Ako riešiť radikálové rovnice: 12 krokov (s obrázkami)

Radikálová rovnica je algebraická rovnica, v ktorej je premenná pod koreňom, ako napr

x{\displaystyle {\sqrt {x}}

. Koreň je zvyčajne odmocnina, ale môže to byť aj odmocnina z kocky alebo iné koreňové súčty – na spôsobe riešenia rovnice to nič nezmení. Ak si uvedomíte, že opakom radikálu je exponent (napr. že

x2=x{\displaystyle {\sqrt {x}}^{2}=x}

), potom je riešenie radikálových rovníc vlastne celkom jednoduché.

Metóda 1 z 2:Riešenie rovníc s jedným radikálom


Izolujte premennú a radikál na jednej strane rovnice. Je to rovnaké ako riešenie akejkoľvek inej algebraickej rovnice. Spojte podobné členy a sčítajte/odčítajte čísla tak, aby vaša premenná a radikál stáli samostatne. Ak to pomôže, spracujte

x{\displaystyle {\sqrt {x}}}

ako bežné „x“ v akejkoľvek inej úlohe a vyriešte ju. Napríklad pri úlohe

x+3=10{\displaystyle {\sqrt {x}}+3=10}

:

  • Izolujte

    x{\displaystyle {\sqrt {x}}}

    :

    x+3=10{\displaystyle {\sqrt {x}}+3=10}
  • Odpočítajte 3 od oboch strán:

    x+33=103{\displaystyle {\sqrt {x}}+3-3=10-3}
  • Zjednodušte obe strany:

    x=7{\displaystyle {\sqrt {x}}=7}

    [1]


Obe strany rovnice odmocnite, aby ste odstránili radikál. Všetko, čo musíte urobiť, aby ste zrušili radikál, je odmocniť ho. Pretože potrebujete, aby rovnica zostala vyvážená, odmocníte obe strany, rovnako ako ste predtým pripočítali alebo odčítali od oboch strán. Takže pre príklad:

  • Izolujte

    x{\displaystyle {\sqrt {x}})

    :

    x=7{\displaystyle {\sqrt {x}}=7}
  • Obe strany odmocnite:

    (x)2=(7)2{\displaystyle ({\sqrt {x}})^{2}=(7)^{2}}
  • Konečná odpoveď:

    x=49{\displaystyle x=49}


Skontrolujte svoje odpovede v pôvodnom probléme. Pri riešení radikálových rovníc môžete dostať odpovede, ktoré v skutočnosti nezodpovedajú problému. Vždy musíte skontrolovať svoje riešenia, aby ste sa uistili, že máte všetky skutočné odpovede. Ak chcete skontrolovať odpoveď, jednoducho dosaďte každú odpoveď za „x“ v pôvodnej rovnici:

  • Pôvodná rovnica:

    x+3=10{\displaystyle {\sqrt {x}}+3=10}
  • Nahraďte x číslom 49:

    49+3=10{\displaystyle {\sqrt {49}}+3=10}
  • Vyriešte:

    7+3=10{\displaystyle 7+3=10}
  • Naše riešenie je platné:

    10=10{\displaystyle 10=10}

    [2]


Rovnakú techniku použite aj pri zložitejších koreňoch, nielen pri štvorcoch. Táto stratégia funguje bez ohľadu na koreň, ako napríklad

x31=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}-1=3}

. Stačí len zvýšiť obe strany na rovnakú mocninu ako koreň. Takže pre tento príklad:

  • Izolujte

    x3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}

    :

    x31=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}-1=3}
  • Pridajte 1 k obom stranám:

    x31+1=3+1{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}-1+1=3+1}
  • Zjednodušte obe strany:

    x3=4{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=4}
  • Obidve strany kocky:

    (x3)3=(4)3{\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{3}=(4)^{3}}
  • Konečná odpoveď: 64
  • Kontrola riešenia:

    6431=41=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{64}}-1=4-1=3}

    [3]


Nezabudnite odmocniť obe strany rovnice, nie len jej členy. Pri odstraňovaní radikálu odmocníte obe strany rovnice. Ak máte viacero členov, napríklad rovnicu

x=2x+3{\displaystyle {\sqrt {x}}=2x+3}

, musíte odmocniť celý strana, nie jednotlivé členy (

2x2{\displaystyle 2x^{2}}

a

32{\displaystyle 3^{2}}

sú obe nesprávne). Pred riešením x v príklade potom:

  • Pôvodná rovnica:

    x=2x+3{\displaystyle {\sqrt {x}}=2x+3}
  • Obe strany odmocnite:

    (x)2=(2x+3)2{\displaystyle ({\sqrt {x}})^{2}=(2x+3)^{2}}
  • Rozšírenie výrazov:

    x=4x2+12x+9{\displaystyle x=4x^{2}+12x+9}
  • Uvedený výraz bol rozšírený pomocou polynomického násobenia. Ak si neviete rady s postupom, môžete si ho pozrieť tu.[4]

Metóda 2 z 2:Riešenie rovníc s viacerými radikálmi


Na riešenie zložitých radikálových rovníc použite stratégiu izolácie s niekoľkými novými trikmi. Ak máte v rovnici dva radikály, nepanikárte. Základy riešenia radikálových rovníc sú stále rovnaké. Chcete získať premenné samé o sebe, odstrániť radikály jeden po druhom, vyriešiť rovnicu, ktorá zostala, a skontrolovať všetky známe riešenia.

