Ako použiť výpočet na otáčanie kriviek okolo osi: 5 krokov

Naučíte sa otáčať krivku okolo osi x alebo y pomocou počítania a vypočítať objem a povrch, pokiaľ je vaše chápanie krokov počítania na úrovni (pretože toto nie je ani tak článok o učení sa počítania a odvodzovaní konkrétnych odpovedí, ako skôr prostriedok na naučenie sa, ako vytvoriť rotačné teleso alebo povrch).

Keď sa rovinná oblasť, ktorá leží celá na jednej strane pevnej priamky v jej rovine, otáča okolo tejto priamky, vytvára teleso s otáčavým pohybom. Pevná čiara sa nazýva os telesa otáčania.
Na ilustráciu, ak sa oblasť ohraničená polkružnicou a jej priemerom otáča okolo tohto priemeru, vymetá sa z nej guľové teleso. Ak sa oblasť vo vnútri pravouhlého trojuholníka otáča okolo jednej z jeho ramien, vzniká kužeľovité teleso. Keď sa kruhový disk otáča okolo priamky v jeho rovine, ktorá ho nepretína, vzniká torus (alebo šiška).
Všetky rovinné rezy telesa s otáčavým pohybom, ktoré sú kolmé na jeho os, sú kruhové disky alebo oblasti ohraničené dvoma sústrednými kružnicami.
Hľadáme objem telesa s otáčavým pohybom. Najprv však musíme definovať, čo sa rozumie pod pojmom „objem“ otáčajúceho sa telesa.
Tak ako pri každej diskusii o rovinnej ploche, v ktorej sa predpokladá, že plocha obdĺžnika je súčinom jeho dĺžky a šírky, začneme skúmanie objemov telies otáčania predpokladom, že objem pravouhlého valca je πr^2h (π=pi, r=polomer, ^2=kvadrát a h=výška alebo nadmorská výška).

Kroky

  • Oboznámte sa so základným konceptom:

Časť 1 z 2:Výučba: Objem telesa s otáčaním

Začnite otvorením nového zošita v programe Excel z pracovnej plochy, z doku alebo z priečinka Aplikácie v priečinku Microsoft. Dvakrát kliknite na Excel (buď na zelené X v doku, alebo na názov aplikácie v priečinku) a vyberte položku Súbor Nový zošit.

2V Nastaveniach nastavte položku R1C1 na nezačiarknutú alebo Vypnuté, nastavte položku Ribbon na začiarknutú alebo Zapnuté a nastavte položku Show Formula Bar na začiarknutú alebo Zapnuté.

Kliknite do ľavého horného rohu úplne hore nad číslom 1 v riadku 1 a naľavo od stĺpca A. Týmto spôsobom sa vyberie celý pracovný hárok. Formát buniek Číslo Číslo na desatinné miesta 2, zobrazte čiarku. Centrum vyrovnávania formátových buniek. # Prvý pracovný list nazvite „Rotácia funkcie f(x)“ a zošit uložte ako „Rotácia kriviek okolo osi“ do vhodného priečinka, napríklad „Obrázky Microsoft Excel“ alebo „Články wikiHow“.

Do bunky A1 zadajte nasledujúci text a potom nastavte možnosť Zarovnanie formátovania bunky na možnosť Obaliť text:

  • Nech f je funkcia, ktorá je spojitá na uzavretom intervale [a,b], pričom f(x) ≥ 0 pre a ≤ x ≤ b. Chcete definovať objem telesa otáčania vytvoreného otáčaním okolo osi x v oblasti R, ktorá je ohraničená krivkou y = f(x), osou x a zvislými priamkami x = a a x = b. Nech f(x) = sqrt(x) a a = 1 a b = 4.
  • Rozdeľte interval [a,b] na n podintervalov rozdelením P a zvoľte n bodov wi, jeden v každom podintervale. Nakreslite n aproximujúcich obdĺžnikov so základňou [xi-1,xi] a nadmorská výška f(wi), i = 1, 2, 3, … , n; typický z týchto obdĺžnikov je znázornený na obrázku ako obdĺžnik HGFE.
  • Otočte oblasť R okolo osi x, aby ste vytvorili teleso s otáčaním, pričom použite n obdĺžnikov na vymetenie n pravých kruhových valcov. valce vymetené typickým obdĺžnikom, napr. Obdĺžnik HGFE je znázornený na nasledujúcom diagrame; keďže polomer jeho základne je f(wi) a jej výška je ∆xi, jej objem je ∆Vi = π*[f(wi)]^2 *∆xi.
  • Všimnite si, že ak chcete vytvoriť tvar typu podložka, vzorec sa zmení na π * ∫ba [f(x)^2 = g(x)^2]*dx — je to teda určitý integrál rozdielu štvorcov vonkajšej funkcie f(x) a vnútornej (dierovej) funkcie g(x).
  • Všimnite si tiež, že f môže byť spojitá funkcia na [a.b] a ak oblasť ohraničená y = f(x), osou x a priamkami x = a a x = b leží v prvom kvadrante, objem telesa otáčania vytvoreného otáčaním tejto oblasti okolo osi y je V = 2π * ∫ba x*f(x)*dx, ďalší určitý integrál.

