Ako pochopiť euklidovskú geometriu (s obrázkami)

Euklidovská geometria sa zaoberá tvarmi, priamkami a uhlami a ich vzájomnou interakciou. Na začiatku je potrebné vykonať veľa práce, aby ste sa naučili jazyk geometrie. Keď ste sa naučili základné postuláty a vlastnosti všetkých útvarov a priamok, môžete tieto informácie začať používať na riešenie geometrických úloh. Geometria bohužiaľ vyžaduje čas, ale ak si dáte tú námahu, môžete ju pochopiť.

Obsah

1. časť z 3:Učivo 5 Euklidových postulátov

Naučte sa postulát 1. Úsečku možno vytvoriť spojením ľubovoľných dvoch bodov. Ak máte dva body A a B, môžete nakresliť úsečku spájajúcu tieto dva body. Spojením dvoch bodov môže vzniknúť vždy len jedna úsečka.[1]

Poznajte postulát 2. Každú úsečku možno predĺžiť do nekonečna v oboch smeroch. Po zostrojení úsečky medzi dvoma bodmi môžete túto úsečku predĺžiť na priamku. Môžete to urobiť tak, že predĺžite oba konce úsečky do nekonečna v rovnakom smere.[2]

Pochopiť postulát 3 Pri ľubovoľnej dĺžke a ľubovoľnom bode možno narysovať kružnicu, ktorej stredom je jeden bod a polomerom je dĺžka. Inak povedané, kružnicu možno zostrojiť z ľubovoľnej úsečky. Tento postulát platí bez ohľadu na dĺžku úsečky.[3]

Určiť postulát 4- Všetky pravé uhly sú zhodné. Pravý uhol sa rovná 90°. Každý pravý uhol je zhodný alebo rovnaký. Ak uhol nie je rovný 90°, nie je to pravý uhol.[4]

Definujte postulát 5- Ak je daná priamka a bod, bodom môže prechádzať len jedna priamka, ktorá je rovnobežná s prvou priamkou. Iný spôsob vyjadrenia tohto postulátu je, že ak sa dve priamky pretínajú s treťou priamkou tak, že súčet vnútorných uhlov jednej strany je menší ako dva pravé uhly, tieto dve priamky sa nakoniec pretnú. Tieto dve priamky nie sú navzájom rovnobežné.[5]

Tento posledný postulát sa nedá dokázať ako veta. V neeuklidovskej geometrii tento „rovnobežkový“ postulát neplatí.

2. časť z 3:Poznávanie tvarov, priamok a uhlov

Poznať vlastnosti priamok. Čiara sa tiahne nekonečne v oboch smeroch a na označenie tejto skutočnosti sa na jej koncoch nachádzajú šípky. Úsečka je konečná a existuje len medzi dvoma bodmi. Lúč je hybrid medzi priamkou a úsečkou: tiahne sa nekonečne jedným smerom z definovaného bodu.[6]

Jedna priamka má vždy mieru 180°.
Dve priamky sú rovnobežné, ak majú rovnaký sklon a nikdy sa nepretínajú.
Kolmé priamky sú dve priamky, ktoré spolu zvierajú uhol 90°.
Priesečníky sú akékoľvek dve priamky, ktoré sa pretínajú v ľubovoľnom bode. Rovnobežné priamky sa nikdy nemôžu pretínať, ale kolmé priamky áno.

Naučte sa rôzne typy uhlov. Existujú tri typy uhlov: ostrý, tupý a pravý. Ostrý uhol je každý uhol, ktorý meria menej ako 90°. Tupý uhol je široký uhol a je definovaný ako každý uhol, ktorý meria viac ako 90°. Pravý uhol meria presne 90°.[7]

Schopnosť identifikovať rôzne typy uhlov je nevyhnutnou súčasťou pochopenia geometrie.
Dve priamky, ktoré zvierajú pravý uhol, sú na seba aj kolmé. Tvoria dokonalý roh.
Môžete tiež vidieť priamy uhol, ktorý je jednoducho priamka. Miera tohto uhla je 180°.
Napríklad: Štvorec alebo obdĺžnik má štyri 90° uhly, zatiaľ čo kruh nemá žiadne uhly.