  • V tomto príklade vyriešte radikálovú rovnicu
    2x5x1=1{\displaystyle {\sqrt {2x-5}}-{\sqrt {x-1}}=1}

    [5]

  • Pri práci s radikálmi často skončíte pri kvadratických rovniciach. Ak si nie ste istí, zopakujte si, ako ich vyriešiť.


Izolujte jednu z premenných pod radikálom. Získajte jednu z premenných samostatne, ako by ste to robili normálne. Ostatné zatiaľ ignorujte. V tomto príklade jednoducho pridajte

x1{\displaystyle {\sqrt {x-1}}

na každú stranu:

  • Pôvodný problém:

    2x5x1=1{\displaystyle {\sqrt {2x-5}}-{\sqrt {x-1}}=1}
  • Izolujte jeden radikál:

    2x5x1+x1=1+x1{\displaystyle {\sqrt {2x-5}}-{\sqrt {x-1}}+{\sqrt {x-1}}=1+{\sqrt {x-1}}}
    • 2x5=1+x1{\displaystyle {\sqrt {2x-5}}=1+{\sqrt {x-1}}}

      [6]


Obe strany rovnice vyčíslite štvorcom. Opäť tu nie je nič, čo by ste už nerobili s jednoduchšími rovnicami. Obe strany odmocnite, aby ste odstránili radikál na ľavej strane.

  • Izolovaný radikál:

    2x5=1+x1{\displaystyle {\sqrt {2x-5}}=1+{\sqrt {x-1}}}
  • Obe strany odmocnite:

    (2x5)2=(1+x1)2{\displaystyle ({\sqrt {2x-5}})^{2}=(1+{\sqrt {x-1}})^{2}}
  • Rozšíriť:

    2x5=1+2x1+(x1){\displaystyle 2x-5=1+2{\sqrt {x-1}}+(x-1)}
  • Zjednodušte:

    2x5=2x1+x{\displaystyle 2x-5=2{\sqrt {x-1}}+x}


Izolujte druhú odmocninu. Jeden z vašich radikálov je preč – je čas zbaviť sa druhého. Stačí vykonať rovnaké pohyby ako prvýkrát, izolovať stranu s radikálom.

  • Zjednodušená rovnica:

    2x5=2x1+x{\displaystyle 2x-5=2{\sqrt {x-1}}+x}
  • Izolujte radikál:

    2x5x=2x1+xx{\displaystyle 2x-5-x=2{\sqrt {x-1}}+x-x}
    • x52=2x12{\displaystyle {\frac {x-5}{2}}={\frac {2{\sqrt {x-1}}}{2}}}
    • x52=x1{\displaystyle {\frac {x-5}{2}}={\sqrt {x-1}}}

      [7]


Obe strany sú štvorcové. Opäť to môžete urobiť s ľubovoľným koreňom – ak máte kubický koreň, obe strany by ste kubizovali, ak je to 4. koreň, obe strany by ste zvýšili na 4. mocninu atď. Vaším cieľom je jednoducho zrušiť radikál.

  • Izolovaný konečný radikál:

    x52=x1{\displaystyle {\frac {x-5}{2}}={\sqrt {x-1}}}
  • Obe strany odmocnite:

    (x52)2=(x1)2{\displaystyle ({\frac {x-5}{2}})^{2}=({\sqrt {x-1}})^{2}}
  • Rozložte obe strany:

    (x210x+25)4=x1{\displaystyle {\frac {(x^{2}-10x+25)}{4}}=x-1}
  • Zjednodušte:

    x210x+25=4x1{\displaystyle x^{2}-10x+25=4x-1}

    [8]


Po odstránení všetkých radikálov vyriešte „x“. Teoreticky by ste to mohli robiť bez ohľadu na to, koľko radikálov máte, hoci vidíte, ako rýchlo by sa to skomplikovalo. Keď už máte oba radikály preč, je čas použiť vaše algebrické zručnosti a vyriešiť x. V tomto príklade,

x210x+25=4x4{\displaystyle x^{2}-10x+25=4x-4}

, budete musieť použiť kvadratickú rovnicu. Môžete tiež nakresliť graf oboch strán rovnice a zistiť, kde sa stretávajú.

  • Pomocou kvadratickej rovnice dostanete len dve možné odpovede: 2.53 a 11.47.

  • Skontrolujte všetky možné riešenia, aby ste dostali správnu odpoveď. Pamätajte, že nie všetky nájdené odpovede budú správne. Musíte ich zapojiť späť, aby ste ich skontrolovali. Ak odpoveď nie je súčasťou riešenia, môžete ju pokojne vyhodiť, hoci niektorí učitelia chcú, aby ste vo svojej práci ukázali, že ste odpoveď našli a vyhodili.

    • Skontrolujte 2.53:

      2(2.53)5(2.53)1=1{\displaystyle {\sqrt {2(2.53)-5}}-{\sqrt {(2.53)-1}}=1}
      • Odpoveď nie je overená,
        x=2.53{\displaystyle x=2.53}

        nie je riešením.

    • Kontrola 11.74:

      2x5x1=1{\displaystyle {\sqrt {2x-5}}-{\sqrt {x-1}}=1}
      • Odpoveď je overená,
        x=11.74{\displaystyle x=11.74}

        je riešenie.

    • Konečná odpoveď na problém
      2x5x1=1{\displaystyle {\sqrt {2x-5}}-{\sqrt {x-1}}=1}

      je 11.74.[9]

  • Odkazy