Ako overiť princíp neurčitosti pre kvantový harmonický oscilátor

Kvantový harmonický oscilátor je kvantovou obdobou klasického jednoduchého harmonického oscilátora. Pomocou riešenia základného stavu vezmeme hodnoty očakávanej polohy a hybnosti a pomocou nich overíme princíp neurčitosti.

Kroky

Časť 1 z 3: Riešenie prízemného stavu

Pripomeňme si Schrödingerovu rovnicu. Táto parciálna diferenciálna rovnica je základnou pohybovou rovnicou v kvantovej mechanike, ktorá opisuje, ako sa kvantový stav

${\displaystyle \psi }$

sa vyvíja v čase.

${\displaystyle {\hat {H}}}$

označuje hamiltonián, energetický operátor, ktorý opisuje celkovú energiu systému.

• ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi }$

Napíšte hamiltonián pre harmonický oscilátor. Hoci premenné polohy a hybnosti boli nahradené príslušnými operátormi, výraz sa stále podobá kinetickej a potenciálnej energii klasického harmonického oscilátora. Keďže pracujeme vo fyzikálnom priestore, operátor polohy je daný vzťahom

${\displaystyle {\hat {x}}=x,}$

zatiaľ čo operátor hybnosti je daný

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}.}$

• ${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}}$

Napíšte časovo závislú Schrödingerovu rovnicu. Vidíme, že hamiltonián explicitne nezávisí od času, takže riešenia rovnice budú stacionárne stavy. Časovo závislá Schrödingerova rovnica je rovnica vlastných hodnôt, takže jej riešenie znamená, že hľadáme vlastné hodnoty energie a im zodpovedajúce vlastné funkcie – vlnové funkcie.

• ${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi }$

Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Táto diferenciálna rovnica má premenné koeficienty a nedá sa jednoducho vyriešiť elementárnymi metódami. Po normalizácii však možno riešenie pre základný stav zapísať takto. Nezabudnite, že toto riešenie opisuje iba jednorozmerný oscilátor.

• ${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)}$
• Toto je Gaussova rovnica so stredom v
  ${\displaystyle x=0.}$

  Skutočnosť, že táto funkcia je párna, využijeme na zjednodušenie našich výpočtov v ďalšej časti.

Časť 2 z 3:Očakávané hodnoty

Pripomeňme si vzorec pre neurčitosť. Neistota pozorovanej veličiny, ako je poloha, je matematicky štandardná odchýlka. To znamená, že nájdeme priemernú hodnotu, vezmeme každú hodnotu a odčítame ju od priemeru, tieto hodnoty odmocníme a spriemerujeme a potom zoberieme druhú odmocninu.

• ${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\angle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}}}}$

Nájdite

$$⟨x⟩{\displaystyle \langle x\rangle }

. Keďže funkcia je párna, zo symetrie môžeme odvodiť, že

${\displaystyle \langle x\rangle =0.}$

• Ak nastavíte integrál potrebný na vyhodnotenie, zistíte, že integrand je nepárna funkcia, pretože nepárna funkcia krát párna funkcia je nepárna.
  • ${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x}$
• Jednou z vlastností nepárnej funkcie je, že pre každú kladnú hodnotu funkcie existuje dvojník – zodpovedajúca záporná hodnota -, ktorý ich ruší. Keďže vyhodnocujeme cez všetky
  ${\displaystyle x}$

  hodnôt, vieme, že integrál sa vyhodnotí ako 0 bez toho, aby sme museli skutočne vykonať výpočty.

Vypočítajte

$$⟨x2⟩{\displaystyle \langle x^{2}\rangle }

. Keďže naše riešenie je zapísané ako spojitá vlnová funkcia, musíme použiť nižšie uvedený integrál. Integrál opisuje očakávanú hodnotu

${\displaystyle x^{2}}$

integrovaná v celom priestore.

• ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x}$

Nahraďte vlnovú funkciu do integrálu a zjednodušte. Vieme, že vlnová funkcia je párna. Štvorec párnej funkcie je tiež párny, takže môžeme vytiahnuť faktor 2 a zmeniť dolnú hranicu na 0.

• ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp \left(-{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}\right)\mathrm {d} x}$

Vyhodnoťte. Najprv nech

${\displaystyle \alfa ={\frac {m\omega }{\hbar }}.}$

Ďalej namiesto integrovania po častiach použijeme funkciu gama.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\uholník x^{2}\uholník &=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-\alfa x^{2}}\mathrm {d} x,\ u=\alfa x^{2}\&=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{\alfa }}e^{-u}\mathrm {d} u{\frac {1}{2\alfa x}},\ \ x={\sqrt {\frac {u}{\alfa }}}\&=\levice({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\pravica)^{1/2}\alfa ^{-3/2}\int _{0}^{\infty }u^{1/2}e^{-u}\mathrm {d} u\\&=\levo({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\pravo)^{1/2}\levo({\frac {m\omega }{\hbar }}\pravo)^{-3/2}\Gamma \levo({\frac {3}{2}}\pravo),\ \ \Gamma \levo({\frac {3}{2}}\pravo)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\&={\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\&={\frac {\hbar }{2m\omega }}\end{aligned}}$

Dosiahneme neistotu v polohe. Pomocou vzťahu, ktorý sme napísali v kroku 1 tejto časti,

${\displaystyle \sigma _{x}}$

okamžite vyplýva z našich výsledkov.

• ${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$

Nájdite

$$⟨p⟩{\displaystyle \langle p\rangle }

. Podobne ako v prípade priemernej polohy možno použiť argument symetrie, ktorý vedie k

${\displaystyle \langle p\rangle =0.}$

Vypočítajte

$$⟨p2⟩{\displaystyle \langle p^{2}\rangle }

. Namiesto priameho použitia vlnovej funkcie na výpočet tejto očakávanej hodnoty môžeme na zjednodušenie potrebných výpočtov použiť energiu vlnovej funkcie. Energia základného stavu harmonického oscilátora je uvedená nižšie.

• ${\displaystyle E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega }$

Vzťahujte energiu základného stavu s kinetickou a potenciálnou energiou častice. Očakávame, že tento vzťah bude platiť nielen pre akúkoľvek polohu a hybnosť, ale aj pre ich očakávané hodnoty.

• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega ={\frac {\langle p^{2}\rangle }{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\langle x^{2}\rangle }$

Riešte pre

$$⟨p2⟩{\displaystyle \langle p^{2}\rangle }

.

• ${\displaystyle m\hbar \omega =\langle p^{2}\rangle +m^{2}\omega ^{2}{\frac {\hbar }{2m\omega }}}$
• ${\displaystyle \langle p^{2}\rangle ={\frac {m\hbar \omega }{2}}}$

Dospejeme k neistote hybnosti.

• ${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}}$

Časť 3 z 3:Overenie princípu neurčitosti

Pripomeňme si Heisenbergov princíp neurčitosti pre polohu a hybnosť. Princíp neurčitosti je základným obmedzením presnosti, s ktorou môžeme merať určité dvojice pozorovateľných veličín, ako je poloha a hybnosť. Viac informácií o princípe neurčitosti nájdete v tipoch.

• ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Nahraďte neurčitosti kvantového harmonického oscilátora.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}&\geq {\frac {\hbar }{2}}\{\frac {\hbar }{2}}&\geq {\frac {\hbar }{2}}\end{aligned}}}$
• Naše výsledky sú v súlade s princípom neurčitosti. V skutočnosti tento vzťah dosahuje rovnosť len v základnom stave – ak sa použijú stavy s vyššou energiou, potom neistoty v polohe a hybnosti len rastú.