Ako porozumieť komplexným číslam

Keď sme sa prvýkrát naučili počítať, začali sme s prirodzenými číslami – 1, 2, 3 atď. Krátko nato sme pridali 0, aby sme reprezentovali myšlienku ničoty. Potom sme sčítali záporné čísla, aby sme vytvorili celé čísla, ktoré boli o niečo menej intuitívne, ale pojmy ako dlh nám pomohli upevniť ich pochopenie. Čísla, ktoré vyplnili medzery medzi celými číslami, pozostávajú z racionálnych čísel – čísel, ktoré možno zapísať ako podiel dvoch celých čísel

ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

– a iracionálne čísla, ktoré nemôžu. Tieto čísla spolu tvoria pole nazývané reálne čísla. V matematike sa toto pole bežne označuje

R.{\displaystyle \mathbb {R} .}

Existuje však mnoho aplikácií, kde reálne čísla nedokážu riešiť problémy. Jedným z najjednoduchších príkladov je riešenie rovnice

x2+1=0.{\displaystyle x^{2}+1=0.}

Neexistujú žiadne reálne riešenia, ale podľa základnej vety algebry existujú musí byť dve riešenia tejto rovnice. Aby sme mohli tieto dve riešenia doplniť, musíme zaviesť komplexné čísla

C.{\displaystyle \mathbb {C} .}

Cieľom tohto článku je poskytnúť čitateľovi intuitívne pochopenie toho, čo sú to komplexné čísla a ako fungujú, a to od základov.

Časť 1 zo 4:Definícia komplexného čísla

Definovať komplexné číslo. Komplexné číslo je číslo, ktoré možno zapísať v tvare

a+bi,{\displaystyle a+bi,}

kde

i=1.{\displaystyle i={\sqrt {-1}}.}

Najdôležitejšou časťou tohto čísla je to, čo

i{\displaystyle i}

je. Na priamke reálnych čísel ho vôbec nenájdeme.

  • Niektoré príklady komplexných čísel sú uvedené nižšie. Všimnite si, že číslo 3 je komplexné číslo. Práve má imaginárnu zložku rovnú 0, pretože
    0i=0.{\displaystyle 0i=0.}
    • 2+3i{\displaystyle 2+3i}
    • 4i{\displaystyle 4-i}
    • 3{\displaystyle 3}
  • Podľa konvencie sa komplexné čísla označujú pomocou premenných
    z{\displaystyle z}

    a

    w,{\displaystyle w,}

    podobné

    x{\displaystyle x}

    a

    y{\displaystyle y}

    označujúce niektoré reálne čísla. Takže hovoríme, že

    z=a+bi.{\displaystyle z=a+bi.}

    Niektorí autori môžu povedať

    z=x+iy.{\displaystyle z=x+iy.}
  • Ako vidíme, teraz máme riešenie rovnice
    x2+1=0.{\displaystyle x^{2}+1=0.}

    Po použití kvadratického vzorca máme

    x=±i.{\displaystyle x=\pm i.}

Pochopte mocniny

i{\displaystyle i}

. Povedali sme, že

i=1.{\displaystyle i={\sqrt {-1}}.}

Potom

i2=1.{\displaystyle i^{2}=-1.}

Ak ju vynásobíme

i{\displaystyle i}

opäť dostávame

i3=i.{\displaystyle i^{3}=-i.}

Vynásobte

i2{\displaystyle i^{2}}

so sebou a dostaneme

i4=1.{\displaystyle i^{4}=1.}

To podčiarkuje zvláštnu vlastnosť imaginárnej jednotky. K dosiahnutiu hodnoty 1 (kladné číslo) sú potrebné štyri cykly, zatiaľ čo k dosiahnutiu čísla na reálnej číselnej priamke -1 sú potrebné len dva cykly.

Rozlišujte reálne čísla a čisto imaginárne čísla. Reálne číslo je číslo, ktoré už poznáte; existuje na priamke reálnych čísel. Čisto imaginárne číslo je číslo, ktoré je určitým násobkom

i.{\displaystyle i.}

Kľúčovým pojmom, ktorý si tu treba všimnúť, je, že žiadne z týchto čisto imaginárnych čísel neleží na priamke reálnych čísel. Namiesto toho ležia na imaginárnej číselnej priamke.

