Ako porozumieť algebre (s obrázkami)

Pochopenie algebry sa môže zo začiatku zdať zložité. Ak si však vybudujete silné základné znalosti začiatočníckych matematických faktov a naučíte sa niektoré „jazyky“ algebry, môžete jej porozumieť oveľa ľahšie. Základné kroky riešenia algebrických úloh zahŕňajú vykonávanie jednoduchých operácií v malých krokoch, ktoré „zrušia“ pôvodnú úlohu. Ak budete tieto kroky robiť pozorne a v správnom poradí, mali by ste sa dostať k riešeniu.

Časť 1 z 5:Poznanie cieľov v algebre


Pozorne si prečítajte inštrukcie k problému. Keď máte jeden alebo viac problémov s algebrou, musíte si pozorne prečítať pokyny. Hľadajte v pokynoch kľúčové slová ako „riešiť“, „zjednodušiť“, „faktor“ alebo „redukovať“.“ Toto sú niektoré z najčastejších pokynov (hoci existujú aj iné, ktoré sa naučíte). Mnoho ľudí má problémy, pretože sa snažia problém „vyriešiť“, hoci v skutočnosti ho potrebujú len „zjednodušiť“.[1]
Expertný zdroj
Daron Cam
Učiteľ matematiky
Odborný rozhovor. 29. mája 2020.


Vykonajte operácie, ktoré sú uvedené v pokynoch. Keď si prečítate inštrukcie k problému, mali by ste identifikovať kľúčové slová a potom vykonať tieto operácie. Mnohí ľudia pociťujú frustráciu z algebry, keď sa pokúšajú robiť niečo, čo v skutočnosti nie je súčasťou zamýšľaného problému. Základné operácie, na ktoré sa budete pýtať, sú:[2]

  • Riešenie. Úlohu budete musieť zredukovať na skutočné číselné riešenie, napríklad „x=4.“ Musíte nájsť takú hodnotu premennej, aby sa problém stal skutočnosťou.
  • Zjednodušenie. Musíte problém zmanipulovať do nejakej jednoduchšej podoby ako predtým, ale neskončíte s tým, čo by ste mohli považovať za „odpoveď.“ Pravdepodobne nebudete mať k dispozícii jedinú číselnú hodnotu pre premennú.
  • Faktor. Toto je podobné ako „zjednodušiť“ a zvyčajne sa používa pri zložených polynomoch alebo zlomkoch. Musíte nájsť spôsob, ako problém premeniť na menšie výrazy. Tak ako číslo 12 možno rozdeliť napríklad na činitele 3×4, môžete vydeliť algebraický polynóm.
    • Napríklad jednoduchý výraz ako
      5x{\displaystyle 5x}

      možno rozdeliť na činitele

      5{\displaystyle 5}

      a

      x{\displaystyle x}

      .

    • Napríklad výraz
      x2+3x+2{\displaystyle x^{2}+3x+2}

      možno rozložiť na výrazy

      (x+2){\displaystyle (x+2)}

      a

      (x+1){\displaystyle (x+1)}

      .

  • Znížiť. „Zníženie“ problému vo všeobecnosti zahŕňa kombináciu faktoringu a následného zjednodušenia. Výrazy čitateľa a menovateľa by ste rozdelili na ich činitele. Potom hľadajte spoločné činitele hore a dole a zrušte ich. Čokoľvek zostane, je „redukovaná“ forma pôvodného problému. Zredukujte napríklad výraz
    6x22x{\displaystyle {\frac {6x^{2}}{2x}}}

    takto:

    • 1. Vynásobte čitateľa a menovateľa:
      (3)(2)(x)(x)(2)(x){\displaystyle {\frac {(3)(2)(x)(x)}{(2)(x)}}}
    • 2. Hľadajte spoločné výrazy. Čitateľ aj menovateľ majú činitele 2 a x.
    • 3. Odstráňte spoločné členy:
      (3)(2)(x)(x)(2)(x){\displaystyle {\frac {(3)(2)(x)(x)}{(2)(x)}}}
    • 4. Opíšte to, čo zostalo:
      3x{\displaystyle 3x}