Určte typy trojuholníkov. Existujú dva spôsoby, ako identifikovať trojuholník: podľa veľkosti jeho uhlov (ostrý, tupý a pravý) alebo podľa toho, koľko strán a uhlov je rovnakých (rovnostranný, rovnoramenný a skalenoidný). V ostrom trojuholníku majú všetky uhly veľkosť menšiu ako 90°; tupé trojuholníky majú jeden uhol väčší ako 90° a pravouhlý trojuholník má jeden uhol 90°.[8]

Rovnostranné trojuholníky majú tri rovnaké strany a tri uhly, ktoré všetky merajú presne 60°.
Rovnoramenné trojuholníky majú dve rovnaké strany a dva rovnaké uhly.
Skalárne trojuholníky nemajú rovnaké strany a rovnaké uhly.

Vedieť určiť obvod a plochu 2D útvarov. Štvorce, obdĺžniky, kruhy, trojuholníky atď. sú všetky útvary, pre ktoré budete potrebovať vedieť vypočítať obvod a plochu. Obvod objektu je mierou všetkých strán objektu, zatiaľ čo plocha je mierou priestoru, ktorý objekt zaberá.[9]
[10]
Rovnice pre obvod a plochu najbežnejších útvarov sú:[11]

Obvod kruhu sa nazýva obvod a je rovný 2πr, kde „r“ je polomer.
Plocha kruhu je πr2, kde „r“ je polomer.
Obvod obdĺžnika je 2l + 2w, kde „l“ je dĺžka a „w“ je šírka.
Plocha obdĺžnika je l x w, kde „l“ je dĺžka a „w“ je šírka.
Obvod trojuholníka je a + b + c, kde každá premenná označuje jednu stranu trojuholníka.
Plocha trojuholníka je ½bh, kde „b“ je základňa trojuholníka a „h“ je zvislá výška.

Vypočítajte povrch a objem 3D objektov. Tak ako môžete vypočítať obvod a plochu 2D objektu, môžete zistiť celkový povrch a objem 3D objektu. Objekty ako guľa, pravouhlý hranol, pyramída a valec majú na to špeciálne rovnice. Plocha povrchu je celková plocha každého povrchu objektu, zatiaľ čo objem je celkové množstvo priestoru, ktoré objekt zaberá.[12]
[13]

Plocha povrchu gule sa rovná 4πr2, kde „r“ je polomer gule.
Objem gule sa rovná (4/3)πr3, kde „r“ je polomer gule.
Povrch obdĺžnikového hranola je 2lw + 2lh + 2hw, kde „l“ je dĺžka, „w“ je šírka a „h“ je výška.
Objem pravouhlého hranola je l x w x h, kde „l“ je dĺžka, „w“ je šírka a „h“ je výška.

Určte dvojice uhlov. Keď priamka pretína dve iné priamky, nazýva sa priečnica. Dvojice uhlov sú tvorené týmito priamkami. Zodpovedajúce uhly sú dva uhly pri zhode rohov s priečkou.[14]
Náhradné vnútorné uhly sú dva uhly, ktoré sú vnútri dvoch priamok, ale na opačných stranách priečnika.[15]
Náhradné vonkajšie uhly sú dva uhly, ktoré sú mimo dvoch priamok, ale na opačných stranách priečnika.[16]

Dvojice uhlov sa navzájom rovnajú, ak sú dve z priamok rovnobežné.[17]
Existuje štvrtá dvojica uhlov: po sebe idúce vnútorné uhly. Sú to dva uhly na vnútornej strane priamok a na tej istej strane priečnika. Ak sú dve priamky rovnobežné, po sebe idúce vnútorné uhly sa vždy sčítajú do 180°.[18]

Definujte Pytagorovu vetu. Pytagorova veta je praktický spôsob, ako určiť dĺžky strán pravouhlého trojuholníka. Je definovaná ako a2 + b2 = c2, kde „a“ a „b“ sú dĺžka a výška (priamky) trojuholníka a „c“ je prepona (uholník). Ak poznáte ľubovoľné dve strany trojuholníka, môžete vypočítať tretiu stranu pomocou tejto rovnice.[19]

Napríklad: Ak máme pravouhlý trojuholník so stranou a = 3 a b = 4, môžeme nájsť jeho preponou:
a2 + b2 = c2
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
c = √25
c = 25; prepona trojuholníka je 5.

