Ako riešiť matice (s obrázkami)

Matica je veľmi užitočný spôsob reprezentácie čísel v blokovom formáte,[1]
ktorý potom môžete použiť na riešenie sústavy lineárnych rovníc. Ak máte len dve premenné, pravdepodobne použijete inú metódu. Príklady týchto ďalších metód nájdete v časti Riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc a Riešenie sústav rovníc. Ale keď máte tri alebo viac premenných, ideálna je matica. Pomocou opakovaných kombinácií násobenia a sčítania môžete systematicky dospieť k riešeniu.

Časť 1 zo 4:Nastavenie matice na riešenie


Overte, či máte dostatok údajov. Aby ste získali jedinečné riešenie pre každú premennú v lineárnom systéme pomocou matice, musíte mať toľko rovníc, koľko premenných sa snažíte vyriešiť. Napríklad pri premenných x, y a z budete potrebovať tri rovnice. Ak máte štyri premenné, potrebujete štyri rovnice.

  • Ak máte menej rovníc, ako je počet premenných, budete môcť zistiť niektoré obmedzujúce informácie o premenných (napríklad x = 3y a y = 2z), ale nemôžete získať presné riešenie. V tomto článku sa budeme snažiť získať iba jedinečné riešenie.


Napíšte rovnice v štandardnom tvare. Predtým, ako budete môcť preniesť informácie z rovníc do maticového tvaru, zapíšte najprv každú rovnicu v štandardnom tvare. Štandardný tvar lineárnej rovnice je Ax+By+Cz=D, kde veľké písmená sú koeficienty (čísla) a posledné číslo – v tomto príklade D – je na pravej strane znaku rovnosti.

  • Ak máte viac premenných, budete jednoducho pokračovať v riadku tak dlho, ako je potrebné. Ak sa napríklad snažíte vyriešiť sústavu so šiestimi premennými, váš štandardný tvar bude vyzerať takto: Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz =G. V tomto článku sa zameriame na systémy s tromi premennými. Riešenie väčšieho systému je úplne rovnaké, len si vyžaduje viac času a viac krokov.
  • Všimnite si, že v štandardnom tvare je operácia medzi členmi vždy sčítanie. Ak sa vo vašej rovnici namiesto sčítania vyskytuje odčítanie, budete s tým musieť neskôr pracovať, aby bol váš koeficient záporný. Ak vám to pomôže zapamätať si, môžete rovnicu prepísať a urobiť operáciu sčítania a koeficient záporným. Napríklad rovnicu 3x-2y+4z=1 môžete prepísať ako 3x+(-2y)+4z=1.


Preneste čísla zo sústavy rovníc do matice. Matica je skupina čísel usporiadaná do tvaru bloku, s ktorou budeme pracovať pri riešení sústavy.[2]
V skutočnosti nesie rovnaké údaje ako samotné rovnice, ale v jednoduchšom formáte. Ak chcete vytvoriť maticu zo svojich rovníc v štandardnom tvare, stačí skopírovať koeficienty a výsledok každej rovnice do jedného riadku a tieto riadky poskladať na seba.

  • Predpokladajme napríklad, že máte systém, ktorý pozostáva z troch rovníc 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 a x+y+z=7. Horný riadok vašej matice bude obsahovať čísla 3,1,-1,9, pretože to sú koeficienty a riešenie prvej rovnice. Všimnite si, že každá premenná, ktorá nemá uvedený koeficient, sa považuje za premennú s koeficientom 1. Druhý riadok matice bude 2,-2,1,-3 a tretí riadok bude 1,1,1,7.
  • Uistite sa, že koeficienty x sú zarovnané v prvom stĺpci, koeficienty y v druhom, koeficienty z v treťom a členy riešenia vo štvrtom. Keď skončíte prácu s maticou, tieto stĺpce budú dôležité pri písaní vášho riešenia.