Naučte sa rozdiel medzi „výrazom“ a „rovnicou.“ V algebre je veľmi dôležitý rozdiel medzi „výrazom“ a „rovnicou“. Výraz je ľubovoľná skupina čísel a premenných, ktoré sú zhromaždené spolu. Niektoré príklady výrazov sú

x{\displaystyle x}

,

14xyz{\displaystyle 14xyz}

a

2x+15{\displaystyle {\sqrt {2x+15}}}

. Všetko, čo môžete s výrazom urobiť, je zjednodušiť ho alebo vynásobiť. Na druhej strane rovnica obsahuje znak =. Rovnice môžete zjednodušiť alebo vynásobiť, ale môžete ich aj vyriešiť, aby ste dostali konečnú odpoveď. Je dôležité hľadať rozdiel.[3]

  • Ak máte výraz, ako napr
    4x2{\displaystyle 4x^{2}}

    , nikdy nemôžete nájsť jedinú „odpoveď“ alebo „riešenie.“ Mohli by ste zistiť, že ak

    x=1{\displaystyle x=1}

    , potom by výraz mal hodnotu 4, a ak

    x=2{\displaystyle x=2}

    , potom výraz bude mať hodnotu

    (4)(2)2{\displaystyle (4)(2)^{2}}

    , čo je 16. Ale nemôžete dostať jedinú „odpoveď.“

Časť 2 z 5:Uplatňovanie poradia operácií


Naučte sa PEMDAS. V algebre sa musia jednotlivé kroky uskutočniť v logickom poradí, ktoré sa nazýva „poradie operácií“.“ Často sa to zjednodušuje pomocou mnemotechnickej pomôcky „PEMDAS.“ Písmená PEMDAS vám pomôžu zistiť, ktoré operácie treba vykonať v poradí. Písmená PEMDAS znamenajú: [4]

  • Parentheses.
  • Exponenty.
  • Násobenie.
  • Delenie.
  • Sčítanie.
  • Odčítanie.


Najskôr vykonajte operácie vnútri zátvoriek. Keď máte výraz alebo rovnicu, ktorá obsahuje členy v zátvorkách, musíte najprv urobiť to, čo je v zátvorkách. Uvažujme rozdiel medzi

53+2{\displaystyle 5*3+2}

a

5(3+2){\displaystyle 5*(3+2)}

.[5]

  • Bez zátvoriek je prvý výraz ,
    53+2{\displaystyle 5*3+2}

    , by sa stal

    15+2=17{\displaystyle 15+2=17}

    .

  • So zátvorkami,
    5(3+2){\displaystyle 5*(3+2)}

    , najprv vykonáte (3+2), takže zjednodušený výraz bude

    55=25{\displaystyle 5*5=25}

    .


Zjednodušte všetky nasledujúce exponenty. Rozdelenie je potrebné vykonať ako ďalšiu časť zjednodušovania alebo riešenia úlohy. Uvažujme výraz

322{\displaystyle 3*2^{2}}

. Bez poradia operácií by ste nevedeli, či máte najprv vynásobiť

32{\displaystyle 3*2}

a potom výsledok odmocniť, takže vaša hodnota je 36, alebo ak najprv odmocníte 2 a potom vynásobíte 3. Pomocou programu PEMDAS je správna operácia: [6]

  • 322{\displaystyle 3*2^{2}}
  • 34{\displaystyle 3*4}

    ….Najprv odmocnite 2.

  • 12{\displaystyle 12}

    ….Toto je očakávaný výsledok.


Násobenie alebo delenie sprava doľava. M a D sú ďalšie dve časti PEMDAS a idú spolu. Po vykonaní akýchkoľvek exponentov potom vykonáte násobenie alebo delenie zľava doprava.[7]

  • 3+426/3{\displaystyle 3+4*2-6/3}
  • 3+82{\displaystyle 3+8-2}

    ….4*2=8 a 6/3=2. Tieto úkony možno vykonať v tom istom kroku.


Sčítanie alebo odčítanie sprava doľava. A a S sú posledné kroky PEMDAS. Znamená to, že sa sčítajú alebo odčítajú všetky členy, ktoré vo výraze zostanú. Sčítanie a odčítanie môžete vykonať v tom istom kroku, pričom sa v úlohe pohybujete sprava doľava. Uvažujme výraz

4+2315+2{\displaystyle 4+2-3-1-5+2}

:[8]

  • 4+2315+2{\displaystyle 4+2-3-1-5+2}
  • 6315+2{\displaystyle 6-3-1-5+2}

    ….(Sčítaj 4+2)

  • 315+2{\displaystyle 3-1-5+2}

    ….(Odčítať 6-3)

  • 25+2{\displaystyle 2-5+2}

    ….(Odpočítajte 3-1)

  • 3+2{\displaystyle -3+2}

    ….(Odčítať 2-5)

