Ako riadkovo redukovať matice

Ak ste niekedy navštevovali kurz algebry na strednej alebo vysokej škole, pravdepodobne ste sa stretli s problémom, ako je tento: vyriešte

x{\displaystyle x}

a

y.{\displaystyle y.}

3x+8y=339x+y=30{\displaystyle {\begin{aligned}&3x+8y=-33\\&9x+y=-30\end{aligned}}}

Tieto úlohy sa nazývajú sústavy rovníc. Často vyžadujú, aby ste manipulovali s jednou z rovníc tak, aby ste mohli získať hodnoty ostatných premenných. Ale čo ak máte 5 rovníc? Alebo 50? Alebo viac ako 200 000, ako pri mnohých úlohách, s ktorými sa stretávame v reálnom živote? To sa stáva oveľa náročnejšou úlohou. Ďalším spôsobom riešenia tohto problému je Gaussova-Jordanova eliminácia alebo redukcia riadkov.

Časť 1 zo 4:Nastavenie matice

Určite, či je redukcia riadkov pre tento problém vhodná. Sústavu dvoch premenných nie je veľmi ťažké vyriešiť, takže redukcia riadkov nemá žiadne výhody oproti substitúcii alebo normálnej eliminácii. Tento proces sa však stáva oveľa pomalším, keď počet rovníc stúpa. Riadková redukcia vám umožňuje použiť rovnaké techniky, ale systematickejším spôsobom. Nižšie uvažujeme sústavu 4 rovníc so 4 neznámymi.

  • x1+x2+2x3=12x1x22x4=2x1x2x3+x4=42x1x2+2x3=0{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}+2x_{3}=1\\&2x_{1}-x_{2}-2x_{4}=-2\\&x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=4\\&2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0\end{aligned}}}
  • Kvôli prehľadnosti je užitočné zoradiť rovnice tak, aby sa pri pohľade zhora nadol dali ľahko rozpoznať koeficienty jednotlivých premenných, najmä preto, že premenné sú rozlíšené len pomocou indexov.

Pochopte maticovú rovnicu. Maticová rovnica

Ax=b{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }

je základným základom riadkovej redukcie. Táto rovnica hovorí, že matica pôsobiaca na vektor

x{\displaystyle \mathbf {x} }

vytvára ďalší vektor

b.{\displaystyle \mathbf {b} .}
  • Uvedomte si, že premenné a konštanty môžeme zapísať ako tieto vektory. Tu,
    x=(x1,x2,x3,x4),{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}),}

    kde

    x{\displaystyle \mathbf {x} }

    je stĺpcový vektor. Konštanty možno zapísať ako stĺpcový vektor

    b.{\displaystyle \mathbf {b} .}
  • Zostávajú koeficienty. Tu vložíme koeficienty do matice
    A.{\displaystyle A.}

    Uistite sa, že každý riadok matice zodpovedá rovnici a každý stĺpec zodpovedá premennej.

  • (1120210211112120)(x1x2x3x4)=(1240){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2&0\\2&-1&0&-2\\1&-1&-1&1\\2&-1&2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\4\\0\end{pmatrix}}}

Preveďte svoje rovnice do tvaru rozšírenej matice. Ako je znázornené, zvislá čiara oddeľuje koeficienty, zapísané ako matica

A,{\displaystyle A,}

z konštánt, zapísaných ako vektor

b.{\displaystyle \mathbf {b} .}

Zvislý pruh signalizuje prítomnosť rozšírenej matice

(A|b).{\displaystyle (A|\mathbf {b} ).}
  • (11201210221111421200){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&1&2&0&1\\2&-1&0&-2&-2\\1&-1&-1&1&4\\2&-1&2&0&0\end{array}}\right)}

Časť 2 zo 4: Riadkový echelonový tvar

Porozumieť základným riadkovým operáciám. Teraz, keď máme sústavu rovníc ako maticu, musíme s ňou manipulovať tak, aby sme dostali požadovanú odpoveď. Existujú tri riadkové operácie, ktoré môžeme vykonať na matici bez toho, aby sme zmenili riešenie. V tomto kroku bude riadok matice označený

R,{\displaystyle R,}

pričom index nám povie, o ktorý riadok ide.