Nakreslite okolo celej matice veľkú štvorcovú zátvorku. Podľa konvencie sa matica označuje dvojicou hranatých zátvoriek [ ] okolo celého bloku čísel. Zátvorky nijako nezasahujú do riešenia, ale ilustrujú, že pracujete s maticami. Matica môže pozostávať z ľubovoľného počtu riadkov a stĺpcov. Pri práci s týmto článkom budeme používať zátvorky okolo výrazov v riadku, aby sme ich pomohli spojiť.


Používajte bežnú symboliku. Pri práci s maticami je bežnou konvenciou označovať riadky skratkou R a stĺpce skratkou C. Na označenie konkrétneho riadku alebo stĺpca môžete použiť čísla spolu s týmito písmenami. Napríklad na označenie riadku 1 matice môžete napísať R1. Riadok 2 bude R2.

  • Akúkoľvek konkrétnu pozíciu v matici môžete označiť pomocou kombinácie R a C. Ak chcete napríklad presne určiť člen v druhom riadku tretieho stĺpca, môžete ho nazvať R2C3.

Druhá časť zo 4:Naučiť sa operácie na riešenie sústavy pomocou matice


Uvedomte si tvar matice riešenia. Skôr ako začnete pracovať na riešení sústavy rovníc, mali by ste si uvedomiť, čo sa budete snažiť s maticou urobiť. Práve teraz máte maticu, ktorá vyzerá takto:

  • 3 1 -1 9
  • 2 -2 1 -3
  • 1 1 1 7
  • Budete pracovať s niektorými základnými operáciami na vytvorenie „matice riešenia.“ Matica riešenia bude vyzerať takto[3]
    :
  • 1 0 0 x
  • 0 1 0 y
  • 0 0 1 z
  • Všimnite si, že matica pozostáva z jednotiek v diagonálnom riadku s 0 vo všetkých ostatných miestach okrem štvrtého stĺpca. Čísla vo štvrtom stĺpci budú vašim riešením pre premenné x, y a z.


Použite skalárne násobenie. Prvým nástrojom, ktorý máte k dispozícii na riešenie sústavy pomocou matice, je skalárne násobenie. Toto je jednoducho výraz, ktorý znamená, že budete násobiť položky v riadku matice konštantným číslom (nie premennou). Pri použití skalárneho násobenia musíte pamätať na to, že každý člen celého riadku musíte vynásobiť akýmkoľvek číslom, ktoré ste zvolili. Ak zabudnete a vynásobíte len prvý člen, zničíte celé riešenie. Nemusíte však násobiť celú maticu naraz. Pri skalárnom násobení pracujete vždy len s jedným riadkom.[4]

  • Pri skalárnom násobení sa bežne používajú zlomky, pretože často chcete vytvoriť tento diagonálny riadok 1. Zvyknite si pracovať so zlomkami. Pre väčšinu krokov riešenia matice bude tiež jednoduchšie, ak budete môcť zapísať svoje zlomky v nesprávnom tvare a potom ich pre konečné riešenie previesť späť na zmiešané čísla. Preto sa s číslom 1 2/3 ľahšie pracuje, ak ho zapíšeme ako 5/3.
  • Napríklad prvý riadok (R1) nášho vzorového problému začína výrazmi [3,1,-1,9]. Matica riešenia by mala obsahovať 1 na prvej pozícii prvého riadku. Aby sme „zmenili“ našu trojku na jednotku, môžeme celý riadok vynásobiť 1/3. Týmto postupom vytvoríte nový R1 [1,1/3,-1/3,3].
  • Dávajte pozor, aby všetky záporné znamienka boli tam, kam patria.


Použite riadkové sčítanie alebo riadkové odčítanie. Druhým nástrojom, ktorý môžete použiť, je sčítanie alebo odčítanie ľubovoľných dvoch riadkov matice. Aby ste vytvorili 0 členov v matici riešenia, budete musieť pripočítať alebo odčítať čísla, ktoré vás dostanú k 0. Ak je napríklad R1 matice [1,4,3,2] a R2 je [1,3,5,8], môžete odčítať prvý riadok od druhého riadku a vytvoriť nový riadok [0,-1,2,6], pretože 1-1=0 (prvý stĺpec), 3-4=-1 (druhý stĺpec), 5-3=2 (tretí stĺpec) a 8-2=6 (štvrtý stĺpec). Keď vykonávate riadkové sčítanie alebo riadkové odčítanie, prepíšte svoj nový výsledok na miesto riadku, s ktorým ste začali. V tomto prípade by sme vybrali riadok 2 a vložili nový riadok [0,-1,2,6].