  • Nižšie uvádzame niekoľko príkladov reálnych čísel.
    • 6{\displaystyle 6}
    • 145231{\displaystyle {\frac {145}{231}}}
    • π{\displaystyle \pi }
  • Nižšie je uvedených niekoľko príkladov imaginárnych čísel.
    • 2i{\displaystyle 2i}
    • (3+5)i{\displaystyle ({\sqrt {3}}+{\sqrt {5}})i}
  • Čo má všetkých týchto päť čísel spoločné? Všetky sú súčasťou poľa známeho ako komplexné čísla.
  • Číslo 0 je pozoruhodné tým, že je reálne aj imaginárne.


Rozšírenie reálnej číselnej priamky do druhého rozmeru. Aby sme si uľahčili prácu s imaginárnymi číslami, musíme nakresliť samostatnú os. Táto vertikálna os sa nazýva imaginárna os, označuje sa

Im{\displaystyle \mathrm {Im} }

vo vyššie uvedenom grafe. Podobne aj reálna číselná priamka, ktorú poznáte, je vodorovná priamka, označená

Re.{\displaystyle \mathrm {Re} .}

Naša reálna číselná priamka bola teraz rozšírená do dvojrozmernej komplexná rovina, niekedy sa nazýva Argandov diagram.

  • Ako vidíme, číslo
    a+bi{\displaystyle a+bi}

    možno znázorniť v komplexnej rovine nakreslením šípky z počiatku do tohto bodu.

  • Komplexné číslo si môžeme predstaviť aj ako súradnice v rovine, hoci je mimoriadne dôležité pochopiť, že sme nie zaoberajúce sa reálnou rovinou xy. Jednoducho vyzerajú rovnako, pretože obe sú dvojrozmerné.
  • Možno jednou z najneintuitívnejších častí pochopenia komplexných čísel je, že každá číselná sústava, ktorou sme sa zaoberali – celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla – sa považujú za „usporiadané.“ Napríklad má zmysel uvažovať o čísle 6 ako o čísle väčšom ako 4. V komplexnej rovine však nemá význam porovnávať, či
    4+i{\displaystyle 4+i}

    je väčšie ako

    3+2i.{\displaystyle 3+2i.}

    Inými slovami, komplexné čísla sú neusporiadaným poľom.

Rozdeľte komplexné čísla na reálnu a imaginárnu zložku. Podľa definície možno každé komplexné číslo zapísať v tvare

z=a+bi.{\displaystyle z=a+bi.}

Vieme, že

i=1,{\displaystyle i={\sqrt {-1}},}

čo teda

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

predstavujú?

  • a{\displaystyle a}

    sa nazýva reálna časť komplexného čísla. Označujeme to tak, že povieme, že

    Rez=a.{\displaystyle \operačný názov {Re} z=a.}
  • b{\displaystyle b}

    sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla. Označíme to tak, že povieme, že

    Imz=b.{\displaystyle \operátorname {Im} z=b.}
  • (Dôležité!) Reálne aj imaginárne časti sú reálne čísla. Takže keď sa niekto odvoláva na imaginárnu časť nejakého komplexného čísla

    w=c+di,{\displaystyle w=c+di,}

    vždy sa vzťahujú na reálne číslo

    d,{\displaystyle d,}

    nie

    di.{\displaystyle di.}

    Určite,

    di{\displaystyle di}

    je imaginárny číslo. Ale je to nie imaginárna časť komplexného čísla

    w.{\displaystyle w.}
  • Ako základné cvičenie nájdite reálne a imaginárne časti komplexných čísel uvedených v kroku 1 tejto časti.


Definujte komplexný konjugát. Komplexný konjugát

z¯=abi{\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}

je definovaná ako

z{\displaystyle z}

ale s obráteným znamienkom imaginárnej časti. Konjugáty sú veľmi užitočné v mnohých scenároch. Možno už poznáte skutočnosť, že komplexné riešenia polynomických rovníc sa vyskytujú v konjugovaných dvojiciach. To znamená, že ak

z0{\displaystyle z_{0}}

je riešenie, potom

z0¯{\displaystyle {\bar {z_{0}}}}

musí byť tiež jedna.

