Ako používať Pytagorovu vetu: Ako používať pythagorovu teóriu: 12 krokov (s obrázkami)

Pytagorova veta opisuje dĺžky strán pravouhlého trojuholníka spôsobom, ktorý je taký elegantný a praktický, že sa veta dodnes hojne používa. Veta hovorí, že pre každý pravouhlý trojuholník platí, že súčet štvorcov strán, ktoré nie sú hypotextilné, sa rovná štvorcu hypotexu. Inými slovami, pre pravouhlý trojuholník s kolmými stranami dĺžok a a b a s preponou dĺžky c, a2 + b2 = c2. Pytagorova veta je jedným zo základných pilierov základnej geometrie, ktorý má nespočetné množstvo praktických aplikácií – pomocou vety je napríklad ľahké nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v súradnicovej rovine.

Metóda 1 z 2:Hľadanie strán pravouhlého trojuholníka


Uistite sa, že váš trojuholník je pravouhlý trojuholník. Pytagorova veta platí len pre pravouhlé trojuholníky, preto je dôležité, aby ste sa pred pokračovaním uistili, že váš trojuholník zodpovedá definícii pravouhlého trojuholníka. Našťastie existuje len jeden kvalifikačný faktor – aby bol váš trojuholník pravouhlý, musí obsahovať jeden uhol presne 90 stupňov.[1]

  • Ako forma vizuálnej skratky sa pravé uhly často označujú malým štvorcom, a nie zaoblenou „krivkou“, aby sa ako také identifikovali. Hľadajte túto špeciálnu značku v jednom z rohov vášho trojuholníka.


Priraďte stranám trojuholníka premenné a, b a c. V Pytagorovej vete sa premenné a a b vzťahujú na strany, ktoré zvierajú pravý uhol, zatiaľ čo premenná c sa vzťahuje na hypotenziu – najdlhšiu stranu, ktorá je vždy oproti pravému uhlu. Na začiatok teda priraďte kratším stranám trojuholníka premenné a a b (nezáleží na tom, ktorá strana je označená ako „a“ alebo „b“) a hypotenuse priraďte premennú c.[2]


Určte, ktorú stranu (strany) trojuholníka riešite. Pytagorova veta umožňuje matematikom nájsť dĺžku ľubovoľného jeden strán pravouhlého trojuholníka, pokiaľ poznajú dĺžky ďalšie dve strany. Určte, ktorá zo strán má neznámu dĺžku – a, b, a/alebo c. Ak nie je známa dĺžka len jednej zo strán, môžete pokračovať.[3]

  • Povedzme napríklad, že vieme, že naša hypoteza má dĺžku 5 a jedna z ďalších strán má dĺžku 3, ale nie sme si istí, aká je dĺžka tretej strany. V tomto prípade vieme, že riešime dĺžku tretej strany, a keďže poznáme dĺžky zvyšných dvoch strán, môžeme sa pustiť do riešenia! K tomuto príkladovému problému sa vrátime v nasledujúcich krokoch.
  • Ak sú dĺžky dva zo strán sú neznáme, budete musieť určiť dĺžku ešte jednej strany, aby ste mohli použiť Pytagorovu vetu. Základné trigonometrické funkcie vám tu môžu pomôcť, ak poznáte jeden z nepriamych uhlov v trojuholníku.


Do rovnice dosadíme svoje dve známe hodnoty. Do rovnice a2 + b2 = c2 vložte svoje hodnoty dĺžok strán vášho trojuholníka. Zapamätajte si, že a a b sú strany, ktoré nie sú hypotenózou, zatiaľ čo c je hypotenóza.[4]

  • V našom príklade poznáme dĺžku jednej strany a prepony (3 & 5), takže by sme našu rovnicu zapísali ako 3² + b² = 5²


Vypočítajte štvorce. Ak chcete vyriešiť rovnicu, začnite tým, že zoberiete štvorec každej zo známych strán. Prípadne, ak sa vám to zdá jednoduchšie, môžete dĺžky strán ponechať v tvare exponentu a neskôr ich odmocniť.[5]

  • V našom príklade by sme odmocnili 3 a 5, aby sme dostali 9 a 25, resp. Našu rovnicu môžeme prepísať ako 9 + b² = 25.


Izolujte svoju neznámu premennú na jednej strane znamienka rovnosti. Ak je to potrebné, použite základné algebrické operácie, aby ste dostali neznámu premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a vaše dva štvorce na druhú stranu znamienka rovnosti. Ak riešite hypotenziu, c už bude izolované, takže na jeho izoláciu nemusíte robiť nič.[6]

  • V našom príklade je naša súčasná rovnica 9 + b² = 25. Ak chceme izolovať b², odčítajme 9 z oboch strán rovnice. Zostáva nám b² = 16.


