Ako používať pravidlo sínusovky: 11 krokov (s obrázkami)

Pravidlo sínusu, známe aj ako zákon sínusov, je mimoriadne užitočné, keď ide o skúmanie vlastností trojuholníka. Zatiaľ čo tri trigonometrické pomery, sínus, kosínus a tangens, vám môžu veľmi pomôcť pri pravouhlých trojuholníkoch, pravidlo o sínuse bude fungovať aj pri skalených trojuholníkoch. Bez ohľadu na tvar trojuholníka, ak poznáte niektoré obmedzené informácie o jeho uhloch a stranách, môžete na výpočet zvyšku použiť pravidlo sínusu.

Časť 1 z 3:Označovanie trojuholníka


Označte strany. Strany trojuholníka sa tradične označujú tromi po sebe idúcimi písmenami, zvyčajne A, B a C. Na poradí, ktoré si zvolíte na označenie strán, vo všeobecnosti nezáleží, pokiaľ to niečo v probléme, na ktorom pracujete, neurčuje.[1]


Označte si uhly. Označte tri uhly trojuholníka písmenami, ktoré zodpovedajú dĺžkam strán. Ak napríklad pre strany použijete veľké písmená A, B a C, potom uhly označte malými písmenami a, b a c. Môžete použiť aj malé grécke písmená

α,β,γ{\displaystyle \alfa ,\beta ,{\text{a }}\gamma }

. Umiestnite ich tak, aby zodpovedali označeným stranám, teda uhlom

α{\displaystyle \alfa }

je protiľahlá strana A, uhol

β{\displayyle \beta }

je protiľahlá strana B a uhol

γ{\displaystyle \gamma }

je opačná strana C.[2]

  • Jedným zo spôsobov, ako určiť, že strana je „oproti“ zvolenému uhlu, je uistiť sa, že netvorí jeden z lúčov uhla. Ak je označený správne, uhol
    α{\displaystyle \alpha }

    budú tvorené dvoma stranami B a C. Bude to teda „protiľahlá“ strana A.

  • Podobne aj uhol
    β{\displaystyle \beta }

    je tvorený stranami A a C a je protiľahlý strane B.

  • Uhol
    γ{\displaystyle \gamma }

    je tvorený stranami A a B a je protiľahlý strane C.

  • Niektoré matematické texty používajú veľké písmená pre strany a malé písmená pre uhly. Iné robia opak. Nezáleží na tom, pokiaľ ste dôslední.


Označte všetky merania, ktoré poznáte. V úlohe musíte mať zadané nejaké rozmery strán a uhlov. Mali by ste ich vyznačiť na náčrte trojuholníka.[3]

  • Možno budete môcť vypočítať jeden alebo viac rozmerov pomocou niektorých pravidiel geometrie.
    • Ak vám napríklad povieme, že trojuholník je rovnoramenný, potom môžete označiť, že dva z uhlov sú rovnaké, ako aj dve zodpovedajúce strany.
    • Ďalším príkladom je, že ak vám povieme, že dva uhly majú 40 a 75 stupňov, môžete vypočítať, že tretí uhol má hodnotu 65 stupňov, pretože všetky tri uhly musia dať dokopy 180 stupňov.

Časť 2 z 3:Výpočet pomocou pravidla sínusovky


Pochopte pravidlo sínusu. Pravidlo sínusovky, nazývané aj zákon sínusov, je pravidlo trigonometrie, ktoré dáva do vzťahu strany trojuholníka a jeho uhlové miery. Hoci väčšina trigonometrie je založená na vzťahoch pravouhlých trojuholníkov, zákon sínusov sa dá aplikovať na akýkoľvek trojuholník, či už má pravý uhol alebo nie.[4]

  • Zákon sínusov sa uvádza takto:
    • Asinα=Bsinβ=Csinγ{\displaystyle {\frac {A}{\sin \alpha }}={\frac {B}{\sin \beta }}={\frac {C}{\sin \gamma }}
  • Rovnaké pravidlo možno preusporiadať tak, aby vznikli nasledujúce ekvivalentné výroky:
    • sinαA=sinβB=sinγC{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{A}}={\frac {\sin \beta }{B}}={\frac {\sin \gamma }{C}}


