Ako pochopiť euklidovskú geometriu (s obrázkami)

Euklidovská geometria sa zaoberá tvarmi, priamkami a uhlami a ich vzájomnou interakciou. Na začiatku je potrebné vykonať veľa práce, aby ste sa naučili jazyk geometrie. Keď ste sa naučili základné postuláty a vlastnosti všetkých útvarov a priamok, môžete tieto informácie začať používať na riešenie geometrických úloh. Geometria bohužiaľ vyžaduje čas, ale ak si dáte tú námahu, môžete ju pochopiť.

1. časť z 3:Učivo 5 Euklidových postulátov


Naučte sa postulát 1. Úsečku možno vytvoriť spojením ľubovoľných dvoch bodov. Ak máte dva body A a B, môžete nakresliť úsečku spájajúcu tieto dva body. Spojením dvoch bodov môže vzniknúť vždy len jedna úsečka.[1]


Poznajte postulát 2. Každú úsečku možno predĺžiť do nekonečna v oboch smeroch. Po zostrojení úsečky medzi dvoma bodmi môžete túto úsečku predĺžiť na priamku. Môžete to urobiť tak, že predĺžite oba konce úsečky do nekonečna v rovnakom smere.[2]


Pochopiť postulát 3 Pri ľubovoľnej dĺžke a ľubovoľnom bode možno narysovať kružnicu, ktorej stredom je jeden bod a polomerom je dĺžka. Inak povedané, kružnicu možno zostrojiť z ľubovoľnej úsečky. Tento postulát platí bez ohľadu na dĺžku úsečky.[3]


Určiť postulát 4- Všetky pravé uhly sú zhodné. Pravý uhol sa rovná 90°. Každý pravý uhol je zhodný alebo rovnaký. Ak uhol nie je rovný 90°, nie je to pravý uhol.[4]


Definujte postulát 5- Ak je daná priamka a bod, bodom môže prechádzať len jedna priamka, ktorá je rovnobežná s prvou priamkou. Iný spôsob vyjadrenia tohto postulátu je, že ak sa dve priamky pretínajú s treťou priamkou tak, že súčet vnútorných uhlov jednej strany je menší ako dva pravé uhly, tieto dve priamky sa nakoniec pretnú. Tieto dve priamky nie sú navzájom rovnobežné.[5]

  • Tento posledný postulát sa nedá dokázať ako veta. V neeuklidovskej geometrii tento „rovnobežkový“ postulát neplatí.

2. časť z 3:Poznávanie tvarov, priamok a uhlov


Poznať vlastnosti priamok. Čiara sa tiahne nekonečne v oboch smeroch a na označenie tejto skutočnosti sa na jej koncoch nachádzajú šípky. Úsečka je konečná a existuje len medzi dvoma bodmi. Lúč je hybrid medzi priamkou a úsečkou: tiahne sa nekonečne jedným smerom z definovaného bodu.[6]

  • Jedna priamka má vždy mieru 180°.
  • Dve priamky sú rovnobežné, ak majú rovnaký sklon a nikdy sa nepretínajú.
  • Kolmé priamky sú dve priamky, ktoré spolu zvierajú uhol 90°.
  • Priesečníky sú akékoľvek dve priamky, ktoré sa pretínajú v ľubovoľnom bode. Rovnobežné priamky sa nikdy nemôžu pretínať, ale kolmé priamky áno.


Naučte sa rôzne typy uhlov. Existujú tri typy uhlov: ostrý, tupý a pravý. Ostrý uhol je každý uhol, ktorý meria menej ako 90°. Tupý uhol je široký uhol a je definovaný ako každý uhol, ktorý meria viac ako 90°. Pravý uhol meria presne 90°.[7]

  • Schopnosť identifikovať rôzne typy uhlov je nevyhnutnou súčasťou pochopenia geometrie.
  • Dve priamky, ktoré zvierajú pravý uhol, sú na seba aj kolmé. Tvoria dokonalý roh.
  • Môžete tiež vidieť priamy uhol, ktorý je jednoducho priamka. Miera tohto uhla je 180°.
  • Napríklad: Štvorec alebo obdĺžnik má štyri 90° uhly, zatiaľ čo kruh nemá žiadne uhly.