  • Aký význam majú konjugáty v komplexnej rovine? Sú odrazom cez reálnu os. Ako je vidieť na vyššie uvedenom diagrame, komplexné číslo
    z=x+iy{\displaystyle z=x+iy}

    má reálnu časť

    x{\displaystyle x}

    a imaginárna časť

    y.{\displaystyle y.}

    jeho konjugovaného

    z¯=xiy{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}

    má rovnakú reálnu časť

    x{\displaystyle x}

    ale negovaná imaginárna časť

    y.{\displaystyle -y.}

Komplexné čísla si predstavte ako súbor dvoch reálnych čísel. Keďže komplexné čísla sú definované tak, že sa skladajú z dvoch zložiek, má zmysel o nich hovoriť ako o dvojrozmerných. Z tohto pohľadu má väčší zmysel robiť analógie pomocou funkcií dvoch reálnych premenných namiesto jednej, hoci väčšina komplexných funkcií sú funkcie jeden komplexná premenná.

Časť 2 zo 4:Aritmetika

Rozšírenie metód aritmetiky na komplexné čísla. Teraz, keď už vieme, čo sú to komplexné čísla, poďme s nimi trochu aritmetiky. Komplexné čísla sú v tomto zmysle podobné vektorom, pretože sčítame a odčítame ich zložky.

  • Povedzme, že chceme sčítať dve komplexné čísla
    z=a+bi{\displaystyle z=a+bi}

    a

    w=c+di.{\displaystyle w=c+di.}

    Potom je sčítanie týchto dvoch komplexných čísel rovnako jednoduché ako samostatné sčítanie reálnej a imaginárnej zložky. Stačí, ak reálne časti sčítame, imaginárne časti pridáme a spočítame.

    • z+w=(a+c)+(b+d)i{\displaystyle z+w=(a+c)+(b+d)i}
  • Rovnaká myšlienka funguje aj pri odčítaní.
    • zw=(ac)+(bd)i{\displaystyle z-w=(a-c)+(b-d)i}
  • Násobenie je podobné FOILingu z algebry.
    • zw=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i{\displaystyle zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i}
  • Delenie je podobné ako racionalizácia menovateľa z algebry. Čitateľa a menovateľa vynásobíme konjugátom menovateľa.
    • zw=a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i{\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i}
  • Zmyslom uvedenia týchto krokov nie je odvodiť vzorce na zapamätanie, aj keď fungujú. Ide o to, aby sme ukázali, že operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia dvoch komplexných čísel musia byť výstupom iného komplexného čísla, ktoré možno zapísať v tvare
    z=x+iy.{\displaystyle z=x+iy.}

    Sčítaním dvoch komplexných čísel dostaneme ďalšie komplexné číslo, delením dvoch komplexných čísel tiež dostaneme ďalšie komplexné číslo atď.

  • Uvedené čiastkové kroky boli síce chaotické, ale ukázali sme ich preto, aby sme mali istotu, že aritmetika komplexných čísel je v súlade s tým, ako sme ich definovali.

Rozšírenie vlastností sčítania reálnych čísel na komplexné čísla. Poznáte komutatívne a asociatívne vlastnosti reálnych čísel. Tieto vlastnosti sa rozširujú aj na komplexné čísla.

  • Sčítanie dvoch komplexných čísel je komutatívne, pretože reálne zložky sčítame samostatne a vieme, že sčítanie reálnych čísel je komutatívne.
    • z+w=w+z{\displaystyle z+w=w+z}
  • Sčítanie dvoch komplexných čísel je z podobného dôvodu asociatívne.
    • (z+w)+v=z+(w+v){\displaystyle (z+w)+v=z+(w+v)}
  • Existuje aditívna identita komplexnej číselnej sústavy. Táto identita sa nazýva 0.
    • z+0=z{\displaystyle z+0=z}
  • Existuje aditívna inverzná hodnota komplexného čísla. Súčet komplexného čísla s jeho aditívnou inverziou je 0.
    • z+(z)=0{\displaystyle z+(-z)=0}

Rozšíriť vlastnosti násobenia reálnych čísel na komplexné čísla.