Prezrite si potrebné údaje. Aby bol zákon sínusov užitočný, musíte poznať rozmery aspoň dvoch uhlov a jednej strany alebo dvoch strán a jedného uhla. V oboch prípadoch musí existovať aspoň jedna dvojica, ktorú tvorí strana a jej protiľahlý uhol.[5]

  • Na uplatnenie zákona sínusov by stačili napríklad nasledujúce kombinácie:
    • Strana A, strana B a uhol
      α{\displaystyle \alpha }
    • Strana A, strana C a uhol
      γ{\displaystyle \gamma }
    • Strana B, uhol
      β{\displaystyle \beta }

      a uhla

      α{\displaystyle \alpha }
  • Nasledujúce kombinácie sú príkladmi, ktoré by NEstačili na uplatnenie sínusového zákona:
    • Strana A, strana B a strana C. (Toto nefunguje, pretože nemáte žiadne meranie uhlov.)
    • Strana A, strana B a uhol
      γ{\displaystyle \gamma }

      . (Toto nefunguje, pretože známy uhol nie je protiľahlý žiadnej zo známych strán.

    • Strana B, uhol
      α{\displaystyle \alpha }

      a uhol

      γ{\displaystyle \gamma }

      . (Toto nefunguje, pretože známa strana nie je protiľahlá ani jednému zo známych uhlov.)


Napíšte tú časť sínusového zákona, ktorú potrebujete. Zákon sínusov vám pomôže nájsť jednu informáciu o trojuholníku – stranu alebo meranie uhla – ak poznáte tri ďalšie. Hoci celý zákon sínusov je zapísaný ako trojčlenná rovnica, na fungovanie pravidla stačí, ak sa vyrovnajú dve.[6]

  • Ak napríklad poznáte strany A a B a uhol
    α{\displaystyle \alpha }

    , potom potrebujete časť zákona sínusov, ktorá hovorí:

    • Asinα=Bsinβ{\displaystyle {\frac {A}{\sin \alfa }}={\frac {B}{\sin \beta }}}
  • Všimnite si podobnosť zákona. Naozaj nezáleží na tom, aké označenie použijete pre ktorúkoľvek stranu alebo uhol. Dôležité je uvedomiť si, že porovnávate pomery. Pomer ľubovoľnej strany k jej protiľahlému uhlu sa rovná pomeru ľubovoľnej inej strany k jej protiľahlému uhlu.


Doplňte čísla, ktoré poznáte. Predpokladajme, že máte dané, že strana A je 12, uhol

α{\displaystyle \alpha }

je 80 stupňov a uhol

β{\displaystyle \beta }

je 40 stupňov. Nájdite dĺžku strany B. Tieto čísla si môžete vyznačiť na trojuholníku a úlohu zostaviť takto: [7]

  • Asinα=Bsinβ{\displaystyle {\frac {A}{\sin \alfa }}={\frac {B}{\sin \beta }}
  • 12sin80=Bsin40{\displaystyle {\frac {12}{\sin 80}}={\frac {B}{\sin 40}}


Zmenou usporiadania vyriešime neznámu informáciu. Použite základnú algebru na manévrovanie s neznámou tak, aby stála samostatne na oboch stranách rovnice. Potom môžete problém zredukovať a nájsť odpoveď.[8]

  • 12sin80=Bsin40{\displaystyle {\frac {12}{\sin 80}}={\frac {B}{\sin 40}}
  • 12sin40sin80=B{\displaystyle {\frac {12\sin 40}{\sin 80}}=B}
  • 7.83=B{\displaystyle 7.83=B}
  • Ak chcete zistiť hodnotu sínusu uhla, napr
    sin40{\displaystyle \sin 40}

    v uvedenej úlohe môžete použiť väčšinu vreckových kalkulačiek s trigonometrickými funkciami. Rôzne kalkulačky pracujú rôzne. Pri niektorých kalkulačkách najprv zadáte meranie uhla a potom tlačidlo „sin“. Pri ostatných zadáte najprv tlačidlo „sin“ a potom meranie uhla. Budete musieť experimentovať so svojou kalkulačkou.

  • Prípadne sú k dispozícii niektoré tabuľky v matematických knihách alebo na internete. Pomocou trigonometrickej tabuľky môžete v jednom stĺpci nájsť požadovanú mieru uhla a v druhom stĺpci príslušnú hodnotu sínusu, kosínusu alebo tangensu.