  • Môžete použiť skratku a označiť túto operáciu ako R2-R1=[0,-1,2,6].
  • Uvedomte si, že sčítanie a odčítanie sú len opačné formy tej istej operácie. Môžete uvažovať buď o sčítaní dvoch čísel, alebo o odčítaní opačného čísla. Napríklad, ak začnete s jednoduchou rovnicou 3-3=0, môžete to namiesto toho považovať za úlohu sčítania 3+(-3)=0. Výsledok je rovnaký. Zdá sa to základné, ale niekedy je jednoduchšie uvažovať o probléme v jednom alebo druhom tvare. Stačí sledovať záporné znamienka.


Kombinujte riadkové sčítanie a skalárne násobenie v jednom kroku. Nemôžete očakávať, že termíny sa budú vždy zhodovať, takže môžete použiť jednoduché sčítanie alebo odčítanie na vytvorenie 0 v matici. Častejšie budete musieť pripočítať (alebo odčítať) násobok iného riadku. Ak to chcete urobiť, najprv vykonáte skalárne násobenie a potom tento výsledok pridáte k cieľovému riadku, ktorý sa snažíte zmeniť.

  • Predpokladajme, že máte riadok 1 [1,1,2,6] a riadok 2 [2,3,1,1]. V prvom stĺpci R2 chcete vytvoriť člen 0. To znamená, že chcete zmeniť číslo 2 na 0. Ak to chcete urobiť, musíte odčítať 2. Dvojku môžete získať tak, že najprv vynásobíte riadok 1 skalárnym násobkom 2 a potom od druhého riadku odčítate prvý riadok. V skratke si to môžete predstaviť ako R2-2*R1. Najprv vynásobte R1 číslom 2, aby ste dostali [2,2,4,12]. Potom ich odčítajte od R2, čím získate [(2-2),(3-2),(1-4),(1-12)]. Zjednodušte to a vaša nová R2 bude [0,1,-3,-11].


Počas práce kopírujte riadky, ktoré sa nezmenili. Pri práci s maticou budete meniť vždy jeden riadok, a to buď skalárnym násobením, riadkovým sčítaním alebo riadkovým odčítaním, alebo kombinovaným krokom. Keď zmeníte jeden riadok, nezabudnite skopírovať ostatné riadky matice v ich pôvodnom tvare.

  • Častá chyba nastáva pri vykonávaní kombinovaného kroku násobenia a sčítania v jednom ťahu. Predpokladajme, že napríklad potrebujete od R2 odčítať dvojnásobok R1. Keď pri vykonávaní tohto kroku násobíte R1 číslom 2, nezabudnite, že v matici nemeníte R1. Násobenie vykonávate len preto, aby ste zmenili R2. Najprv skopírujte R1 v pôvodnom tvare a potom urobte zmenu v R2.


Najprv pracujte zhora nadol. Pri riešení vášho systému budete pracovať veľmi organizovane, v podstate budete „riešiť“ jeden člen matice za druhým. Poradie pre maticu s tromi premennými začne takto:

  • 1. Vytvorte 1 v prvom riadku prvého stĺpca (R1C1).
  • 2. Vytvorte 0 v druhom riadku, prvom stĺpci (R2C1).
  • 3. Vytvorte 1 v druhom riadku, druhom stĺpci (R2C2).
  • 4. Vytvorte 0 v treťom riadku, prvom stĺpci (R3C1).
  • 5. Vytvorte 0 v treťom riadku, druhom stĺpci (R3C2).
  • 6. Vytvorte 1 v treťom riadku, treťom stĺpci (R3C3).