  • Výmena riadkov. Jednoduchá zámena dvoch riadkov. To je užitočné v niektorých situáciách, ku ktorým sa dostaneme o niečo neskôr. Ak chceme vymeniť riadky 1 a 4, označíme ich takto

    R1R4.{\displaystyle R_{1}\leftrightarrow R_{4}.}
  • Skalárny násobok. Riadok môžete nahradiť jeho skalárnym násobkom. Ak chcete napríklad nahradiť riadok 2 päťnásobkom seba samého, napíšete

    R25R2.{\displaystyle R_{2}\na 5R_{2}.}
  • Sčítanie riadkov. Riadok môžete nahradiť súčtom sám a lineárna kombinácia ostatných riadkov. Ak chceme nahradiť riadok 3 sebou samým plus dvakrát riadok 4, napíšeme

    R3R3+2R4.{\displaystyle R_{3}\to R_{3}+2R_{4}.}

    Ak chceme nahradiť riadok 2 sebou samým, plus riadok 3, plus dvakrát riadok 4, napíšeme

    R2R2+R3+2R4.{\displaystyle R_{2}\to R_{2}+R_{3}+2R_{4}.}
  • Tieto riadkové operácie môžeme vykonávať súčasne a spomedzi troch riadkových operácií budú posledné dve najužitočnejšie.

Identifikujte prvý pivot. Čap je vedúci koeficient každého riadku. Je jedinečný pre každý riadok a stĺpec a identifikuje premennú pomocou jej rovnice. Pozrime sa, ako to funguje.

  • Vo všeobecnosti platí, že prvým otočným prvkom bude vždy ľavé horné číslo, takže
    x1{\displaystyle x_{1}}

    má „svoju“ rovnicu. V našom prípade je prvým otočným bodom 1 vľavo hore.

  • Ak je ľavé horné číslo 0, vymieňajte riadky, kým ním nie je. V našom prípade nemusíme.

Riadková redukcia tak, aby všetko naľavo a dole od otočného bodu bolo 0. Keď sa tak stane po tom, čo sme identifikovali všetky naše čapy, matica bude v riadkovom echelónovom tvare. Riadok, v ktorom leží otočný bod, sa nemení.

  • Nahradíme riadok 2 samým sebou mínus dvakrát riadok 1. To zaručuje, že prvok v riadku 2, stĺpci 1 bude 0.
  • Vymeňte riadok 3 za seba mínus riadok 1. To zaručuje, že prvok v riadku 3, stĺpci 1 bude 0.
  • Nahradíme riadok 4 sebou samým mínus dvakrát riadok 1. Prvok v riadku 4, stĺpec 1 bude 0. Keďže sa tieto riadkové operácie týkajú rôznych riadkov, môžeme ich vykonať súčasne. Nie je potrebné vypísať štyri matice ako súčasť zobrazenia vašej práce.
  • Tieto riadkové operácie možno zhrnúť nižšie.
  • R2R22R1R3R3R1R4R42R1{\displaystyle {\begin{aligned}R_{2}&\na R_{2}-2R_{1}\\R_{3}&\do R_{3}-R_{1}\\R_{4}&\to R_{4}-2R_{1}\end{aligned}}}
  • (11201034240231303202){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&1&2&0&1\\0&-3&-4&-2&-4\\0&-2&-3&1&3\\0&-3&-2&0&-2\end{array}}\right)}

Identifikujte druhý pivot a podľa toho zredukujte riadok.

  • Druhým otočným bodom môže byť čokoľvek z druhého stĺpca okrem toho v prvom riadku, pretože prvý otočný bod ho už zneprístupňuje. Vyberme prvok v riadku 2, stĺpci 2. Majte na pamäti, že ak je zvolený pivot, ktorý nie je na diagonále, musíte riadok vymeniť tak, aby bol.
  • Vykonajte nasledujúce riadkové operácie tak, aby všetko pod pivotom bolo 0.
  • R33R32R2R4R4R2{\displaystyle {\begin{aligned}R_{3}&\na 3R_{3}-2R_{2}\\R_{4}&\to R_{4}-R_{2}\koniec{zarovnané}}
  • (112010342400171700222){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&1&2&0&1\\0&-3&-4&-2&-4\\0&0&-1&7&17\\0&0&2&2&2\end{array}}\right)}

Identifikovať tretí pivot a podľa neho riadkovo redukovať.