Určte typy trojuholníkov. Existujú dva spôsoby, ako identifikovať trojuholník: podľa veľkosti jeho uhlov (ostrý, tupý a pravý) alebo podľa toho, koľko strán a uhlov je rovnakých (rovnostranný, rovnoramenný a skalenoidný). V ostrom trojuholníku majú všetky uhly veľkosť menšiu ako 90°; tupé trojuholníky majú jeden uhol väčší ako 90° a pravouhlý trojuholník má jeden uhol 90°.[8]

  • Rovnostranné trojuholníky majú tri rovnaké strany a tri uhly, ktoré všetky merajú presne 60°.
  • Rovnoramenné trojuholníky majú dve rovnaké strany a dva rovnaké uhly.
  • Skalárne trojuholníky nemajú rovnaké strany a rovnaké uhly.


Vedieť určiť obvod a plochu 2D útvarov. Štvorce, obdĺžniky, kruhy, trojuholníky atď. sú všetky útvary, pre ktoré budete potrebovať vedieť vypočítať obvod a plochu. Obvod objektu je mierou všetkých strán objektu, zatiaľ čo plocha je mierou priestoru, ktorý objekt zaberá.[9]
[10]
Rovnice pre obvod a plochu najbežnejších útvarov sú:[11]

  • Obvod kruhu sa nazýva obvod a je rovný 2πr, kde „r“ je polomer.
  • Plocha kruhu je πr2, kde „r“ je polomer.
  • Obvod obdĺžnika je 2l + 2w, kde „l“ je dĺžka a „w“ je šírka.
  • Plocha obdĺžnika je l x w, kde „l“ je dĺžka a „w“ je šírka.
  • Obvod trojuholníka je a + b + c, kde každá premenná označuje jednu stranu trojuholníka.
  • Plocha trojuholníka je ½bh, kde „b“ je základňa trojuholníka a „h“ je zvislá výška.


Vypočítajte povrch a objem 3D objektov. Tak ako môžete vypočítať obvod a plochu 2D objektu, môžete zistiť celkový povrch a objem 3D objektu. Objekty ako guľa, pravouhlý hranol, pyramída a valec majú na to špeciálne rovnice. Plocha povrchu je celková plocha každého povrchu objektu, zatiaľ čo objem je celkové množstvo priestoru, ktoré objekt zaberá.[12]
[13]

  • Plocha povrchu gule sa rovná 4πr2, kde „r“ je polomer gule.
  • Objem gule sa rovná (4/3)πr3, kde „r“ je polomer gule.
  • Povrch obdĺžnikového hranola je 2lw + 2lh + 2hw, kde „l“ je dĺžka, „w“ je šírka a „h“ je výška.
  • Objem pravouhlého hranola je l x w x h, kde „l“ je dĺžka, „w“ je šírka a „h“ je výška.


Určte dvojice uhlov. Keď priamka pretína dve iné priamky, nazýva sa priečnica. Dvojice uhlov sú tvorené týmito priamkami. Zodpovedajúce uhly sú dva uhly pri zhode rohov s priečkou.[14]
Náhradné vnútorné uhly sú dva uhly, ktoré sú vnútri dvoch priamok, ale na opačných stranách priečnika.[15]
Náhradné vonkajšie uhly sú dva uhly, ktoré sú mimo dvoch priamok, ale na opačných stranách priečnika.[16]

  • Dvojice uhlov sa navzájom rovnajú, ak sú dve z priamok rovnobežné.[17]
  • Existuje štvrtá dvojica uhlov: po sebe idúce vnútorné uhly. Sú to dva uhly na vnútornej strane priamok a na tej istej strane priečnika. Ak sú dve priamky rovnobežné, po sebe idúce vnútorné uhly sa vždy sčítajú do 180°.[18]


Definujte Pytagorovu vetu. Pytagorova veta je praktický spôsob, ako určiť dĺžky strán pravouhlého trojuholníka. Je definovaná ako a2 + b2 = c2, kde „a“ a „b“ sú dĺžka a výška (priamky) trojuholníka a „c“ je prepona (uholník). Ak poznáte ľubovoľné dve strany trojuholníka, môžete vypočítať tretiu stranu pomocou tejto rovnice.[19]

  • Napríklad: Ak máme pravouhlý trojuholník so stranou a = 3 a b = 4, môžeme nájsť jeho preponou:
  • a2 + b2 = c2
  • 32 + 42 = c2
  • 9 + 16 = c2
  • 25 = c2
  • c = √25
  • c = 25; prepona trojuholníka je 5.