Časť 3 z 3:Precvičovanie ďalších úloh


Riešenie neznámeho uhla. Predpokladajme, že ako iný problém poznáte dve strany a potrebujete vyriešiť neznámy uhol. Je dané, že strana A je dlhá 10 palcov, strana B je dlhá 7 palcov a uhol

α{\displaystyle \alpha }

je 50 stupňov. Tieto informácie môžete použiť na zistenie miery uhla

β{\displaystyle \beta }

. Úlohu nastavte takto: [9]

  • Asinα=Bsinβ{\displaystyle {\frac {A}{\sin \alfa }}={\frac {B}{\sin \beta }}
  • 10sin50=7sinβ{\displaystyle {\frac {10}{\sin 50}}={\frac {7}{\sin \beta }}
  • sinβ=7sin5010{\displaystyle \sin \beta ={\frac {7\sin 50}{10}}}
  • sinβ=70.76610{\displaystyle \sin \beta ={\frac {7*0.766}{10}}}
  • sinβ=0.536{\displaystyle \sin \beta =0.536}


V prípade potreby použite inverznú funkciu na zistenie uhla. V uvedenom príklade zákon sínusov poskytuje ako riešenie sínus zvoleného uhla. Ak chcete zistiť mieru samotného uhla, musíte použiť inverznú funkciu sínus. Toto sa nazýva aj arcsínus. Na kalkulačke je to spravidla označené ako

sin1{\displaystyle \sin ^{-1}}

. Pomocou nej zistíme mieru uhla.[10]

  • V uvedenom príklade je posledný krok nasledovný:
    • sinβ=0.536{\displaystyle \sin \beta =0.536}
    • β=arcsin0.536{\displaystyle \beta =\arcsin 0.536}
    • β=32.4{\displaystyle \beta =32.4}

      .


  • Riešenie úlohy s neúplnými informáciami. Predpokladajme, že vám bolo povedané, že uhol

    α=30 stupňov{\displaystyle \alpha =30{\text{ stupňov}}

    , uhol

    β=50 stupňov{\displaystyle \beta =50{\text{ stupňov}}

    , a strana C, ktorá ich spája, je dlhá 10 palcov. Nájdite rozmery všetkých strán a uhlov pre trojuholník.

    • Najskôr by ste si mali uvedomiť, že zatiaľ nemáte dostatok informácií na to, aby sa uplatnilo pravidlo sínus. Pravidlo sínusu vyžaduje, aby ste mali aspoň jednu dvojicu s uhlom, ktorý je protiľahlý známej strane. Tretí uhol tohto trojuholníka však môžete vypočítať jednoduchým odčítaním. Všetky tri uhly sa sčítajú do 180 stupňov, takže môžete nájsť uhol
      γ{\displaystyle \gamma }

      odčítaním:

      • γ=180αβ=1803050=100{\displaystyle \gamma =180-\alfa -\beta =180-30-50=100}
    • Teraz, keď poznáte všetky tri uhly, môžete použiť pravidlo sínusu na nájdenie dvoch zostávajúcich strán. Riešte ich po jednom:
      • Csinγ=Bsinβ{\displaystyle {\frac {C}{\sin \gamma }}={\frac {B}{\sin \beta }}}
      • 10sin100=Bsin50{\displaystyle {\frac {10}{\sin 100}}={\frac {B}{\sin 50}}
      • 10sin50sin100=B{\displaystyle {\frac {10\sin 50}{\sin 100}}=B}
      • 100.7660.985=B{\displaystyle {\frac {10*0.766}{0.985}}=B}
      • 7.78=B{\displaystyle 7.78=B}
    • Teda strana B je 7.78 palcov dlhý. Teraz vyriešime poslednú zostávajúcu stranu.
      • Csinγ=Asinα{\displaystyle {\frac {C}{\sin \gamma }}={\frac {A}{\sin \alfa }}}
      • 10sin100=Asin30{\displaystyle {\frac {10}{\sin 100}}={\frac {A}{\sin 30}}
      • 10sin30sin100=A{\displaystyle {\frac {10\sin 30}{\sin 100}}=A}
      • 100.50.985=A{\displaystyle {\frac {10*0.5}{0.985}}=A}
      • 5.08=A{\displaystyle 5.08=A}
    • Strana A je teda 5.08 palcov dlhý. Teraz máte všetky tri uhly, 30, 50 a 100 stupňov, a všetky tri strany, 5.08, 7.78 a 10 palcov.
  • Odkazy