy