Ako porozumieť kalkulačke (s obrázkami)

Kalkul je odvetvie matematiky zamerané na limity, funkcie, derivácie, integrály a nekonečné rady. Tento predmet tvorí hlavnú časť matematiky a je základom mnohých rovníc, ktoré opisujú fyziku a mechaniku.[1]
Na dobré pochopenie počtov budete pravdepodobne potrebovať kurz na vysokej škole, ale tento článok vám pomôže začať a pomôže vám sledovať dôležité pojmy, ako aj technické poznatky.

Časť 1 z 3:Prehľad základov kalkulu


Vedzte, že kalkulus je štúdium toho, ako sa veci menia. Kalkul je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá číslami a riadkami, zvyčajne z reálneho sveta, a mapuje, ako sa menia. Hoci sa to na prvý pohľad nemusí zdať užitočné, kalkulus je jedným z najpoužívanejších odvetví matematiky na svete. Predstavte si, že máte k dispozícii nástroje, ktoré vám kedykoľvek umožnia preskúmať, ako rýchlo rastie vaša firma, alebo vykresliť kurz vesmírnej lode a zistiť, ako rýchlo spaľuje palivo. Kalkul je dôležitým nástrojom v inžinierstve, ekonómii, štatistike, chémii a fyzike a pomohol vytvoriť mnoho skutočných vynálezov a objavov.[2]


Nezabudnite, že funkcie sú vzťahy medzi dvoma číslami a používajú sa na mapovanie vzťahov v reálnom svete. Funkcie sú pravidlá pre vzájomný vzťah čísel a matematici ich používajú na vytváranie grafov. Vo funkcii má každý vstup presne jeden výstup. Napríklad v

y=2x+4,{\displaystyle y=2x+4,}

každá hodnota

x{\displaystyle x}

poskytuje novú hodnotu

y.{\displaystyle y.}

Ak

x=2,{\displaystyle x=2,}

potom

y=8.{\displaystyle y=8.}

Ak

x=10,{\displaystyle x=10,}

potom

y=24.{\displaystyle y=24.}

[3]
Celý kalkul študuje funkcie, aby zistil, ako sa menia, a používa funkcie na mapovanie vzťahov v reálnom svete.

  • Funkcie sa často zapisujú ako
    f(x)=x+3.{\displaystyle f(x)=x+3.}

    To znamená, že funkcia

    f(x){\displaystyle f(x)}

    vždy pripočíta 3 k číslu, ktoré ste zadali pre

    x.{\displaystyle x.}

    Ak chcete zadať 2, napíšte

    f(2)=(2)+3,{\displaystyle f(2)=(2)+3,}

    alebo

    f(2)=5.{\displaystyle f(2)=5.}
  • Funkcie môžu mapovať aj zložité pohyby. NASA má napríklad funkciu, ktorá opisuje, ako rýchlo raketa poletí na základe množstva spáleného paliva, odporu vetra a hmotnosti samotnej rakety.


Zamyslite sa nad pojmom nekonečno. Nekonečno je, keď opakujete nejaký proces stále dokola. Nejde o konkrétne miesto (nemožno ísť do nekonečna), ale skôr o správanie čísla alebo rovnice, ak sa to robí donekonečna. Je to dôležité pri štúdiu zmien: možno chcete vedieť, ako rýchlo sa vaše auto pohybuje v danom čase, ale znamená to, ako rýchlo ste sa v tej aktuálnej sekunde? Milisekundy? Nanosekunda? Mohli by ste nájsť nekonečne menšie množstvá času, aby ste boli mimoriadne presní, a práve tu prichádza na rad počítanie.


Pochopiť pojem limity. Limita hovorí, čo sa stane, keď sa niečo blíži k nekonečnu. Vezmite číslo 1 a vydeľte ho číslom 2. Potom ho stále dokola delte dvomi. Z 1 by sa stala 1/2, potom 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 atď. Zakaždým je číslo menšie a menšie, čím sa „približuje“ k nule. Ale kde by sa to skončilo? Koľkokrát musíte vydeliť 1 číslom 2, aby ste dostali nulu? V kalkulačke namiesto odpovede na túto otázku nastavíte limita. V tomto prípade je limita 0.[4]

  • Limity sa najľahšie vidia na grafe – sú to napríklad body, ktorých sa graf takmer dotýka, ale nikdy sa nedotýka?
  • Hranice môžu byť čísla, nekonečno, alebo dokonca nemusia existovať. Ak napríklad sčítate 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + … navždy, vaše konečné číslo by bolo nekonečne veľké. Limita by bola nekonečno.


Zopakovať si základné matematické pojmy z algebry, trigonometrie a predpočítavania. Kalkulácia nadväzuje na mnohé formy matematiky, ktoré ste sa učili už dávno. Úplná znalosť týchto predmetov vám výrazne uľahčí učenie a pochopenie počtov.[5]
Odborný zdroj
Daron Cam
Akademický tútor
Rozhovor s odborníkom. 29. mája 2020.
Niektoré témy na osvieženie:

  • Algebra. Pochopiť rôzne procesy a vedieť riešiť rovnice a sústavy rovníc pre viac premenných. Pochopte základné pojmy množín. Vedieť vykresliť graf rovníc.
  • Geometria. Geometria je štúdium tvarov. pochopiť základné pojmy trojuholníkov, štvorcov a kružníc a vypočítať, ako je plocha a obvod. Pochopenie uhlov, priamok a súradnicových systémov
  • Trigonometria. Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá vlastnosťami kružníc a pravouhlých trojuholníkov. Vedieť používať trigonometrické identity, grafy, funkcie a inverzné trigonometrické funkcie.


Kúpte si grafickú kalkulačku. Kalkuláciu nie je ľahké pochopiť bez toho, aby ste videli, čo robíte. Grafické kalkulačky preberajú funkcie a zobrazujú ich vizuálne, čo vám umožňuje lepšie pochopiť rovnice, ktoré píšete a s ktorými manipulujete. Často môžete na obrazovke vidieť limity a automaticky vypočítať derivácie a funkcie.

  • Mnohé smartfóny a tablety dnes ponúkajú lacné, ale účinné aplikácie na tvorbu grafov, ak si nechcete kupovať plnohodnotnú kalkulačku.

2. časť z 3:Pochopenie derivátov


Vedieť, že kalkulus sa používa na štúdium „okamžitej zmeny.“ Vedieť, prečo sa niečo mení práve v danom okamihu, je podstatou počítania. Kalkulačka vám napríklad povie nielen rýchlosť vášho auta, ale aj to, ako veľmi sa táto rýchlosť v danom okamihu mení. Toto je jedno z najjednoduchších použití počtov, ale je nesmierne dôležité. Predstavte si, ako by tieto vedomosti boli užitočné pre rýchlosť vesmírnej lode, ktorá sa snaží dostať na Mesiac! [6]

  • Zisťovanie okamžitej zmeny sa nazýva diferenciácia. Diferenciálny počet je prvým z dvoch hlavných odvetví kalkulu.


Na pochopenie toho, ako sa veci menia okamžite, použite deriváty. Derivát je módne znejúce slovo, ktoré vzbudzuje obavy. Samotný pojem však nie je až také ťažké pochopiť – znamená len „ako rýchlo sa niečo mení.“ Najbežnejšie derivácie v každodennom živote sa týkajú rýchlosti. Pravdepodobne to však nenazývate „derivácia rýchlosti“ – hovoríte tomu „zrýchlenie.“

  • Zrýchlenie je derivácia – hovorí, ako rýchlo sa niečo zrýchľuje alebo spomaľuje, alebo ako sa rýchlosť mení.


Vedzte, že rýchlosť zmeny je sklon medzi dvoma bodmi. Toto je jeden z kľúčových poznatkov kalkulu. Rýchlosť zmeny medzi dvoma bodmi sa rovná sklonu priamky, ktorá ich spája. Predstavte si základnú priamku, napríklad rovnicu

y=3x.{\displaystyle y=3x.}

Sklon priamky je 3, čo znamená, že pre každú novú hodnotu

x,{\displaystyle x,} y{\displaystyle y}

sa zmení o 3. Sklon je to isté ako rýchlosť zmeny: sklon tri znamená, že priamka sa mení o 3 pri každej zmene

x.{\displaystyle x.}

Keď

x=2,y=6;{\displaystyle x=2,y=6;}

keď

x=3,y=9.{\displaystyle x=3,y=9.}
  • Sklon priamky je zmena y vydelená zmenou x.
  • Čím je sklon väčší, tým je priamka strmšia. O strmých priamkach možno povedať, že sa menia veľmi rýchlo.
  • Zopakujte si, ako nájsť sklon priamky, ak máte v pamäti nejasnosti.


Vedzte, že môžete nájsť sklon zakrivených priamok. Zistenie sklonu priamky je pomerne jednoduché: o koľko sa

y{\displaystyle y}

zmena pre každú hodnotu

x?{\displaystyle x?}

Napriek tomu zložité rovnice s krivkami, ako napr

y=x2{\displaystyle y=x^{2}}

sú oveľa ťažšie nájditeľné. Stále však môžete zistiť rýchlosť zmeny medzi ľubovoľnými dvoma bodmi – jednoducho medzi nimi nakreslite priamku a vypočítajte sklon.

  • Napríklad v
    y=x2,{\displaystyle y=x^{2},}

    môžete vziať ľubovoľné dva body a získať sklon. Vezmite si

    (1,1){\displaystyle (1,1)}

    a

    (2,4).{\displaystyle (2,4).}

    Sklon medzi nimi by sa rovnal

    4121=31=3.{\displaystyle {\frac {4-1}{2-1}}={\frac {3}{1}}=3.}

    To znamená, že rýchlosť zmeny medzi

    x=1{\displaystyle x=1}

    a

    x=2{\displaystyle x=2}

    je 3.


Priblížte svoje body k sebe, aby ste dosiahli presnejšiu rýchlosť zmeny. Čím bližšie sú vaše dva body, tým presnejšia je vaša odpoveď. Povedzme, že chcete vedieť, ako veľmi vaše auto zrýchli hneď po zošliapnutí plynu. Nechcete merať zmenu rýchlosti medzi vaším domom a obchodom s potravinami, chcete merať zmenu rýchlosti v sekunde po stlačení plynu. Čím bližšie bude vaše meranie k tomuto zlomku sekundy, tým presnejšie bude vaše meranie.

  • Vedci napríklad skúmajú, ako rýchlo niektoré druhy vymierajú, aby sa ich pokúsili zachrániť. V zime však často uhynie viac zvierat ako v lete, takže skúmanie rýchlosti zmeny v priebehu celého roka nie je také užitočné – zistili by rýchlosť zmeny medzi bližšími bodmi, napríklad od 1. júla do 1. augusta.


Na nájdenie „okamžitej rýchlosti zmeny“ alebo derivácie použite nekonečne malé čiary. Práve tu sa počty často stávajú mätúcimi, ale v skutočnosti je to výsledok dvoch jednoduchých skutočností. Po prvé, viete, že sklon priamky sa rovná tomu, ako rýchlo sa mení. Po druhé, viete, že čím bližšie sú body vašej priamky, tým presnejší bude údaj. Ale ako môžete zistiť rýchlosť zmeny v jednom bode, ak sklon je vzťah dvoch bodov? Odpoveď: vyberiete dva body nekonečne blízko seba.

  • Spomeňte si na príklad, v ktorom stále dokola delíte 1 číslom 2 a dostávate 1/2, 1/4, 1/8 atď. Nakoniec sa dostanete tak blízko k nule, že odpoveď je „prakticky nulová.“ Tu sa vaše body dostanú tak blízko k sebe, že sú „prakticky okamžité.“ To je podstata derivátov.


Naučte sa brať rôzne derivácie. Existuje veľa rôznych techník na nájdenie derivácie v závislosti od rovnice, ale väčšina z nich má zmysel, ak si zapamätáte základné princípy derivácií uvedené vyššie. Všetky derivácie sú spôsob, ako nájsť sklon vašej „nekonečne malej“ priamky. Teraz, keď už poznáte teóriu derivácií, veľkú časť práce tvorí hľadanie odpovedí.


Nájdite rovnice derivácie na predpovedanie rýchlosti zmeny v ľubovoľnom bode. Použitie derivácií na zistenie miery zmeny v jednom bode je užitočné, ale krása kalkulu spočíva v tom, že umožňuje vytvoriť nový model pre každú funkciu. Derivácia

y=x2,{\displaystyle y=x^{2},}

je napríklad

y=2x.{\displaystyle y^{\prime }=2x.}

To znamená, že môžete nájsť deriváciu pre každý bod na grafe

y=x2{\displaystyle y=x^{2}}

jednoducho tak, že ho zapojíte do derivácie. V bode

(2,4),{\displaystyle (2,4),}

kde

x=2,{\displaystyle x=2,}

derivácia je 4, pretože

y=2(2).{\displaystyle y^{\prime }=2(2).}
  • Existujú rôzne zápisy pre derivácie. V predchádzajúcom kroku boli derivácie označené prvočíslom – pre deriváciu
    y,{\displaystyle y,}

    by ste napísali

    y.{\displaystyle y^{\prime }.}

    Tento postup sa nazýva Lagrangeov zápis.

  • Existuje aj iný populárny spôsob zápisu derivácií. Namiesto použitia symbolu prvočísla napíšeme
    ddx.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}.}

    Pamätajte si, že funkcia

    y=x2{\displaystyle y=x^{2}}

    závisí od premennej

    x.{\displaystyle x.}

    Potom zapíšeme deriváciu ako

    dydx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}

    – derivácia

    y{\displaystyle y}

    vzhľadom na

    x.{\displaystyle x.}

    Toto sa nazýva Leibnizov zápis.


Ak máte stále problémy s pochopením, spomeňte si na príklady derivácií z reálneho života. Najjednoduchší príklad vychádza z rýchlosti, ktorá ponúka množstvo rôznych derivácií, s ktorými sa stretávame každý deň. Zapamätajte si, derivácia je miera toho, ako rýchlo sa niečo mení. Predstavte si základný experiment. Kutáľate guľôčku po stole a meriate, ako ďaleko sa zakaždým posunie a ako rýchlo sa pohybuje. Teraz si predstavte, že valiaca sa guľôčka sleduje priamku na grafe – pomocou derivácií môžete merať okamžité zmeny v ľubovoľnom bode tejto priamky.

  • Ako rýchlo sa mení poloha guľôčky? Aká je rýchlosť zmeny alebo derivácia pohybu guľôčky? Túto deriváciu nazývame „rýchlosť.“
  • Kotúľajte guľôčku po svahu a sledujte, ako rýchlo naberá rýchlosť. Aká je rýchlosť zmeny alebo derivácia rýchlosti guľôčky? Túto deriváciu nazývame „zrýchlenie“.“
  • Kotúľajte guľôčku po dráhe hore a dole ako na horskej dráhe. Ako rýchlo guľôčka naberá rýchlosť smerom dolu kopcom a ako rýchlo stráca rýchlosť smerom hore kopcom? Ako rýchlo sa guľôčka pohybuje presne v polovici prvého kopca? Toto by bola okamžitá rýchlosť zmeny alebo derivácia tejto guľôčky v jej jednom konkrétnom bode.

Časť 3 z 3:Pochopenie integrálov


Vedzte, že na hľadanie komplexných plôch a objemov používate počítanie. Výpočet vám umožňuje merať zložité tvary, ktoré sú za normálnych okolností príliš zložité. Premýšľajte napríklad o tom, že sa snažíte zistiť, koľko vody je v dlhom jazere zvláštneho tvaru – nebolo by možné merať každý galón vody zvlášť alebo použiť pravítko na zmeranie tvaru jazera. Výpočet umožňuje skúmať, ako sa menia okraje jazera, a použiť túto informáciu na zistenie, koľko vody je vo vnútri.[7]

  • Vytváranie geografických modelov a skúmanie objemu sa používa integrácia. Integrácia je druhým hlavným odvetvím kalkulu.


Vedzte, že integráciou sa zistí plocha pod grafom. Integrácia sa používa na meranie priestoru pod ľubovoľnou priamkou, čo vám umožňuje nájsť plochu nepárnych alebo nepravidelných útvarov. Vezmite si rovnicu

y=4x2,{\displaystyle y=4-x^{2},}

ktorý vyzerá ako prevrátené písmeno U.“ Možno budete chcieť zistiť, koľko miesta je pod písmenom U, a na to môžete použiť integráciu. Hoci sa to môže zdať zbytočné, spomeňte si na využitie vo výrobe – môžete vytvoriť funkciu, ktorá vyzerá ako nová časť, a pomocou integrácie zistiť plochu tejto časti, čo vám pomôže objednať správne množstvo materiálu.


Vedzte, že na integráciu musíte vybrať oblasť. Nemôžete jednoducho integrovať celú funkciu. Napríklad,

y=x{\displaystyle y=x}

je uhlopriečka, ktorá pokračuje donekonečna a nemôžete ju celú integrovať, pretože by sa nikdy neskončila. Pri integrovaní funkcií musíte zvoliť oblasť, napr

[2,5]{\displaystyle [2,5]}

(všetky hodnoty x medzi 2 a 5 vrátane).


Spomeňte si, ako nájsť plochu obdĺžnika. Predstavte si, že máte nad grafom rovnú čiaru, ako napr

y=4.{\displaystyle y=4.}

Ak chcete nájsť plochu pod ním, musíte nájsť plochu obdĺžnika medzi

y=0{\displaystyle y=0}

a

y=4.{\displaystyle y=4.}

Toto sa dá ľahko odmerať, ale nikdy to nebude fungovať v prípade krivých čiar, ktoré sa nedajú ľahko premeniť na obdĺžniky.


Vedzte, že integrácia sčítava mnoho malých obdĺžnikov, aby ste našli plochu. Ak krivku priblížite veľmi blízko, vyzerá plochá. Toto sa deje každý deň – krivku Zeme nevidíte, pretože sme tak blízko jej povrchu. Integrácia vytvára nekonečný počet malých obdĺžnikov pod krivkou, ktoré sú také malé, že sú v podstate ploché, čo vám umožňuje ich zmerať. Sčítajte ich všetky dohromady, aby ste získali plochu pod krivkou.

  • Predstavte si, že sčítavate veľa malých plátkov pod grafom a šírka každého plátku je “takmer“ nulová.


Vedieť správne čítať a zapisovať integrály. Integrály majú 4 časti. Typický integrál vyzerá takto:

f(x)dx{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x}

  • Prvý symbol,
    ,{\displaystyle \int ,}

    je symbol pre integráciu (je to vlastne podlhovasté S).

  • Druhá časť,
    f(x),{\displaystyle f(x),}

    je vaša funkcia. Keď je vnútri integrálu, nazýva sa integrál.

  • Nakoniec
    dx{\displaystyle \mathrm {d} x}

    na konci vám povie, vzhľadom na akú premennú integrujete. Pretože funkcia

    f(x){\displaystyle f(x)}

    závisí od

    x,{\displaystyle x,}

    to je to, čo by ste mali integrovať vzhľadom na.

  • Nezabudnite, že premenná, ktorú integrujete, nebude vždy
    x,{\displaystyle x,}

    takže si dávajte pozor na to, čo zapisujete.


Naučte sa, ako nájsť integrály. Integrácia má mnoho podôb a na integráciu každej funkcie sa budete musieť naučiť veľa rôznych vzorcov. Všetky sa však riadia vyššie uvedenými princípmi: integrácia sumuje nekonečný počet vecí.

  • Integrácia substitúciou.
  • Vypočítajte neurčité integrály.
  • Integrovať po častiach.


Vedieť, že integrácia mení diferenciáciu a naopak. Toto je železné pravidlo kalkulu, ktoré je také dôležité, že má svoj vlastný názov: Základná veta kalkulu. Keďže integrácia a diferenciácia spolu tak úzko súvisia, ich kombináciou možno zistiť mieru zmeny, zrýchlenie, rýchlosť, polohu, pohyb atď. bez ohľadu na to, aké informácie máte.

  • Zapamätajte si, že napríklad derivácia rýchlosti je zrýchlenie, takže môžete použiť rýchlosť na nájdenie zrýchlenia. Ak však poznáte len zrýchlenie niečoho (napríklad predmetov padajúcich v dôsledku gravitácie), môžete ho integrovať a zistiť rýchlosť!

  • Vedieť, že integráciou možno zistiť aj objem 3D objektov. Otáčanie rovinného útvaru dookola je spôsob, ako vytvoriť 3D telesá. Predstavte si, že na stole pred sebou otáčate mincu – všimnite si, ako sa pri otáčaní zdá, že tvorí guľu. Tento koncept môžete použiť na zistenie objemu v procese známom ako „objem otáčaním.“[8]

    • To vám umožní nájsť objem ľubovoľného telesa na svete, pokiaľ máte funkciu, ktorá ho zrkadlí. Môžete napríklad vytvoriť funkciu, ktorá sleduje dno jazera, a potom ju použiť na zistenie objemu jazera, teda koľko vody sa v ňom nachádza.
  • Odkazy