Časť 3 z 3:Riešenie úloh z geometrie


Nakreslite obrázky. Prečítajte si problém a nakreslite schému na jeho znázornenie. Označte všetky zadané informácie vrátane všetkých uhlov, rovnobežiek a kolmíc a priamok, ktoré sa pretínajú. Možno budete musieť všetko nakresliť druhýkrát, keď budete mať základný náčrt problému. Na druhom výkrese môžete opraviť mierku všetkého a uistiť sa, že všetky uhly sú nakreslené približne správne.[20]

  • Označte aj všetky neznáme.
  • Jasne nakreslený diagram je najjednoduchší spôsob, ako pochopiť problém.


Vykonajte pozorovania na základe daných údajov. Ak máte danú úsečku, ale z úsečky vychádzajú uhly, viete, že miera všetkých uhlov musí byť rovná 180°. Napíšte tieto informácie na diagram alebo na okraj. Toto je dobrý spôsob, ako premýšľať o tom, čo sa v otázke žiada.

  • Napríklad: Uhol ABC a uhol DBE tvoria priamku ABE. Uhol ABC = 120°. Aká je miera uhla DBE?
  • Keďže súčet uhlov ABC a DBE sa musí rovnať 180°, potom uhol DBE = 180° – uhol ABC.
  • Uhol DBE = 180° – 120° = 60°.


Aplikujte základné tvrdenia na zodpovedanie otázok. Existuje mnoho jednotlivých viet, ktoré opisujú vlastnosti trojuholníkov, pretínajúcich sa a rovnobežných priamok a kružníc, ktoré možno použiť na riešenie problému. Identifikujte geometrické útvary v úlohe a nájdite tvrdenia, ktoré sa na ne vzťahujú. Použite staré dôkazy a problémy ako pomôcku, aby ste zistili, či medzi nimi existujú podobnosti. Tu sú niektoré všeobecné geometrické tvrdenia, ktoré budete potrebovať:

  • Vlastnosť reflexie: Premenná sa rovná sama sebe. x = x.
  • Postulát sčítania: Keď sa rovnaké premenné sčítajú s rovnakými premennými, všetky súčty sú rovnaké. A + B + C = A + C + B.
  • Postulát odčítania: Je to podobné ako postulát sčítania, všetky premenné odčítané od rovnakých premenných majú rovnaké rozdiely. A – B – C = A – C – B.
  • Postulát substitúcie: Ak sa dve veličiny rovnajú, môžeme jednu nahradiť druhou v ľubovoľnom výraze.
  • Postulát rozdelenia: každý celok sa rovná súčtu všetkých jeho častí. Priamka ABC = AB + BC.

  • Naučte sa tvrdenia, ktoré sa vzťahujú na trojuholníky. V mnohých úlohách z geometrie sa vyskytujú trojuholníky a znalosť vlastností trojuholníkov vám pomôže pri ich riešení. Použite tieto tvrdenia na vytvorenie geometrických dôkazov. Tu je niekoľko najdôležitejších pre trojuholníky: [21]

    • CPCTC: zodpovedajúce časti zhodného trojuholníka sú zhodné
    • SSS: strana – strana – strana: ak sú tri strany jedného trojuholníka zhodné s tromi stranami druhého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné
    • SAS: strana-úhol-stranica: ak majú dva trojuholníky zhodnú stranu-úhol-stranicu, potom sú tieto dva trojuholníky zhodné
    • ASA: uhol-stranou-úhol: ak dva trojuholníky majú zhodný uhol-stranou-úhol, potom sú tieto dva trojuholníky zhodné
    • AAA: uhol-úhol-úholník: trojuholníky so zhodnými uhlami sú podobné, ale nie nevyhnutne zhodné
  • Odkazy