Ako previesť Maxwellove rovnice do diferenciálneho tvaru

V elektrodynamike Maxwellove rovnice spolu s Lorentzovým silovým zákonom opisujú povahu elektrických polí

E{\displaystyle \mathbf {E} }

a magnetické polia

B.{\displaystyle \mathbf {B} .}

Tieto rovnice možno zapísať v diferenciálnom alebo integrálnom tvare. Hoci sú tieto dva tvary úplne ekvivalentné, väčšina študentov sa najprv učí integrálny tvar, pretože je použiteľnejší pre objemy a toky, a teda užitočnejší pre výpočty.

Časť 1 zo 4:Gaussov zákon

Začnite Gaussovým zákonom v integrálnom tvare.

  • SEdS=Qϵ0{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}}

Prepíšte pravú stranu v zmysle objemového integrálu.

  • SEdS=Vρϵ0dV{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V}

Pripomeňme si vetu o divergencii. Veta o divergencii hovorí, že tok prenikajúci uzavretou plochou

S{\displaystyle S}

ktorá ohraničuje objem

V{\displaystyle V}

sa rovná divergencii poľa

F{\displaystyle \mathbf {F} }

vnútri objemu.

  • SFdS=V(F)dV{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\mathrm {d} V}

Pomocou vety o divergencii prepíšeme ľavú stranu ako objemový integrál.

  • V(E)dV=Vρϵ0dV{\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathrm {d} V=\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V}

Nastavte rovnicu na 0.

  • V(E)dVVρϵ0dV=0V(Eρϵ0)dV=0{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathrm {d} V-\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V&=0\\\int _{V}\levo(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\pravo)\mathrm {d} V&=0\end{aligned}}

Preveďte rovnicu do diferenciálneho tvaru.

  • Uvedená rovnica hovorí, že integrál veličiny je 0. Pretože jediná veličina, pre ktorú je integrál rovný 0, je samotná 0, výraz v integrále možno nastaviť na 0.
    • Eρϵ0=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}=0}
  • To vedie ku Gaussovmu zákonu v diferenciálnom tvare.
    • E=ρϵ0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}

Časť 2 zo 4:Gaussov zákon pre magnetizmus

Začnite Gaussovým zákonom pre magnetizmus v integrálnom tvare.

  • SBdS=0{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}

Odvolajte sa na vetu o divergencii.

  • V(B)dV=0{\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathrm {d} V=0}

Napíšte rovnicu v diferenciálnom tvare.

  • Rovnako ako v prípade Gaussovho zákona, rovnaký argument použitý vyššie dáva našu odpoveď.
    • B=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}

Časť 3 zo 4:Faradayov zákon

Začnite Faradayovým zákonom v integrálnom tvare.

  • CEdl=ddtSBdS{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Pripomeňme si Stokesovu vetu. Stokesova veta hovorí, že cirkulácia poľa

F{\displaystyle \mathbf {F} }

okolo slučky

C{\displaystyle C}

ktorá ohraničuje plochu

S{\displaystyle S}

sa rovná toku

curlF{\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} }

nad

S.{\displaystyle S.}
  • CFdl=S(×F)dS{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Použite Stokesovu vetu na prepísanie ľavej strany ako plošného integrálu.

  • S(×E)dS=ddtSBdS{\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Nastavte rovnicu na 0.

  • S(×E)dS+ddtSBdS=0S(×E+Bt)dS=0{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\\\int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\koniec{zarovnané}}

Preveďte rovnicu do diferenciálneho tvaru.

  • ×E+Bt=0×E=Bt{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla &\times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0\\\nabla &\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\end{aligned}}}

Časť 4 zo 4:Ampérov-Maxwellov zákon

Začnite s Ampérovým-Maxwellovým zákonom v integrálnom tvare.

  • CBdl=μ0SJdS+μ0ϵ0ddtSEdS{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Odvolajte sa na Stokesovu vetu.

  • S(×B)dS=μ0SJdS+μ0ϵ0ddtSEdS{\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Nastavte rovnicu na 0.

  • S(×B)dSμ0SJdSμ0ϵ0ddtSEdS=0S(×Bμ0Jμ0ϵ0Et)dS=0{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} -\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\\\int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\end{aligned}}}
  • Preveďte rovnicu do diferenciálneho tvaru.

    • ×Bμ0Jμ0ϵ0Et=0×B=μ0J+μ0ϵ0Et{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla &\časy \mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\časť \mathbf {E} }{\časť t}}=0\\\nabla &\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}