  • Komutatívna vlastnosť platí pre násobenie.
    • zw=wz{\displaystyle zw=wz}
  • Asociatívna vlastnosť platí aj pre násobenie.
    • (zw)v=z(wv){\displaystyle (zw)v=z(wv)}
  • Pre komplexné čísla platí distribučná vlastnosť.
    • z(w+v)=zw+zv{\displaystyle z(w+v)=zw+zv}
  • Existuje multiplikatívna identita komplexnej číselnej sústavy. Táto identita sa nazýva 1.
    • z(1)=z{\displaystyle z(1)=z}
  • Existuje multiplikatívna inverzná hodnota komplexného čísla. Súčin komplexného čísla s jeho multiplikatívnou inverziou je 1.
    • z1z=1{\displaystyle z{\frac {1}{z}}=1}
  • Prečo sa obťažovať ukazovaním týchto vlastností? Musíme sa uistiť, že komplexné čísla sú „sebestačné.“ To znamená, že spĺňajú väčšinu vlastností reálnych čísel, ktoré všetci poznáme, s jednou dodatočnou výhradou, ktorá je pre reálnu číselnú sústavu cudzia:
    i2=1,{\displaystyle i^{2}=-1,}

    čo robí komplexné čísla jedinečnými. Vlastnosti, ktoré boli stanovené v posledných dvoch krokoch, sú potrebné na to, aby sme komplexné čísla mohli nazvať „poľom.“ Ak napríklad neexistuje niečo také ako multiplikatívna inverzia komplexného čísla, potom nemôžeme definovať, čo je delenie.

  • Hoci rigorózna koncepcia poľa presahuje rámec tohto článku, v podstate ide o to, že vyššie uvedené vlastnosti musí aby veci v komplexnej rovine fungovali pre všetky komplexné čísla, rovnako ako pole reálnych čísel. Našťastie sú všetky tieto pojmy intuitívne v reálnych číslach, takže ich možno ľahko rozšíriť na komplexné čísla.

Časť 3 zo 4:Polárny tvar


Pripomeňte si transformácie súradníc z karteziánskych (pravouhlých) súradníc na polárne súradnice. V reálnej súradnicovej rovine môžu byť súradnice buď pravouhlé, alebo polárne. V karteziánskej sústave môže byť každý bod označený horizontálnou a vertikálnou zložkou. V polárnej sústave sa bod označuje vzdialenosťou od počiatku (veľkosťou) a uhlom od polárnej osi. Takéto transformácie súradníc sú uvedené nižšie.

  • x=rcosθ{\displaystyle x=r\cos \theta }
  • y=rsinθ{\displaystyle y=r\sin \theta }
  • Pri pohľade na uvedený diagram je komplexné číslo
    z{\displaystyle z}

    má dve informácie, ktoré ho definujú:

    r{\displaystyle r}

    a

    ϕ.{\displaystyle \phi .} r{\displaystyle r}

    sa nazýva modul čísla, zatiaľ čo

    ϕ{\displaystyle \phi }

    sa nazýva argument.

Komplexné číslo prepíšte do polárneho tvaru. Substitúciou dostaneme nasledujúci výraz.

  • z=r(cosθ+isinθ){\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}
  • Toto je komplexné číslo v polárnom tvare. Máme jeho veľkosť
    r=x2+y2{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

    na vonkajšej strane. Vnútri zátvoriek máme trigonometrické zložky, ktoré súvisia s karteziánskymi súradnicami pomocou

    θ=tan1yx.{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}.}
  • Niekedy sa výraz vnútri zátvoriek zapisuje ako
    cisθ,{\displaystyle \operatorname {cis} \theta ,}

    čo je skratka pre „cosin plus i sine.“

Kompaktný zápis pomocou Eulerovho vzorca. Eulerov vzorec

eiθ=cosθ+isinθ{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }

je jedným z najužitočnejších vzťahov v komplexnej analýze, pretože zásadne spája exponenciáciu s trigonometriou. V ďalšej časti tohto článku je uvedená vizualizácia komplexnej exponenciálnej funkcie, zatiaľ čo klasické odvodenie radu je uvedené v tipoch.