Postupujte späť zdola nahor. Ak ste postupovali správne, v tomto okamihu ste na polceste k riešeniu. Mali by ste mať diagonálnu čiaru 1 a pod ňou 0. Čísla vo štvrtom stĺpci sú v tejto chvíli skutočne nepodstatné. Teraz sa vrátite späť na začiatok takto:

  • Vytvorte 0 v druhom riadku, treťom stĺpci (R2C3).
  • Vytvorte 0 v prvom riadku tretieho stĺpca (R1C3).
  • Vytvorte 0 v prvom riadku, druhom stĺpci (R1C2).


Skontrolujte, či ste vytvorili maticu riešenia. Ak je vaša práca správna, vytvorili ste maticu riešenia s 1 v diagonálnom riadku R1C1, R2C2, R3C3 a 0 na ostatných pozíciách prvých troch stĺpcov. Čísla vo štvrtom stĺpci sú riešenia vášho lineárneho systému.

Časť 3 zo 4:Spojenie krokov na vyriešenie sústavy


Začnite so vzorovou sústavou lineárnych rovníc. Aby ste si tieto kroky precvičili, začnite so vzorkou, ktorú sme použili predtým: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 a x+y+z=7. Keď to zapíšete do matice, budete mať R1= [3,1,-1,9], R2=[2,-2,1,-3] a R3=[1,1,1,7].


Vytvorte 1 na prvej pozícii R1C1. Všimnite si, že R1 v súčasnosti začína číslicou 3. Musíte ju zmeniť na 1. Môžete to urobiť skalárnym násobením tak, že všetky štyri členy R1 vynásobíte 1/3. V skratke si to môžete zapísať ako R1*1/3. Tým získate nový výsledok pre R1 ako R1=[1,1/3,-1/3,3]. Skopírujte R2 a R2 bez zmeny ako R2=[2,-2,1,-3] a R3=[1,1,1,7].

  • Všimnite si, že násobenie a delenie sú len vzájomne inverzné funkcie. Môžeme povedať, že násobíme 1/3 alebo delíme 3 a výsledok je rovnaký.


Vytvorte 0 v druhom riadku, prvom stĺpci (R2C1). V súčasnosti R2=[2,-2,1,-3]. Ak sa chcete priblížiť k matici riešenia, musíte zmeniť prvý člen z 2 na 0. Môžete to urobiť tak, že odčítate dvojnásobok hodnoty R1, pretože R1 začína 1. V skratke je operácia R2-2*R1. Nezabudnite, že nemeníte R1, ale len s ním pracujete. Takže najprv skopírujte R1 ako R1=[1,1/3,-1/3,3]. Potom, keď zdvojnásobíte každý člen R1, dostanete 2*R1=[2,2/3,-2/3,6]. Nakoniec tento výsledok odpočítajte od pôvodného R2, aby ste získali nové R2. Ak postupujete člen po člene, je toto odčítanie (2-2), (-2-2/3), (1-(-2/3)), (-3-6). Zjednodušíte ich a dostanete novú maticu R2=[0,-8/3,5/3,-9]. Všimnite si, že prvý člen je 0, čo bol váš cieľ.

  • Skopírujte dole neovplyvnený riadok 3 ako R3=[1,1,1,7].
  • Pri odčítaní záporných čísel buďte veľmi opatrní, aby ste zachovali správne znamienka.
  • Zlomky zatiaľ nechajte v ich nesprávnych tvaroch. To vám uľahčí neskoršie kroky riešenia. V poslednom kroku úlohy môžete zjednodušiť zlomky.


Vytvorte 1 v druhom riadku, druhom stĺpci (R2C2). Aby ste mohli pokračovať vo vytváraní diagonálneho radu 1, musíte transformovať druhý člen -8/3 na 1. Urobte to tak, že celý riadok vynásobíte recipročnou hodnotou tohto čísla, čo je -3/8. Symbolicky je tento krok R2*(-3/8). Výsledný druhý riadok je R2=[0,1,-5/8,27/8].