  • Tretí pivot nemôže byť z prvého alebo druhého riadku. Vyberieme prvok v riadku 3, stĺpec 3. Všimnite si tu vzor. Vyberáme čapy pozdĺž diagonály matice.
  • Vykonajte nasledujúcu riadkovú operáciu. Po tomto postupe štvrtý pivot automaticky vyjde ako pravý dolný prvok matice.
  • R4R4+2R3{\displaystyle R_{4}\to R_{4}+2R_{3}}
  • (11201034240017170001636){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&1&2&0&1\\0&-3&-4&-2&-4\\0&0&-1&7&17\\0&0&0&16&36\end{array}}\right)}
  • Táto matica je teraz v riadkovo-echelónovom tvare. Otočné body boli identifikované a všetko naľavo a pod otočnými bodmi je 0. Nezabudnite, že toto je a riadková echelónová forma – nie sú jedinečné, pretože rôzne riadkové operácie môžu dať maticu, ktorá nevyzerá ako tá vyššie uvedená.
  • Okamžite môžete sieť
    x4=94{\displaystyle x_{4}={\frac {9}{4}}}

    a pokračujte substitúciou, aby ste získali všetky ostatné premenné. Tento postup sa nazýva spätná substitúcia a je to to, čo počítače používajú po dosiahnutí riadkovo-echelónového tvaru na riešenie sústav rovníc. Budeme však pokračovať v riadkovej redukcii, až kým nám nezostanú len čapy a konštanty.

Časť 3 zo 4:Redukovaný riadkový echelonový tvar

Pochopte, čo je redukovaná forma riadkov (RREF). Na rozdiel od obyčajného riadkového echelonu je RREF jedinečný pre maticu, pretože vyžaduje dve ďalšie podmienky:

  • Čapy sú 1.
  • Čapy sú jedinou nenulovou položkou v príslušných stĺpcoch.
  • Potom, ak má sústava rovníc jedno jedinečné riešenie, výsledná rozšírená matica bude vyzerať takto
    (I|x),{\displaystyle (I|\mathbf {x} ),}

    kde

    I{\displaystyle I}

    je matica identity. Toto je náš konečný cieľ tejto časti.

Riadková redukcia na RREF. Na rozdiel od získania riadkového echelonového tvaru neexistuje systematický postup, ktorým by sme identifikovali pivoty a podľa toho riadkovo redukovali. Musíme to jednoducho urobiť. Pred pokračovaním je však užitočné zjednodušiť – riadok 4 môžeme vydeliť 4. Tým sa aritmetika zjednoduší.

  • (112010342400171700049){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&1&2&0&1\\0&-3&-4&-2&-4\\0&0&-1&7&17\\0&0&0&4&9\end{array}}\right)}

Redukcia riadkov tak, že tretí riadok je celý nulový okrem pivotu.

  • R37R44R3{\displaystyle R_{3}\to 7R_{4}-4R_{3}}
  • (11201034240040500049){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&1&2&0&1\\0&-3&-4&-2&-4\\0&0&4&0&-5\\0&0&0&4&9\end{array}}\right)}

Redukcia riadkov tak, že druhý riadok je celý nulový okrem pivotu.

  • R2R3+R2,{\displaystyle R_{2}\to R_{3}+R_{2},}

    potom

    R2R4+2R2.{\displaystyle R_{2}\to R_{4}+2R_{2}.}

    Potom zjednodušte druhý riadok.

  • (11201020030040500049){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&1&2&0&1\\0&-2&0&0&-3\\0&0&4&0&-5\\0&0&0&4&9\end{array}}\right)}

Redukcia riadkov tak, že prvý riadok je celý nulový okrem pivotu.

  • R12R1+R2,{\displaystyle R_{1}\to 2R_{1}+R_{2},}

    potom

    R12R1R3.{\displaystyle R_{1}\to 2R_{1}-R_{3}.}
  • (20004020030040500049){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}2&0&0&0&4\\0&-2&0&0&-3\\0&0&4&0&-5\\0&0&0&4&9\end{array}}\right)}

Rozdeľte tak, aby každý pivot mal hodnotu 1.

  • (1000201003/200105/400019/4){\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&2\\0&1&0&0&3/2\\0&0&1&0&-5/4\\0&0&0&1&9/4\end{array}}\right)}
  • Toto je RREF a podľa očakávania nám okamžite dáva riešenie našej pôvodnej rovnice ako
    (I|x).{\displaystyle (I|\mathbf {x} ).}

    Teraz sme skončili.