  • 1{\displaystyle -1}

    ….(Pridajte -3+1)

  • Ak vykonáte kroky v inom poradí, môžete dostať iný, nesprávny výsledok. Predpokladajme napríklad, že ste sa rozhodli najprv vykonať všetky sčítania a potom odčítania:
  • 4+2315+2{\displaystyle 4+2-3-1-5+2}
  • 6317{\displaystyle 6-3-1-7}

    ….(Pridajte 4+2 a pridajte 5+2)

  • 317{\displaystyle 3-1-7}

    ….(Odčítanie 6-3)

  • 27{\displaystyle 2-7}

    ….(Odčítať 3-1)

  • 5{\displaystyle -5}

    ….(Odčítanie 2-7. Výsledok je -5, čo je nesprávne.)

Časť 3 z 5:Práca s premennými


Zvyknite si na iné symboly ako čísla. Na začiatku matematiky sa pracovalo len s číslami. Učenie algebry je o schopnosti riešiť problémy s neznámymi výrazmi. Tieto neznáme členy sú v úlohách reprezentované písmenami. Musíte si zvyknúť zaobchádzať s týmito písmenami ako s číslami, hoci ich skutočnú hodnotu ešte nemusíte poznať. Medzi bežné príklady premenných patria: [9]

  • Písmená, ako napr
    x{\displaystyle x}

    ,

    y{\displaystyle y}

    alebo

    z{\displaystyle z}
  • grécke symboly, ako napr
    θ{\displaystyle \theta }

    ,

    α{\displaystyle \alpha }

    alebo

    σ{\displaystyle \sigma }

    .

  • Uvedomte si, že niektoré symboly môžu vyzerať ako premenné, ale v skutočnosti sú to známe čísla. Napríklad grécky symbol pí,
    π{\displaystyle \pi }

    , znamená číslo 3.1415.


Premennú považujte za neznámy držiak miesta. Ak sa zamyslíte nad vetou „Dvakrát nejaké číslo“, môžete ju vyjadriť pomocou premennej ako

2x{\displaystyle 2*x}

. Premenná

x{\displaystyle x}

zaberá miesto neznámej „nejaké číslo.“ Zvyčajne je vašou úlohou v algebrickej úlohe nájsť hodnotu premennej.[10]

  • Napríklad, keď začnete s rovnicou
    4+x=9{\displaystyle 4+x=9}

    , Musíte premýšľať: „Aké číslo pripočítané k číslu 4 vytvorí 9?“ Riešenie je 5, ktoré môžete algebraicky zapísať ako

    x=5{\displaystyle x=5}

    .


Kombinujte spoločné premenné spolu. Keď sa naučíte zaobchádzať s premennými ako s číslami, môžete ich kombinovať alebo zjednodušovať tak, ako to robíte s číslami. Zvyčajne sa to označuje ako „spájanie podobných výrazov.“[11]

  • Napríklad,
    2x+3x=10{\displaystyle 2x+3x=10}

    znamená, že 2 z nejakej premennej pridané k 3 z tej istej premennej sa rovnajú 10. Ak máte 2 z niečoho a 3 z toho istého, môžete ich sčítať. Potom,

    2x+3x{\displaystyle 2x+3x}

    sa stane 5x, takže váš problém je

    5x=10{\displaystyle 5x=10}

    , a riešenie je

    x=2{\displaystyle x=2}

    .

  • Rovnakú premennú môžete iba sčítať alebo odčítať. Niektoré úlohy z algebry môžu obsahovať dve alebo viac premenných. V probléme
    2x+3y=10{\displaystyle 2x+3y=10}

    , nemôžete kombinovať

    x{\displaystyle x}

    a

    y{\displaystyle y}

    výrazy spolu, pretože rôzne premenné predstavujú rôzne neznáme čísla.

4. časť z 5:Riešenie algebrických úloh s inverznými operáciami


Naučte sa koncept inverzných funkcií. Jedným z kľúčov k úspechu v algebre je vykonávanie inverzných funkcií. Slovo „inverzný“ znamená opačný. Inverzné funkcie sú spôsobom, ako zrušiť alebo rozpliesť problém. Ak vybraná úloha obsahuje napríklad násobenie, na jej riešenie použijete delenie, ktoré je inverzné k násobeniu.[12]

  • Inverznou operáciou sčítania je odčítanie.
  • Inverzný postup odčítania je sčítanie.
  • Inverzným vyjadrením násobenia je delenie.
  • Inverzný postup delenia je násobenie.
  • Inverzný exponent je odmocnina (odmocnina, kocka, atď.).


Zameranie sa na izoláciu premennej. Ak sa od vás žiada, aby ste „vyriešili“ rovnicu, znamená to, že na konci chcete dostať

x={\displaystyle x=}

__, s nejakým číslom na prázdnom mieste. Musíte použiť algebru, aby ste všetko ostatné presunuli preč od

x{\displaystyle x}

člen, takže je sám na jednej strane znamienka rovnosti. Urobíte to pomocou série inverzných operácií.[13]

  • Kľúčovým pravidlom, ktoré si treba zapamätať, je, že akúkoľvek operáciu vykonáte na jednej strane rovnice, musíte to isté urobiť aj na opačnej strane rovnice. Tým bude rovnica vyvážená a stále rovnaká.


Zrušiť sčítanie pomocou odčítania (a naopak). Jednotlivé členy rovnice sú spojené kombináciou znamienok plus a mínus. Môžete ich „zrušiť“ a získať samotnú premennú tak, že vykonáte opačnú funkciu.[14]

  • Ak napríklad začnete s
    x+3=7{\displaystyle x+3=7}

    , chcete, aby sa

    x{\displaystyle x}

    sám. Inverzná hodnota

    +3{\displaystyle +3}

    je

    3{\displaystyle -3}

    . Nezabudnite, že všetko musíte robiť rovnako na oboch stranách rovnice. Takže dostanete:

    • x+3=7{\displaystyle x+3=7}
    • x+33=73{\displaystyle x+3-3=7-3}

      ….(odčítajte 3 rovnako na oboch stranách)

    • x=4{\displaystyle x=4}

      ….(+3 a -3 sa navzájom vyrušia a vznikne riešenie)

  • Ak začnete s úlohou na odčítanie, zrušíte ju rovnakým spôsobom ako pri sčítaní:
    • x8=12{\displaystyle x-8=12}
    • x8+8=12+8{\displaystyle x-8+8=12+8}

      ….(k obom stranám pripočítajte 8)

    • x=20{\displaystyle x=20}

      ….(+8 a -8 sa navzájom vyrušia a vznikne riešenie)


Zrušenie násobenia pomocou delenia (a naopak). Rovnakým spôsobom môžete vykonávať inverzné operácie pri násobení a delení. Výraz ako

3x{\displaystyle 3x}

znamená

3x{\displaystyle 3*x}

. Ak chcete získať samotnú premennú, vydelíte. Nezabudnite, že pri rovnici musíte obe strany rovnice rozdeliť rovnakým dielom.[15]

  • Uvažujme o probléme
    3x=24{\displaystyle 3x=24}

    . Keďže ide o úlohu na násobenie, budete ju riešiť delením:

    • 3x=24{\displaystyle 3x=24}
    • 3x3=243{\displaystyle {\frac {3x}{3}}={\frac {24}{3}}}

      ….(Obe strany vydeľte rovnako o 3. Všimnite si, že

      ÷{\displaystyle \div }

      symbol sa v algebre zvyčajne nepoužíva. Namiesto toho zobrazte delenie zapísaním členov ako zlomok.)

    • x=8{\displaystyle x=8}

      ….(trojky na ľavej strane sa navzájom vyrušia a zostane riešenie)

  • To isté urobte pri zrušení úlohy na delenie násobením. Uvažujte o probléme
    x4=9{\displaystyle {\frac {x}{4}}=9}

    :

    • x4=9{\displaystyle {\frac {x}{4}}=9}
    • x44=94{\displaystyle {\frac {x}{4}}*4=9*4}

      ….(vynásobte obe strany číslom 4)

    • x=36{\displaystyle x=36}

      ….(štvorky na ľavej strane sa navzájom vyrušia a zostane riešenie)


Použite kombináciu sčítania/odčítania a násobenia/delenia. Keď sa problémy stanú zložitejšími, možno budete musieť vykonať viacero operácií, aby ste sa dostali k riešeniu. Zvyčajne najprv použijete sčítanie a odčítanie, aby ste vyčlenili premennú s jej koeficientom. Potom na nájdenie riešenia použijete násobenie alebo delenie.[16]

  • 3x+5=23{\displaystyle 3x+5=23}
  • 3x+55=235{\displaystyle 3x+5-5=23-5}

    ….(najprv od oboch strán odpočítajte 5, aby ste ponechali člen x samostatný)

  • 3x=18{\displaystyle 3x=18}

    ….(+5 a -5 sa zrušia na ľavej strane)

  • 3x3=183{\displaystyle {\frac {3x}{3}}={\frac {18}{3}}}

    ….(vydeľte obe strany číslom 3)

  • x=6{\displaystyle x=6}

    ….(trojky na ľavej strane sa navzájom rušia a zostáva riešenie)


Skontrolovať svoj výsledok. V algebre môžete takmer vždy zistiť, či ste úlohu vyriešili správne, tak, že skontrolujete svoju odpoveď. Vezmite nájdené riešenie a vložte ho späť do pôvodnej úlohy na miesto premennej. Potom úlohu zjednodušte, a ak dosiahnete pravdivé tvrdenie, vaše riešenie bolo správne.

  • Vyskúšajte príklad, ktorý ste práve vyriešili,
    3x+5=23{\displaystyle 3x+5=23}

    . Vložte riešenie

    x=6{\displaystyle x=6}

    namiesto premennej:

    • 3x+5=23{\displaystyle 3x+5=23}
    • 3(6)+5=23{\displaystyle 3(6)+5=23}

      ….(Vložte hodnotu

      x=6{\displaystyle x=6}

      .)

    • 18+5=23{\displaystyle 18+5=23}

      ….(Zjednodušte rovnicu.)

    • 23=23{\displaystyle 23=23}

      …. (Toto je pravda, takže vaše riešenie

      x=6{\displaystyle x=6}

      je správne.)

5. časť z 5:Budovanie pevného základu pre učenie


Naučte sa základné matematické fakty. Algebra je systém manipulácie s číslami a operáciami na riešenie problémov. Keď sa učíte algebru, naučíte sa pravidlá, ktoré treba dodržiavať pri riešení úloh. Aby to však bolo jednoduchšie, musíte dobre poznať základné matematické fakty. Mali by ste poznať základné fakty sčítania, odčítania, násobenia a delenia a vedieť s nimi jednoducho pracovať. Konkrétne by ste mali vedieť urobiť nasledovné:[17]

  • Rýchle sčítanie a odčítanie jednociferných čísel v hlave. Schopnosť pracovať s dvojcifernými číslami je ešte užitočnejšia.
  • Poznajte tabuľky násobenia od 1 do 12.
  • Poznať delenie a činitele pre čísla do 144 (12×12).


Precvičte si pravidlá pre zlomky. Algebra používa pravidlá zlomkov rovnako ako akákoľvek iná číselná sústava. Musíte vedieť nájsť spoločného menovateľa, sčítať a odčítať zlomky, násobiť a deliť zlomky. Keď sa naučíš algebru, rozšíriš tieto vedomosti o prácu s neznámymi premennými, ale najprv potrebuješ dobre pochopiť základy.[18]

  • Poznajte význam recipročných čísel. Potrebujete poznať pojem vzájomných čísel. Krátka definícia reciprokého čísla je, že je to zlomok obrátený hore nohami. Teda recipročná hodnota
    23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}

    je

    32{\displaystyle {\frac {3}{2}}}

    , a reciproká hodnota

    45{\displaystyle {\frac {4}{5}}}

    je

    54{\displaystyle {\frac {5}{4}}}

    . Recipročný počet použiješ ako alternatívu k deleniu, keď je úloha zložitá. Namiesto delenia jedným zlomkom môžeš násobiť jeho recipročnou hodnotou.


  • Viete, ako používať záporné čísla. Často budete používať záporné čísla alebo premenné. Skôr ako sa začneš učiť algebru, mal by si si zopakovať, ako sčítať, odčítať, násobiť a deliť záporné čísla. Tu je niekoľko základných pravidiel pre prácu so zápornými číslami.[19]
    Môžete si tiež pozrieť naše články o sčítaní a odčítaní záporných čísel a delení a násobení záporných čísel.

    • Na číselnej priamke je záporné číslo v rovnakej vzdialenosti od nuly ako kladné, ale v opačnom smere.
    • Zápor plus zápor bude tiež záporný. Sčítaním dvoch záporných čísel sa číslo stane zápornejším.
    • Dve záporné znamienka spolu sa navzájom rušia. Odčítanie záporného čísla je rovnaké ako sčítanie kladného čísla.
      • 4-(-3) je to isté ako 4+3 = 7.
    • Násobenie alebo delenie dvoch záporných čísel dáva kladnú odpoveď.
    • Násobenie alebo delenie jedného kladného a jedného záporného čísla dáva zápornú odpoveď.
  • Odkazy