Ako odvodiť vzorec pre kinetickú energiu: 10 krokov

Ak neexistujú žiadne protichodné sily, pohybujúce sa teleso má tendenciu udržiavať sa v pohybe rovnomernou rýchlosťou, ako to poznáme z prvého Newtonovho pohybového zákona. Ak však na pohybujúce sa teleso pôsobí výsledná sila v smere jeho pohybu, potom sa zrýchľuje podľa druhého Newtonovho zákona

F=ma.{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} .}

Práca vykonaná silou sa premení na zvýšenú kinetickú energiu telesa. Z týchto základných princípov odvodíme výraz pre kinetickú energiu.

Metóda 1 z 2:Odvodenie pomocou výpočtu

Začnime vetou o práci a energii. Práca, ktorá sa vykoná na objekte, súvisí so zmenou jeho kinetickej energie.

  • ΔK=W{\displaystyle \Delta K=W}

Prácu prepíšeme ako integrál. Konečným cieľom je prepísať integrál v podobe rýchlostného diferenciálu.

  • ΔK=Fdr{\displaystyle \Delta K=\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }

Prepíšte silu vo forme rýchlosti. Všimnite si, že hmotnosť je skalár, a preto sa dá vyčísliť.

  • ΔK=madr=mdvdtdr{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&=\int m\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}

Prepíšte integrál v zmysle rýchlostného diferenciálu. Tu je to triviálne, pretože bodové súčiny sú komutovateľné. Pripomeňme si aj definíciu rýchlosti.

  • ΔK=mdrdtdv=mvdv{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \\&=m\int \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \end{aligned}}

Integrovať cez zmenu rýchlosti. Typicky je počiatočná rýchlosť

v0{\displaystyle v_{0}}

je nastavený na 0.

  • ΔK=12mv212mv02=12mv2{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}}

Metóda 2 z 2:Odvodenie pomocou algebry

Začnime vetou o pracovnej energii. Práca, ktorá sa vykoná na objekte, súvisí so zmenou jeho kinetickej energie.

  • ΔK=W{\displaystyle \Delta K=W}

Prepíšte prácu v zmysle zrýchlenia. Všimnite si, že použitie samotnej algebry v tomto odvodení nás obmedzuje na konštantné zrýchlenie.

  • ΔK=FΔx=maΔx{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&=F\Delta x\&=ma\Delta x\koniec{zarovnané}}
  • Tu,
    Δx{\displaystyle \Delta x}

    je posunutie.

Vzťah medzi rýchlosťou, zrýchlením a posunutím. Existuje niekoľko kinematických rovníc s konštantným zrýchlením, ktoré spájajú čas, posun, rýchlosť a zrýchlenie. „Bezčasová“ rovnica, ktorá neobsahuje čas, je uvedená nižšie.

  • v2=v02+2aΔx{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x}
  • Keď objekt vychádza z pokoja,
    v0=0.{\displaystyle v_{0}=0.}

Riešte zrýchlenie. Pamätajte, že počiatočná rýchlosť je 0.

  • a=v22Δx{\displaystyle a={\frac {v^{2}}{2\Delta x}}
  • Nahraďte zrýchlenie do pôvodnej rovnice a zjednodušte.

    • ΔK=m(v22Δx)Δx=12mv2{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&=m\left({\frac {v^{2}}{2\Delta x}}\right)\Delta x\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}}