Ako odvodiť zachovanie náboja v elektrodynamike: 9 krokov

Rovnica kontinuity je vyjadrením zachovania veličiny, čo je dôležitý princíp vo fyzike. V elektrodynamike je dôležitou veličinou, ktorá sa zachováva, náboj. Okrem toho sa náboj zachováva nielen globálne (celkový náboj vo vesmíre zostáva rovnaký), ale aj lokálne. Odvodíme rovnicu kontinuity, ktorá vyjadruje toto lokálne zachovanie náboja zo základných princípov aj ako dôsledok Maxwellových rovníc.

Časť 1 z 2:Odvodenie zo základných princípov

Začnite s nábojom

Q(t){\displaystyle Q(t)}

v objeme

V{\displaystyle V}

. Chceme ukázať, že náboj sa v tomto systéme lokálne zachováva. To znamená, že každý náboj, ktorý sa pôvodne nachádzal vo vnútri objemu a ktorý sa nachádza mimo objemu, musel prejsť cez hranicu. Pod,

ρ(r,t){\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}

je hustota náboja, zdroj elektromagnetického poľa.

  • Q=VρdV{\displaystyle Q=\int _{V}\rho \mathrm {d} V}

Zohľadnenie prúdu

I{\displaystyle I}

. Pripomeňme si, že prúd je časová rýchlosť zmeny náboja. Nižšie,

J{\displaystyle \mathbf {J} }

je prúdová hustota. Integrácia

J{\displaystyle \mathbf {J} }

na celej ploche dáva prúd. K nasledujúcemu výrazu je však pripojené ďalšie záporné znamienko, pretože keď náboj odteká, ako je opísané v kladnej derivácii, zodpovedá to poklesu náboja.

  • I=dQdt=SJdS{\displaystyle I={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-\oint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Prepíšte prúd v zmysle hustoty náboja.

  • dQdt=ddtVρdV=VρtdV{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}int _{V}\rho \mathrm {d} V\\&=\int _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\mathrm {d} V\end{aligned}}}

Odvolajte sa na vetu o divergencii pre plošný integrál. Pripomeňme si, že veta o divergencii hovorí, že tok prenikajúci uzavretým povrchom

S{\displaystyle S}

ohraničenie objemu

V{\displaystyle V}

sa rovná divergencii vektorového poľa vo vnútri tohto objemu.

  • SJdS=V(J)dV{\displaystyle -\oint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {J} )\mathrm {d} V}

Vyrovnajte dva predchádzajúce výrazy a nastavte ich na nulu. Výraz môžeme dať pod jeden integrál, pretože integrujeme nad tým istým objektom.

  • VρtdV+V(J)dV=0V(ρt+J)dV=0{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\mathrm {d} V+\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {J} )\mathrm {d} V&=0\\\int _{V}\levá strana({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \pravá strana)\mathrm {d} V&=0\end{aligned}}

Dospejeme k rovnici kontinuity. Pretože jedinou veličinou, pre ktorú je integrál rovný 0, je samotná 0, výraz v integrále možno nastaviť na 0. To nás vedie k rovnici kontinuity opisujúcej lokálne zachovanie náboja.

  • ρt=J{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} }

Časť 2 z 2:Odvodenie z Maxwellových rovníc

Začnite Ampérovým-Maxwellovým zákonom. Chceme ukázať, že zachovanie náboja sa dá ľahko odvodiť z Maxwellových rovníc. Nižšie zapíšeme Ampérov-Maxwellov zákon v diferenciálnom tvare.

  • ×B=μ0J+μ0ϵ0Et{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

Vezmeme divergenciu oboch strán. Tu si treba uvedomiť dve veci. Po prvé, divergencia curl je vždy 0, takže ľavá strana mizne. Po druhé, vzhľadom na dobre zvládnuté vektorové funkcie (v tomto prípade vektorové funkcie na jednoducho pripojených oblastiach) parciálne derivácie komutujú. Vo fyzike a technike sa takmer vždy zaoberáme spojitými, dobre zvládnuteľnými funkciami, takže táto symetria zmiešaných častíc platí.

  • (×B)=μ0J+μ0ϵ0Etμ0ϵ0t(E)=μ0J{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )&=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )&=-\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} \end{aligned}}}
  • Pripomeňme si Gaussov zákon.

    • E=ρϵ0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
    • Nahradením Gaussovho zákona a zjednodušením získame rovnicu kontinuity opisujúcu zachovanie náboja.
    • ρt=J{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} }