Ako pochopiť jednotkový kruh: 12 krokov (s obrázkami)

Jednotková kružnica je najlepším nástrojom pri práci s trigonometriou; ak skutočne pochopíte, čo je jednotková kružnica a čo robí, bude pre vás trigonometria oveľa jednoduchšia.

Kroky


Vedieť, čo je jednotkový kruh. Jednotková kružnica je kružnica so stredom v počiatku s polomerom 1. Pripomeňme si z kónickej rovnice, že rovnica je x2+y2=1. Tento kruh možno použiť na nájdenie určitých „špeciálnych“ trigonometrických pomerov, ako aj ako pomôcku pri tvorbe grafov. Okolo kružnice je ovinutá aj čiara reálnych čísel, ktorá slúži ako vstupná hodnota pri vyhodnocovaní trigonometrických funkcií.


Poznajte 6 trigonometrických pomerov. Vedzte, že

  • sinθ=opozit/hypotenuse
  • cosθ = adjunkt/hypotenzus
  • tanθ=opozitný/priľahlý
  • cosecθ=1/sinθ
  • sekθ=1/cosθ
  • cotθ=1/tanθ.


Pochopiť, čo je to radián. Radián je ďalší spôsob merania uhla. Jeden radián je uhol potrebný na to, aby sa dĺžka uzavretého oblúka rovnala dĺžke polomeru. Všimnite si, že nezáleží na veľkosti alebo orientácii kruhu. Potrebujete tiež poznať počet radiánov v plnom kruhu (360 stupňov). Nezabudnite, že obvod kruhu je daný 2πr, takže v obvode sú 2π polomerov. Keďže radián je podľa definície uhol, pri ktorom sa dĺžka polomeru rovná dĺžke oblúka, v plnom kruhu je 2π radiánov.


Vedieť prevádzať medzi radiánmi a stupňami. V plnom kruhu je 2π radiánov alebo 360 stupňov. Takže:

  • 2πradián=360stupňov
  • radián=(360/2π)stupeň
  • radián=(180/π)stupeň
  • a
  • 360 stupňov=2πradián
  • stupeň=(2π/360)radián
  • stupeň=(π/180)radián


Poznajte „špeciálne“ uhly pohľadu. Špeciálne uhly v radiánoch sú π/6, π/3, π/4, π/2, π a násobky všetkých (e.g. 5π/6)


Poznajte a zapamätajte si trigonometrické identity, ktoré udávajú 6 trigonometrických funkcií pre ľubovoľný uhol. Na ich odvodenie sa musíte pozrieť na jednotkovú kružnicu. Pripomeňme si, že okolo jednotkovej kružnice je ovinutá priamka reálnych čísel. Bod na číselnej priamke označuje počet radiánov v vzniknutom uhle. Napríklad Bod v bode π/2 na priamke reálnych čísel zodpovedá bodu na kružnici, ktorej polomer zviera s kladným vodorovným polomerom uhol π/2. Trik pri hľadaní trigonometrických hodnôt ľubovoľného uhla teda spočíva v nájdení súradníc bodu. Hypotenzia je vždy 1, pretože je to polomer kružnice, a keďže každé číslo delené 1 je samo sebou a protiľahlá strana sa rovná hodnote y, vyplýva z toho, že hodnota sínusu je y-ová súradnica bodu. Hodnota kosínusu sa riadi podobnou logikou. Cos sa rovná susednej strane delenej hypotezou, a keďže hypoteza je vždy 1 a susedná strana sa rovná súradnici x, vyplýva z toho, že hodnota kosínusu je x-ová súradnica bodu. Tangens je o niečo zložitejší. Dotyčnica uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná deleniu protiľahlej strany susednou stranou. Problémom je, že v menovateli nie je žiadna konštanta ako v predchádzajúcich príkladoch, takže musíte byť trochu kreatívnejší. Pamätajte, že protiľahlá strana sa rovná súradnici y a priľahlá strana sa rovná súradnici x, takže substitúciou by ste mali zistiť, že dotyčnica sa rovná y/x. Pomocou toho môžete nájsť inverzné trigonometrické funkcie pomocou recipročných hodnôt týchto vzorcov. Pre zhrnutie uvádzame tieto identity.

