Ako previesť Maxwellove rovnice do diferenciálneho tvaru

V elektrodynamike Maxwellove rovnice spolu s Lorentzovým silovým zákonom opisujú povahu elektrických polí

${\displaystyle \mathbf {E} }$

a magnetické polia

${\displaystyle \mathbf {B} .}$

Tieto rovnice možno zapísať v diferenciálnom alebo integrálnom tvare. Hoci sú tieto dva tvary úplne ekvivalentné, väčšina študentov sa najprv učí integrálny tvar, pretože je použiteľnejší pre objemy a toky, a teda užitočnejší pre výpočty.

Kroky

Časť 1 zo 4:Gaussov zákon

Začnite Gaussovým zákonom v integrálnom tvare.

• ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}}$

Prepíšte pravú stranu v zmysle objemového integrálu.

• ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V}$

Pripomeňme si vetu o divergencii. Veta o divergencii hovorí, že tok prenikajúci uzavretou plochou

${\displaystyle S}$

ktorá ohraničuje objem

${\displaystyle V}$

sa rovná divergencii poľa

${\displaystyle \mathbf {F} }$

vnútri objemu.

• ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\mathrm {d} V}$

Pomocou vety o divergencii prepíšeme ľavú stranu ako objemový integrál.

• ${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathrm {d} V=\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V}$

Nastavte rovnicu na 0.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} )\mathrm {d} V-\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V&=0\\\int _{V}\levo(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\pravo)\mathrm {d} V&=0\end{aligned}}$

Preveďte rovnicu do diferenciálneho tvaru.

• Uvedená rovnica hovorí, že integrál veličiny je 0. Pretože jediná veličina, pre ktorú je integrál rovný 0, je samotná 0, výraz v integrále možno nastaviť na 0.
  • ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}=0}$
• To vedie ku Gaussovmu zákonu v diferenciálnom tvare.
  • ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$

Časť 2 zo 4:Gaussov zákon pre magnetizmus

Začnite Gaussovým zákonom pre magnetizmus v integrálnom tvare.

• ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$

Odvolajte sa na vetu o divergencii.

• ${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathrm {d} V=0}$

Napíšte rovnicu v diferenciálnom tvare.

• Rovnako ako v prípade Gaussovho zákona, rovnaký argument použitý vyššie dáva našu odpoveď.
  • ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

Časť 3 zo 4:Faradayov zákon

Začnite Faradayovým zákonom v integrálnom tvare.

• ${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Pripomeňme si Stokesovu vetu. Stokesova veta hovorí, že cirkulácia poľa

${\displaystyle \mathbf {F} }$

okolo slučky

${\displaystyle C}$

ktorá ohraničuje plochu

${\displaystyle S}$

sa rovná toku

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} }$

nad

${\displaystyle S.}$

• ${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Použite Stokesovu vetu na prepísanie ľavej strany ako plošného integrálu.

• ${\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Nastavte rovnicu na 0.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\\\int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\koniec{zarovnané}}$

Preveďte rovnicu do diferenciálneho tvaru.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla &\times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0\\\nabla &\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\end{aligned}}}$

Časť 4 zo 4:Ampérov-Maxwellov zákon

Začnite s Ampérovým-Maxwellovým zákonom v integrálnom tvare.

• ${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Odvolajte sa na Stokesovu vetu.

• ${\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Nastavte rovnicu na 0.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} -\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\\\int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} &=0\end{aligned}}}$

Preveďte rovnicu do diferenciálneho tvaru.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla &\časy \mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\časť \mathbf {E} }{\časť t}}=0\\\nabla &\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}$