Ako odvodiť rýchlosť svetla z Maxwellových rovníc: 7 krokov

Maxwellove rovnice spolu s opisom elektrického poľa

${\displaystyle \mathbf {E} }$

a magnetické pole

${\displaystyle \mathbf {B} }$

predpovedať rýchlosť svetla, pretože svetlo je elektromagnetické vlnenie. Konečným cieľom je teda získať vlnovú rovnicu.

Kroky

Začnite Maxwellovými rovnicami vo vákuu. Vo vákuu je hustota náboja

${\displaystyle \rho =0}$

a prúdová hustota

${\displaystyle \mathbf {J} =0.}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}$
• kde
  ${\displaystyle \mu _{0}}$

  je konštanta magnetickej permeability a

  ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

  je konštanta elektrickej permitivity. Prelínanie elektrického a magnetického poľa sa tu naplno prejavuje.

Vezmime si zakrivenie oboch strán Faradayovho zákona.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla \times -{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$
• Všimnite si, že parciálne derivácie navzájom komutujú, ak sú dané dobre zvládnuté funkcie.

Nahraďte Ampérovým-Maxwellovým zákonom.

• Použitie identity BAC-CAB
  ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} }$

  na ľavej strane a uvedomenie si, že

  ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0,}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.\end{aligned}}$
• Uvedená rovnica je vlnová rovnica v troch rozmeroch.

Prepíšte vlnovú rovnicu v jednom rozmere.

• ${\displaystyle {\frac {\časť ^{2}E}{\časť x^{2}}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\časť ^{2}E}{\časť t^{2}}}.}$
• Všeobecné riešenie tejto rovnice je
  ${\displaystyle f(x-vt)+g(x+vt),}$

  kde

  ${\displaystyle v}$

  je rýchlosť a

  ${\displaystyle \lambda }$

  je vlnová dĺžka. Tu,

  ${\displaystyle f}$

  a

  ${\displaystyle g}$

  sú dve ľubovoľné funkcie, ktoré opisujú vlnu šíriacu sa v kladnom a zápornom smere. Keďže je to dosť všeobecné, môžeme zvoliť najbežnejšie riešenie len sínusovej funkcie pohybujúcej sa v smere šírenia. Riešenie teda môžeme napísať ako

  ${\displaystyle E=E_{0}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right),}$

  kde

  ${\displaystyle E_{0}}$

  je amplitúda elektrického poľa (táto veličina sa neskôr zruší).

Dvakrát diferencujte riešenie vzhľadom na

$$x{\displaystyle x}

a

$$t{\displaystyle t}

.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}}&=-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\pravá)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\pravá)\\{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}&=-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)\end{aligned}}}$

Nahraďte tieto rovnice späť do vlnovej rovnice. Všimnite si, že

${\displaystyle \sin }$

výrazy sa rušia.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}&=\mu _{0}\epsilon _{0}\left[-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\right]\\1&=\mu _{0}\epsilon _{0}v^{2}\end{aligned}}}$

Dôjsť k odpovedi.

• ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}}\aprox 3\krát 10^{8}{\text{ m s}}^{-1}.}$
• Výraz vpravo sa zhoduje s rýchlosťou svetla. V skutočnosti sa svetlo nešíri len rýchlosťou elektromagnetického vlnenia, ale je elektromagnetickej vlny.