  • Všimnite si, že keď ľavá polovica riadku začne vyzerať ako riešenie s 0 a 1, pravá polovica môže začať vyzerať škaredo, s nesprávnymi zlomkami. Zatiaľ ich len prenášajte.
  • Nezabudnite pokračovať v kopírovaní neovplyvnených riadkov, takže R1=[1,1/3,-1/3,3] a R3=[1,1,1,7].


Vytvorte 0 v treťom riadku, prvom stĺpci (R3C1). Teraz sa zamerajte na tretí riadok, R3=[1,1,1,7]. Ak chcete vytvoriť 0 na prvej pozícii, musíte od 1, ktorá je na tejto pozícii v súčasnosti, odčítať 1. Ak sa pozriete hore, na prvej pozícii R1 je 1. Preto stačí odčítať R3-R1, aby ste dostali potrebný výsledok. Postupne to bude (1-1), (1-1/3), (1-(-1/3)), (7-3). Tieto štyri miniproblémy sa zjednodušia a dostanú nové R3=[0,2/3,4/3,4].

  • Pokračujte v kopírovaní pozdĺž R1=[1,1/3,-1/3,3] a R2=[0,1,-5/8,27/8]. Nezabudnite, že naraz zmeníte len jeden riadok.


Vytvorte 0 v treťom riadku, druhom stĺpci (R3C2). Táto hodnota je v súčasnosti 2/3, ale je potrebné ju transformovať na 0. Na prvý pohľad to vyzerá, že by ste mohli odčítať dvojnásobok hodnôt R1, pretože príslušný stĺpec R1 obsahuje 1/3. Ak však zdvojnásobíte všetky hodnoty R1 a odčítate ich, ovplyvníte 0 v prvom stĺpci R3, čo nechcete urobiť. To by bol krok späť vo vašom riešení. Takže musíte pracovať s nejakou kombináciou R2. Ak odčítate 2/3 z R2, vytvoríte v druhom stĺpci 0 bez toho, aby ste ovplyvnili prvý stĺpec. V skrátenom zápise je to R3- 2/3*R2. Jednotlivé členy sú (0-0), (2/3-2/3), (4/3-(-5/3*2/3)), (4-27/8*2/3). Zjednodušením dostaneme výsledok R3=[0,0,42/24,42/24].


Vytvorte 1 v treťom riadku, treťom stĺpci (R3C3). Toto je jednoduchý krok vynásobenia recipročným číslom, ktoré sa tam nachádza. Aktuálna hodnota je 42/24, takže môžete vynásobiť 24/42 a vytvoriť požadovanú hodnotu 1. Všimnite si, že prvé dva členy sú 0, takže akékoľvek násobenie zostane 0. Nová hodnota R3=[0,0,1,1].

  • Všimnite si, že zlomky, ktoré sa v predchádzajúcom kroku zdali byť dosť komplikované, sa už začali riešiť.
  • Pokračujte ďalej R1=[1,1/3,-1/3,3] a R2=[0,1,-5/8,27/8].
  • Všimnite si, že v tomto bode máte diagonálu 1 pre vašu maticu riešenia. Na nájdenie riešenia stačí transformovať ďalšie tri položky matice na 0.


V druhom riadku tretieho stĺpca vytvorte hodnotu 0. R2 je v súčasnosti [0,1,-5/8,27/8], pričom v treťom stĺpci je hodnota -5/8. Musíte ju transformovať na 0. To znamená, že vykonáme nejakú operáciu s R3, ktorá bude pozostávať zo sčítania 5/8. Keďže v príslušnom treťom stĺpci R3 je 1, musíte celý R3 vynásobiť 5/8 a výsledok pripočítať k R2. V skratke je to R2+5/8*R3. Po jednotlivých členoch je to R2=(0+0), (1+0), (-5/8+5/8), (27/8+5/8). Zjednodušíme ich na R2=[0,1,0,4].

  • Kopírujte pozdĺž R1=[1,1/3,-1/3,3] a R3=[0,0,1,1].