  • sinθ=y
  • cosθ=x
  • tanθ=y/x
  • csc=1/y
  • sec=1/x
  • cot=x/y


Nájdite a zapamätajte si 6 trigonometrických funkcií pre uhly na osiach. Pre uhly, ktoré sú násobkami π/2, ako napríklad 0, π/2, π, 3π/2, 2π atď. Nájdenie trigonometrických funkcií je rovnako jednoduché ako zobrazenie uhla na osiach. Ak je koncová strana pozdĺž osi x, sin bude 0 a cos bude buď 1 alebo -1 v závislosti od toho, ktorým smerom lúč smeruje. Podobne, ak je koncová strana pozdĺž osi y, sin bude buď 1 alebo -1 a cos bude 0.


Nájdite a zapamätajte si 6 trigonometrických funkcií špeciálneho uhla π/6. Začnite narysovaním uhla π/6 na jednotkovej kružnici. Viete, ako nájsť dĺžky strán špeciálnych pravouhlých trojuholníkov (30-60-90 a 45-45-90) vzhľadom na jednu stranu, a keďže π/6=30 stupňov, tento trojuholník je jedným z týchto špeciálnych prípadov. Ak si teda spomínate, krátka noha je 1/2 hypotenzy, takže y-ová súradnica je 1/2, a dlhá noha je √3 krát kratšia noha, teda (√3)/2, takže x-ová súradnica je (√3)/2. Súradnice tohto bodu sú ((√3)/2,1/2) Teraz použite totožnosti z predchádzajúceho kroku, aby ste ho našli:

  • sinπ/6=1/2
  • cosπ/6=(√3)/2
  • tanπ/6=1/(√3)
  • cscπ/6=2
  • secπ/6=2/(√3)
  • cotπ/6=√3


Nájdite a zapamätajte si 6 trigonometrických funkcií pre špeciálny uhol π/3) Uhol π/3 má na kružnici bod, v ktorom sa súradnica x rovná súradnici y v uhle π/6 a súradnica y je rovnaká ako súradnica x. Takže bod je (1/2, √3/2). Z toho vyplýva, že:

  • sinπ/3=(√3)/2
  • cosπ/3=1/2
  • tanπ/3=√3
  • cscπ/3=2/(√3)
  • sekπ/3=2
  • cotπ/3=1/(√3)


Nájdite a zapamätajte si 6 trigonometrických funkcií špeciálneho uhla π/4. Pomery pre trojuholník 45-45-90 sú prepona √2 a ramená 1, takže na jednotkovej kružnici sú rozmery nasledovné:a trigonometrické funkcie sú:

  • sinπ/4=1/(√2)
  • cosπ/4=1/(√2)
  • tanπ/4=1
  • cscπ/4=√2
  • sekπ/4=√2
  • cotπ/4=1


Vedieť, ktorý referenčný uhol použiť. V tomto bode ste už našli trigonometrické hodnoty troch špeciálnych referenčných uhlov, avšak všetky tieto hodnoty sa nachádzajú v kvadrante I. Ak potrebujete nájsť funkciu väčšieho alebo menšieho špeciálneho uhla, najprv zistite, ktorý referenčný uhol patrí do rovnakej „rodiny“ uhlov. Napríklad rodinu π/3 tvoria 2π/3, 4π/3 a 5π/3. Dobrým všeobecným pravidlom na nájdenie referenčného uhla je čo najviac zmenšiť zlomok a potom sa pozrieť na spodné číslo.

  • Ak je to 3, patrí do rodiny π/3
  • Ak je to 6, patrí to do rodiny π/6
  • Ak je to 2, patrí to do rodiny π/2
  • Ak stojí samostatne, ako π alebo 0, patrí do rodiny π
  • Ak je to štvorka, patrí do rodiny π/4

  • Vedieť, či je hodnota kladná alebo záporná. Všetky uhly v rovnakej rodine majú rovnaké trigonometrické hodnoty ako referenčný uhol, ale 2 budú kladné a dva záporné.

    • Ak je uhol v kvadrante I, všetky trigonometrické hodnoty sú kladné
    • Ak je uhol v kvadrante II, všetky trigonometrické hodnoty sú záporné okrem sin a csc.
    • Ak je uhol v kvadrante III, všetky trigonometrické hodnoty sú záporné okrem tan a cot.
    • Ak je uhol v kvadrante IV, všetky trigonometrické hodnoty sú záporné okrem cos a sec.