Ako pochopiť základy matíc: 12 krokov (s obrázkami)

Matica – nemá nič spoločné s filmom Matrix – je matica čísel. Sú veľmi užitočné v mnohých oblastiach. Bežne sa používajú vo fyzike – existencia antihmoty bola prvýkrát teoreticky podložená maticami. často sa vyskytujú aj vo vektorovej grafike, pretože matice možno použiť na aplikáciu transformácií na súbor vektorov.

Kroky




Pochopte, čo je to matica. Matica je súbor čísel, nazývaných prvky, usporiadaných do obdĺžnika alebo štvorca. Čísla nemusia byť kladné a môžu to byť desatinné alebo dokonca komplexné čísla. Štvorcová matica je, ako naznačuje názov, matica, ktorá má tvar štvorca s rovnakým počtom stĺpcov a riadkov. V algebre sa matica zvyčajne znázorňuje veľkým písmenom tučným alebo podčiarknutým písmom. Čísla v matici sú obklopené hranatými (alebo niekedy zahnutými, ale nie kučeravými) zátvorkami.



Zistite, čo znamená dimenzia matice. Dimenzia matice A, dim(A), je to, koľko riadkov a stĺpcov má. dim(A) = m x n predstavuje maticu s m riadkami a n stĺpcami.


Naučte sa násobiť maticu skalárom. Ak chcete vynásobiť maticu skalárom, vynásobte všetky prvky skalárom.



Naučte sa sčítať a odčítať dve matice. Jednoducho sčítajte alebo odčítajte príslušné prvky. Matice musia mať rovnaké rozmery, ak ich chcete sčítať alebo odčítať. Inými slovami, A+B a AB existuje vtedy a len vtedy, ak dim(A) = dim(B).

Naučte sa, že maticové násobenie má niekoľko zvláštností, ktoré sa nenachádzajú pri skalárnom násobení:

  • Môžete vynásobiť iba dve matice AxB ak dim(A) = m x n a dim(B) = n x p
  • AxB nie je to isté ako BxA.
  • Výsledná matica má rozmery dim(C) = m x p, takže nie je rovnako veľká ako východiskové matice (pokiaľ nerobíte násobenie štvorcových matíc).
  • Ak AxB je možné, BxA je možné len vtedy, ak m = p
  • Spoločne so skalárnym násobením, Ax(BxC) = (AxB)xC, a Ax(B+C) = AxB + AxC



Naučte sa násobiť dve matice. Môže to byť trochu zložité, kým si to neosvojíte. Pre AxB:

  • Nakreslite matice do mriežky, ako je na fotografii vľavo. A ide vľavo a B pokračuje na vrchol.
  • Pre každý prvok vo výslednej matici uvažujte stĺpec a riadok, v ktorom sa nachádza.
  • Vynásobte prvý prvok v riadku prvým prvkom v stĺpci. Takto postupujte aj pri druhom prvku, treťom a tak ďalej.
  • Súčet súčinov prvkov. Toto je hodnota prvku vo výslednej matici.
  • Toto urobte pre každý prvok výslednej matice.



Naučte sa, čo je „minor“. Menší prvok matice je determinant matice, ktorý zostane, keď vymažete riadok a stĺpec obsahujúci tento prvok.



Naučte sa vypočítať determinant. Toto je hodnota, ktorá sa používa pri výpočte inverznej matice. Zvyčajne sa zapisuje ako det(A) alebo |A|. Ak vidíte maticu s čiarami namiesto hranatých zátvoriek, znamená to, že determinant tejto matice. Determinant existuje len pre štvorcové matice. Pre maticu 2×2 je determinant jednoducho ad-bc. V prípade matice 3×3 je to trochu zložitejšie: a x minor(a) – b x minor(b) + c x minor(c)

Naučte sa, čo je to „kofaktor“. Kofaktor prvku súvisí s mínusom tohto prvku. Potrebujete poznať pozíciu prvku v matici. Povedzme, že prvok je v prvom riadku a druhom stĺpci. Jeho pozícia je 1,2. Pre prvok na pozícii i,j vypočítajte (-1)(i+j). Kofaktor je mínus vynásobený touto hodnotou.



Naučte sa brať transpozíciu matice. Transpozícia matice, AT je matica, ktorú dostanete, keď otočíte A okolo svojej diagonálnej osi. Z riadkov sa stanú stĺpce a zo stĺpcov riadky.


Naučte sa o matici identity, I. Je to matica s jednotkami pozdĺž diagonálnej osi a nulami inde. Výsledok je na niekoľkých miestach:

  • AxI = IxA = A
  • AxA-1 = I
  • Na záver sa naučte, ako vziať inverznú hodnotu matice. Inverzná hodnota matice, A-1, obráti účinok matice A. Vynásobením týchto dvoch matíc sa tieto dve matice vyrušia a zostane matica identity. Ak chcete vziať inverzný:

    • Vypočítajte |A|
    • Vypočítajte kofaktor každého prvku matice.
    • Nahraďte každý prvok matice jeho kofaktorom. Toto je matica C.
    • A-1 = CT/|A|