  • x1=2x2=3/2x3=5/4x4=9/4{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=2\\x_{2}&=3/2\\x_{3}&=-5/4\\x_{4}&=9/4\end{zarovnané}}

Časť 4 z 4:Žiadne jedinečné riešenia

Pochopenie prípadu nekonzistencie. Príklad, ktorý sme si prešli vyššie, mal jedno jedinečné riešenie. V tejto časti si prejdeme prípady, keď sa v matici koeficientov stretnete s riadkom 0.

  • Po čo najlepšej riadkovej redukcii na riadkovo-echelónový tvar sa môžete stretnúť s maticou podobnou nasledujúcej. Dôležitou časťou je riadok s 0, ale všimnite si tiež, že v treťom riadku nám chýba pivot.
  • (142104140001){\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&4&2&1\\0&-4&-1&4\\0&0&0&1\end{array}}\right)}
  • Tento riadok 0 hovorí, že lineárna kombinácia premenných s koeficientmi 0 dáva súčet 1. Toto nikdy neplatí, takže systém je nekonzistentný a nemá riešenie. Ak dosiahnete tento bod, ste hotoví.
  • Pochopiť prípad závislosti. Možno v riadku 0 je konštantný prvok v tomto riadku tiež 0, napríklad takto:

    • (142104140000){\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&4&2&1\\0&-4&-1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right)}
    • To signalizuje prítomnosť závislého riešenia – množiny riešení s nekonečne mnohými riešeniami. Niektorí vás môžu požiadať, aby ste sa tu zastavili, ale nie každý
      x{\displaystyle \mathbf {x} }

      je riešenie. Ak chcete zistiť, aké je skutočné riešenie, zredukujte riadok na RREF.

    • (1015011/410000){\\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&1&5\\0&1&1/4&-1\\0&0&0&0\end{array}}\right)}
    • V treťom stĺpci po redukcii na RREF chýba pivot, takže čo presne táto matica hovorí? Nezabudnite, že pivot „priraďuje“ riadku túto premennú ako jej rovnicu, takže keďže prvé dva riadky majú pivoty, môžeme identifikovať
      x1{\displaystyle x_{1}}

      a

      x2.{\displaystyle x_{2}.}
      • x1+x3=5x2+14x3=1{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{3}&=5\\x_{2}+{\frac {1}{4}}x_{3}&=-1\end{aligned}}}
    • Prvá rovnica je rovnica pre
      x1,{\displaystyle x_{1},}

      zatiaľ čo druhá rovnica je rovnica pre

      x2.{\displaystyle x_{2}}.}

      Teraz vyriešime obidva prípady.

      • x1=5x3x2=114x3{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=5-x_{3}\\x_{2}&=-1-{\frac {1}{4}}x_{3}\end{aligned}}}
    • Odtiaľ pochádza „závislosť“. Oba
      x1{\displaystyle x_{1}}

      a

      x2{\displaystyle x_{2}}

      spoliehať sa na

      x3,{\displaystyle x_{3},}

      ale

      x3{\displaystyle x_{3}}

      je tu ľubovoľný – je to voľná premenná. Bez ohľadu na to, čo to je, výsledná dvojica

      x1{\displaystyle x_{1}}

      a

      x2{\displaystyle x_{2}}

      bude platným riešením systému. Ak to chcete zohľadniť, preparametrizujte voľnú premennú nastavením

      x3=t.{\displaystyle x_{3}=t.}
      • x1=5tx2=114t{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=5-t\x_{2}&=-1-{\frac {1}{4}}t\end{aligned}}}
    • Samozrejme, že ak vložíme hodnotu pre
      t{\displaystyle t}

      a prezentácia výsledného

      x{\displaystyle \mathbf {x} }

      ako riešenie nedáva všeobecné riešenie. Všeobecné riešenie je skôr

      • x=(5t114tt),tR.{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}5-t\\-1-{\frac {1}{4}}t\\\t\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R} .}
    • Vo všeobecnosti sa môžete stretnúť
      n{\displaystyle n}

      voľné premenné. V tomto prípade stačí, aby ste zmenili parametre

      n{\displaystyle n}

      závislé premenné.