Časť 3 z 3:Riešenie úloh z geometrie

Nakreslite obrázky. Prečítajte si problém a nakreslite schému na jeho znázornenie. Označte všetky zadané informácie vrátane všetkých uhlov, rovnobežiek a kolmíc a priamok, ktoré sa pretínajú. Možno budete musieť všetko nakresliť druhýkrát, keď budete mať základný náčrt problému. Na druhom výkrese môžete opraviť mierku všetkého a uistiť sa, že všetky uhly sú nakreslené približne správne.[20]

Označte aj všetky neznáme.
Jasne nakreslený diagram je najjednoduchší spôsob, ako pochopiť problém.

Vykonajte pozorovania na základe daných údajov. Ak máte danú úsečku, ale z úsečky vychádzajú uhly, viete, že miera všetkých uhlov musí byť rovná 180°. Napíšte tieto informácie na diagram alebo na okraj. Toto je dobrý spôsob, ako premýšľať o tom, čo sa v otázke žiada.

Napríklad: Uhol ABC a uhol DBE tvoria priamku ABE. Uhol ABC = 120°. Aká je miera uhla DBE?
Keďže súčet uhlov ABC a DBE sa musí rovnať 180°, potom uhol DBE = 180° – uhol ABC.
Uhol DBE = 180° – 120° = 60°.

Aplikujte základné tvrdenia na zodpovedanie otázok. Existuje mnoho jednotlivých viet, ktoré opisujú vlastnosti trojuholníkov, pretínajúcich sa a rovnobežných priamok a kružníc, ktoré možno použiť na riešenie problému. Identifikujte geometrické útvary v úlohe a nájdite tvrdenia, ktoré sa na ne vzťahujú. Použite staré dôkazy a problémy ako pomôcku, aby ste zistili, či medzi nimi existujú podobnosti. Tu sú niektoré všeobecné geometrické tvrdenia, ktoré budete potrebovať:

Vlastnosť reflexie: Premenná sa rovná sama sebe. x = x.
Postulát sčítania: Keď sa rovnaké premenné sčítajú s rovnakými premennými, všetky súčty sú rovnaké. A + B + C = A + C + B.
Postulát odčítania: Je to podobné ako postulát sčítania, všetky premenné odčítané od rovnakých premenných majú rovnaké rozdiely. A – B – C = A – C – B.
Postulát substitúcie: Ak sa dve veličiny rovnajú, môžeme jednu nahradiť druhou v ľubovoľnom výraze.
Postulát rozdelenia: každý celok sa rovná súčtu všetkých jeho častí. Priamka ABC = AB + BC.

Naučte sa tvrdenia, ktoré sa vzťahujú na trojuholníky. V mnohých úlohách z geometrie sa vyskytujú trojuholníky a znalosť vlastností trojuholníkov vám pomôže pri ich riešení. Použite tieto tvrdenia na vytvorenie geometrických dôkazov. Tu je niekoľko najdôležitejších pre trojuholníky: [21]

CPCTC: zodpovedajúce časti zhodného trojuholníka sú zhodné
SSS: strana – strana – strana: ak sú tri strany jedného trojuholníka zhodné s tromi stranami druhého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné
SAS: strana-úhol-stranica: ak majú dva trojuholníky zhodnú stranu-úhol-stranicu, potom sú tieto dva trojuholníky zhodné
ASA: uhol-stranou-úhol: ak dva trojuholníky majú zhodný uhol-stranou-úhol, potom sú tieto dva trojuholníky zhodné
AAA: uhol-úhol-úholník: trojuholníky so zhodnými uhlami sú podobné, ale nie nevyhnutne zhodné