  • z=reiθ{\displaystyle z=re^{i\theta }}
  • Práve teraz sa môžete spýtať, ako môže byť akékoľvek komplexné číslo reprezentované ako nejaké číslo krát exponenciála? Dôvodom je, že komplexné exponenty rotácie v komplexnej rovine, a to
    eiθ{\displaystyle e^{i\theta }}

    nám dáva informáciu o uhle.

Prepíšte komplexný konjugát v polárnych súradniciach. Vieme, že v komplexnej rovine je konjugát jednoducho odrazom cez reálnu os. To znamená, že

cosθ{\displaystyle \cos \theta }

časť je nezmenená, ale

sinθ{\displaystyle \sin \theta }

mení znamienko.

  • z¯=r(cosθisinθ){\displaystyle {\bar {z}}=r(\cos \theta -i\sin \theta )}
  • Keď zápis zhustíme pomocou Eulerovho vzorca, zistíme, že znamienko exponentu je negované.
    • z¯=reiθ{\displaystyle {\bar {z}}=re^{-i\theta }}

Zopakujte si násobenie a delenie pomocou polárneho zápisu. Pripomeňme si z 2. časti, že zatiaľ čo sčítanie a odčítanie v karteziánskych súradniciach bolo jednoduché, ostatné aritmetické operácie boli dosť nešikovné. V polárnych súradniciach sú však oveľa jednoduchšie.

  • Vynásobiť dve komplexné čísla znamená vynásobiť ich moduly a sčítať ich argumenty. Môžeme to urobiť vďaka vlastnostiam exponentov.
    • z1z2=(r1eiθ1)(r2eiθ2)=r1r2ei(θ1+θ2){\displaystyle z_{1}z_{2}=(r_{1}e^{i\theta _{1}})(r_{2}e^{i\theta _{2}})=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}}
  • Delenie dvoch komplexných čísel znamená delenie ich modulov a odčítanie ich argumentov.
    • z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1θ2){\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}={\frac {r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}}
  • Z geometrického hľadiska je vďaka tomu oveľa jednoduchšie pochopiť komplexné čísla a zjednodušiť takmer všetko, čo súvisí s komplexnými číslami vo všeobecnosti.

Časť 4 zo 4:Vizualizácia exponenciálnej funkcie

Pochopiť graf farebného kolesa komplexnej funkcie. Komplexné funkcie si vyžadujú štyri rozmery, aby sme si plne predstavili ich správanie, pretože komplexné číslo sa skladá z dvoch reálnych častí. Túto prekážku však môžeme obísť tak, že ako parametre použijeme odtieň a jas.

  • Jas je absolútna hodnota (modul) výstupu funkcie. Graf exponenciálnej funkcie nižšie definuje čiernu farbu ako 0.
  • Odtieň je uhol (argument) výstupu funkcie. Jednou z konvencií je definovať červenú ako uhol
    θ=0.{\displaystyle \theta =0.}

    Potom v prírastkoch po

    π3,{\displaystyle {\frac {\pi }{3}},}

    farba prechádza od žltej, zelenej, azúrovej, modrej, purpurovej až po červenú, opäť cez farebný kruh.


  • Vizualizujte exponenciálnu funkciu. Komplexný graf exponenciálnej funkcie poskytuje prehľad o tom, ako môže byť prípadne spojená s trigonometrickými funkciami.

    • Keď sa obmedzíme na reálnu os, jas sa podľa očakávania mení z tmavého (takmer 0) v negatívoch na svetlý v pozitívach.
    • Keď sa však obmedzíme na imaginárnu os, jas zostáva rovnaký, ale odtieň sa periodicky mení s periódou
      2π.{\displaystyle 2\pi .}

      To znamená, že komplexný exponenciál

      eiθ{\displaystyle e^{i\theta }}

      je periodický v imaginárnom smere. To sa dá očakávať z Eulerovho vzorca, pretože trigonometrické funkcie

      cosθ{\displaystyle \cos \theta }

      a

      sinθ{\displaystyle \sin \theta }

      sú periodické s periódami

      2π{\displaystyle 2\pi }

      každý aj.