Vezmite druhú odmocninu z oboch strán rovnice. Teraz by vám mal zostať jeden štvorček premennej na jednej strane rovnice a číslo na druhej strane. Jednoducho zoberte druhú odmocninu z oboch strán, aby ste našli dĺžku neznámej strany.

  • V našom príklade, b² = 16, nám odmocnina z oboch strán dáva b = 4. Môžeme teda povedať, že dĺžka neznámej strany nášho trojuholníka je 4.


Použite Pytagorovu vetu na nájdenie strán reálnych pravouhlých trojuholníkov. Dôvod, prečo je Pytagorova veta dnes tak široko používaná, je ten, že je použiteľná v nespočetných praktických situáciách. Naučte sa rozpoznávať pravouhlé trojuholníky v reálnom živote – v každej situácii, keď sa dva rovné predmety alebo priamky stretávajú v pravom uhle a tretia priamka alebo predmet sa tiahne šikmo cez pravý uhol, môžete použiť Pytagorovu vetu na zistenie dĺžky jednej zo strán, ak sú dané dĺžky ostatných dvoch.

  • Vyskúšajme si príklad z reálneho sveta, ktorý je trochu zložitejší. Rebrík je opretý o budovu. Základňa rebríka je 5 metrov (16.4 ft) od spodnej časti steny. Rebrík siaha do výšky 20 metrov (65.6 ft) po stene budovy. Ako je rebrík dlhý?
    • „5 metrov (16.4 ft) od spodnej časti steny“ a „20 metrov (65.6 stôp) po stene“ nám napovie dĺžky strán nášho trojuholníka. Keďže stena a zem (pravdepodobne) zvierajú pravý uhol a rebrík sa o stenu opiera šikmo, môžeme si toto usporiadanie predstaviť ako pravouhlý trojuholník so stranami dĺžky a = 5 a b = 20. Dĺžka rebríka je hypoteza, takže c je naša neznáma. Použime Pytagorovu vetu:
      • a² + b² = c²
      • (5)² + (20)² = c²
      • 25 + 400 = c²
      • 425 = c²
      • sqrt(425) = c
      • c = 20.6 . Približná dĺžka rebríka je 20.6 metrov (67.6 ft).

Metóda 2 z 2:Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine X-Y


Definujte dva body v rovine X-Y. Pytagorovu vetu možno ľahko použiť na výpočet priamočiarej vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine X-Y. Všetko, čo potrebujete vedieť, sú súradnice x a y ľubovoľných dvoch bodov. Zvyčajne sa tieto súradnice zapisujú ako usporiadané dvojice v tvare (x, y).[7]

  • Aby sme našli vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi, budeme každý bod považovať za jeden z nepravoúhlych rohov pravouhlého trojuholníka. Týmto spôsobom ľahko zistíme dĺžku strán a a b, potom vypočítame c, hypotenziu, čo je vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi.


Zakreslite svoje dva body do grafu. V typickej rovine X-Y pre každý bod (x,y) udáva x súradnicu na horizontálnej osi a y udáva súradnicu na vertikálnej osi. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi môžete zistiť aj bez toho, aby ste ich zakresľovali do grafu, ale ak to urobíte, získate vizuálny odkaz, ktorý môžete použiť na to, aby vaša odpoveď dávala zmysel.[8]


Nájdite dĺžky strán trojuholníka, ktoré nie sú jeho hypotetickými stranami. Použite svoje dva body ako rohy trojuholníka susediace s preponou a nájdite dĺžky strán a a b trojuholníka. Môžete to urobiť vizuálne na grafe alebo pomocou vzorcov |x1 – x2| pre vodorovnú stranu a |y1 – y2| pre zvislú stranu, kde (x1,y1) je váš prvý bod a (x2,y2) je váš druhý.[9]

  • Povedzme, že naše dva body sú (6,1) a (3,5). Dĺžka strany vodorovnej strany nášho trojuholníka je:
    • |x1 – x2|
    • |3 – 6|
    • | -3 | = 3
  • Dĺžka zvislej strany je:
    • |y1 – y2|
    • |1 – 5|
    • | -4 | = 4
  • Takže môžeme povedať, že v našom pravouhlom trojuholníku je strana a = 3 a strana b = 4.

  • Použite Pytagorovu vetu na riešenie hypotenzy. Vzdialenosť medzi vašimi dvoma bodmi je hypotenzia trojuholníka, ktorého dve strany ste práve definovali. Na nájdenie hypotenzie použite Pytagorovu vetu ako zvyčajne, pričom ako dĺžku prvej strany určíte a a ako dĺžku druhej strany b.

    • V našom príklade s použitím bodov (3,5) a (6,1) sú dĺžky našich strán 3 a 4, takže by sme hypotenziu našli takto:
      • (3)²+(4)²= c²
        c= sqrt(9+16)
        c= sqrt(25)
        c= 5. Vzdialenosť medzi bodmi (3,5) a (6,1) je 5.
  • Odkazy