Časť 2 z 2:Výučba: Plocha plochy otáčania

  • Uvažujte funkciu f, ktorá je spojitá na intervale [a,b], pričom f(x) ⊵ 0 pre a ⊴ x ⊴ b, a ktorej prvá derivácia f‘ je tiež spojitá na intervale [a,b]. Ak sa oblúk krivky y = f(x) z bodu (a, f(a)) do bodu (b, f(b)) otočí okolo osi x, vznikne plocha otáčania S.

    • Nájdite plochu povrchu otáčania tak, že najprv rozdelíte [a,b] na n intervalov [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n.
    • Nech Qi je bod na krivke, ktorého súradnice sú (xi,f(xi)) a bod (a, f(a)) označme Q0.
    • Potom nech je lomená čiara tvorená n tetivami Qi-1Qi krivky otáčať okolo osi x; vymetie sa plocha, ktorá sa aproximuje k S, a táto aproximácia sa zlepšuje s klesajúcou normou |P| rozdelenia.
    • Uvažujme, že bočná plocha kužeľa so šikmou výškou s a polomermi jeho podstav r1 a r2 je π*(r1 + r2)*s. Teda každý akord Qi-1Qi, pri otáčaní okolo osi x vymetá bočnú plochu kužeľa, ktorého plocha je π*[f(xi-1) + f(xi)]*|Qi-1*Qi|.
    • Uvažujme, že vzhľadom na vzorec pre vzdialenosť oblúka (pozri článok Približná dĺžka oblúka pomocou vzorca pre vzdialenosť), tento môže byť prepísaný a definovaný takto:
      • Nech f a f‘ sú spojité na [a,b] s f(x) ⩾ 0 pre a ⩽ x ⩽ b. Plocha plochy otáčania vynesená otáčaním okolo osi x úsečka krivky y = f(x) z bodu (a, f(a)) do bodu (b, f(b)) je: 2π * ∫ba f(x)*sqrt(1+f'(x)^2)*dx.
      • Príklad: Nájdite plochu plochy otáčania, ktorá vznikne otočením okolo osi x úsečky krivky y = sqrt(x) z (1,1) do (4,2).
      • Riešenie: Dosadením f(x) = sqrt(x) a f ‚(x) = 1/(2*sqrt(x)) do uvedeného vzorca dostaneme: 2π * ∫41 x^.5 * sqrt(1+(1/(2*sqrt(x)))^2)*dx =
      • π * ∫41 sqrt(4x +1) dx (delením sqrt(4) =
      • π/4 * ∫41 (4x +1)^.5 * d(4x +1) =
      • π/4 * [(4x +1)^(3/2)]/(3/2)41 (integráciou) =
      • π/4 * 2/3 * (17^1.5 – 5^1.5) = π/6 * (17^1.5 – 5^1.5) = 30.8465 √
  • Odkazy

    1. „CALCULUS with Analytic Geometry, 2nd edition“, Edwin J. Purcell, 1972, New York, NY 390-72069-0

    2. 1http://www.mathsisfun.com/calculus/integration-rules.html

    3. 2http://www.mathsisfun.com/calculculus/derivatives-rules.html
    4. Hlavným XL pracovným listom použitým pre tento článok bol „Use Calculus to Rotate Curves Around an Axis.xlsx“ podľa C. Garthwaite, 2015