Vytvorte 0 v prvom riadku, treťom stĺpci (R1C3). Prvý riadok je v súčasnosti R1=[1,1/3,-1/3,3]. Musíte transformovať -1/3 v treťom stĺpci na 0 pomocou určitej kombinácie R3. R2 nechcete použiť, pretože 1 v druhom stĺpci R2 by ovplyvnila R1 nesprávnym spôsobom. Takže vynásobíte R3*1/3 a potom výsledok pripočítate k R1. Zápis pre tento postup je R1+1/3*R3. Výsledkom je R1=(1+0), (1/3+0), (-1/3+1/3), (3+1/3). Tieto zjednodušenia dajú nový R1=[1,1/3,0,10/3].

  • Skopírujte nezmenené hodnoty R2=[0,1,0,4] a R3=[0,0,1,1].


Vytvorte 0 v prvom riadku, druhom stĺpci (R1C2). Ak ste všetko urobili správne, toto by mal byť váš posledný krok. Je potrebné transformovať 1/3 v druhom stĺpci na 0. Toto môžete získať vynásobením R2*1/3 a odčítaním. V skratke je to R1-1/3*R2. Výsledok je R1=(1-0), (1/3-1/3), (0-0), (10/3-4/3). Zjednodušením dostaneme výsledok R1=[1,0,0,2].


Vyhľadajte maticu riešenia. V tomto okamihu, ak všetko prebehlo v poriadku, by ste mali mať tri riadky R1=[1,0,0,2], R2=[0,1,0,4] a R3=[0,0,1,1]. Všimnite si, že ak to zapíšete v tvare blokovej matice s riadkami nad sebou, budete mať na diagonále 1, všade inde 0 a vaše riešenia vo štvrtom stĺpci. Matica riešenia by mala vyzerať takto:

  • 1 0 0 2
  • 0 1 0 4
  • 0 0 1 1


Dajte zmysel svojmu riešeniu. Keď ste svoje lineárne rovnice previedli do matice, do prvého stĺpca ste vložili koeficienty x, do druhého stĺpca koeficienty y, do tretieho stĺpca koeficienty z. Ak chcete prepísať vašu maticu späť do tvaru rovnice, tieto tri riadky matice v skutočnosti znamenajú tri rovnice 1x+0y+0z=2, 0x+1y+0z=4 a 0x+0y+1z=1. Keďže môžeme vypustiť 0-tky a nemusíme písať koeficienty 1, tieto tri rovnice sa zjednodušia a dostaneme riešenie x=2, y=4 a z=1. Toto je riešenie vašej sústavy lineárnych rovníc.[5]

Časť 4 zo 4:Overenie vášho riešenia


Nahraďte hodnoty riešenia do každej premennej v každej rovnici. Vždy je dobré skontrolovať, či je vaše riešenie skutočne správne. Urobíte to tak, že otestujete svoje výsledky v pôvodných rovniciach.

  • Pripomeňme si, že pôvodné rovnice tohto problému boli 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 a x+y+z=7. Keď nahradíte premenné ich riešenými hodnotami, dostanete 3*2+4-1=9, 2*2-2*4+1=-3 a 2+4+1=7.


Zjednodušte každú rovnicu. Vykonajte operácie v každej rovnici podľa základných pravidiel operácií. Prvá rovnica sa zjednoduší na 6+4-1=9 alebo 9=9. Druhá rovnica sa zjednoduší ako 4-8+1=-3 alebo -3=-3. Konečná rovnica je jednoducho 7=7.

  • Keďže každá rovnica sa zjednodušuje na pravdivé matematické tvrdenie, vaše riešenia sú správne. Ak by sa niektorý z nich nevyriešil správne, museli by ste sa vrátiť k svojej práci a hľadať prípadné chyby. Niektoré časté chyby sa vyskytujú pri vynechávaní záporných znamienok na ceste alebo pri zámene násobenia a sčítania zlomkov.

  • Napíšte svoje konečné riešenia. Pre túto úlohu je konečné riešenie x=2, y=4 a z=1.
  • Odkazy