Ako odvodiť rýchlosť svetla z Maxwellových rovníc: 7 krokov

Maxwellove rovnice spolu s opisom elektrického poľa

E{\displaystyle \mathbf {E} }

a magnetické pole

B{\displaystyle \mathbf {B} }

predpovedať rýchlosť svetla, pretože svetlo je elektromagnetické vlnenie. Konečným cieľom je teda získať vlnovú rovnicu.

Kroky

Začnite Maxwellovými rovnicami vo vákuu. Vo vákuu je hustota náboja

ρ=0{\displaystyle \rho =0}

a prúdová hustota

J=0.{\displaystyle \mathbf {J} =0.}
  • E=0B=0×E=Bt×B=μ0ϵ0Et{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}
  • kde
    μ0{\displaystyle \mu _{0}}

    je konštanta magnetickej permeability a

    ϵ0{\displaystyle \epsilon _{0}}

    je konštanta elektrickej permitivity. Prelínanie elektrického a magnetického poľa sa tu naplno prejavuje.

Vezmime si zakrivenie oboch strán Faradayovho zákona.

  • ×(×E)=×Bt=t(×B){\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla \times -{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}
  • Všimnite si, že parciálne derivácie navzájom komutujú, ak sú dané dobre zvládnuté funkcie.

Nahraďte Ampérovým-Maxwellovým zákonom.

  • Použitie identity BAC-CAB
    ×(×E)=(E)2E{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} }

    na ľavej strane a uvedomenie si, že

    E=0,{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0,}
  • (E)2E=μ0ϵ02Et22E=μ0ϵ02Et2.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.\end{aligned}}
  • Uvedená rovnica je vlnová rovnica v troch rozmeroch.

Prepíšte vlnovú rovnicu v jednom rozmere.

  • 2Ex2=μ0ϵ02Et2.{\displaystyle {\frac {\časť ^{2}E}{\časť x^{2}}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\časť ^{2}E}{\časť t^{2}}}.}
  • Všeobecné riešenie tejto rovnice je
    f(xvt)+g(x+vt),{\displaystyle f(x-vt)+g(x+vt),}

    kde

    v{\displaystyle v}

    je rýchlosť a

    λ{\displaystyle \lambda }

    je vlnová dĺžka. Tu,

    f{\displaystyle f}

    a

    g{\displaystyle g}

    sú dve ľubovoľné funkcie, ktoré opisujú vlnu šíriacu sa v kladnom a zápornom smere. Keďže je to dosť všeobecné, môžeme zvoliť najbežnejšie riešenie len sínusovej funkcie pohybujúcej sa v smere šírenia. Riešenie teda môžeme napísať ako

    E=E0sin(2πλ(xvt)),{\displaystyle E=E_{0}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right),}

    kde

    E0{\displaystyle E_{0}}

    je amplitúda elektrického poľa (táto veličina sa neskôr zruší).

Dvakrát diferencujte riešenie vzhľadom na

x{\displaystyle x}

a

t{\displaystyle t}

.

  • 2Ex2=E0(2πλ)2sin(2πλ(xvt))2Et2=E0(2πvλ)2sin(2πλ(xvt)){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}}&=-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\pravá)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\pravá)\\{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}&=-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)\end{aligned}}}

Nahraďte tieto rovnice späť do vlnovej rovnice. Všimnite si, že

sin{\displaystyle \sin }

výrazy sa rušia.

  • E0(2πλ)2=μ0ϵ0[E0(2πvλ)2]1=μ0ϵ0v2{\displaystyle {\begin{aligned}-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}&=\mu _{0}\epsilon _{0}\left[-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\right]\\1&=\mu _{0}\epsilon _{0}v^{2}\end{aligned}}}
  • Dôjsť k odpovedi.

    • v=1μ0ϵ03×108 m s1.{\displaystyle v={\sqrt {\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}}\aprox 3\krát 10^{8}{\text{ m s}}^{-1}.}
    • Výraz vpravo sa zhoduje s rýchlosťou svetla. V skutočnosti sa svetlo nešíri len rýchlosťou elektromagnetického vlnenia, ale je elektromagnetickej vlny.