Ako robiť kužeľové rezy

Kónické rezy sú zaujímavým odvetvím matematiky, ktoré zahŕňa rez dvojnásobne zrezaným kužeľom. Rozrezaním kužeľa rôznymi spôsobmi môžete vytvoriť tak jednoduchý tvar ako bod alebo tak zložitý ako hyperbola.

Časť 1 z 5:Kónické rezy: Všeobecné informácie


Pochopte, čo je na kužeľovom reze zvláštne. Na rozdiel od bežných súradnicových rovníc sú kónické rezy všeobecnými rovnicami a nemusia byť nevyhnutne funkciami. Napríklad,

x=5{\displaystyle x=5}

, hoci je rovnica, nie je funkciou.


Poznať rozdiel medzi degenerovaným prípadom a kužeľovým rezom. Degenerované prípady sú tie, kde rovina rezu prechádza priesečníkom alebo vrcholom dvojplášťového kužeľa. Niektoré príklady degenerovaných útvarov sú priamky, priesečníky a body. Štyri kužeľosečky sú kružnice, paraboly, elipsy a hyperboly.[1]


Uvedomte si myšlienku, že kužeľové rezy sa opierajú o. Kuželosečka na súradnicovej rovine je len množina bodov, ktoré sa riadia určitým pravidlom, ktoré ich všetky spája so smerom a ohniskami kuželosečky.

Časť 2 z 5:Kónická časť 1: Kružnice


Vedieť, na ktorú časť kužeľa sa pozeráte. Kružnica je definovaná ako „súbor bodov rovnako vzdialených od pevného bodu.“[2]


Nájdite súradnice stredu kružnice. Kvôli vzorcom budeme stred nazývať

(h,k){\displaystyle (h,k)}

ako je zvykom pri zápise všeobecnej rovnice kužeľosečky.


Nájdite polomer kružnice. Kružnica je definovaná ako množina bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od stanoveného stredového bodu

(h,k){\displaystyle (h,k)}

. Táto vzdialenosť je polomer.


Zapojte ich do rovnice kružnice. Rovnica kružnice je jednou z najľahšie zapamätateľných rovníc všetkých kužeľových rezov. Vzhľadom na stred

(h,k){\displaystyle (h,k)}

a polomer dĺžky

r{\displaystyle r}

, kružnica je definovaná

(xh)2+(yk)2{\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}}

. Nezabudnite si uvedomiť, že nejde o funkciu. Ak sa pokúšate vykresliť kružnicu na grafickej kalkulačke, budete musieť vykonať určitú algebru, aby ste ju rozdelili na dve rovnice, ktoré môžete vykresliť pomocou kalkulačky alebo použiť funkciu „nakresliť“.

Graf kružnice, ak je to potrebné. Ak vám graf nie je daný, grafické znázornenie vám môže pomôcť získať lepšiu predstavu o tom, ako by mala kružnica vyzerať. Načrtnite bod stredu, z každej strany predĺžte čiaru o dĺžke polomeru a nakreslite kružnicu.

Časť 3 z 5:Kónická časť 2: Paraboly

Pochopte, čo je to parabola. Podľa definície je parabola „množina všetkých bodov rovnako vzdialených od priamky (priamky) a pevného bodu, ktorý nie je na priamke (ohnisko).“[3]

Nájdite súradnice vrcholu. Vrchol,

(h,k){\displaystyle (h,k)}

, je bod, v ktorom má graf os symetrie. Nakresliť tento bod vám pomôže graf paraboly.

Nájdite ohnisko. Rovnica pre ohnisko je

(h,k+p){\displaystyle (h,k+p)}

,

p{\displaystyle p}

je vzdialenosť medzi vrcholom a ohniskom.

Zapojte, aby ste našli priamku. Priamka má rovnicu

y=kp{\displaystyle y=k-p}

. Pomocou vrcholu a ohniska vytvorte sústavu dvoch rovníc, vyriešte premenné a dosaďte ich do vzorca pre priamku.

Vyriešte os symetrie. Os symetrie paraboly je definovaná ako

x=h{\displaystyle x=h}

. Táto priamka ukazuje, že parabola je symetrická a mala by prechádzať vrcholom.

Nájdite rovnicu paraboly. Vzorec pre rovnicu paraboly je

(yk)=14p(xh)2{\displaystyle (y-k)={\frac {1}{4p}}(x-h)^{2}}

. Zapojte premenné

k{\displaystyle k}

,

h{\displaystyle h}

, a

p{\displaystyle p}

nájsť rovnicu.

Graf paraboly, ak vám nie je daný graf. Tým sa ukáže, ako vyzerá parabola. Vyznačte vrchol a ohnisko a nakreslite priamku a os symetrie. Nakreslite parabolu buď smerom nahor, alebo nadol, podľa toho, či

p{\displaystyle p}

je kladná, resp. záporná.

Časť 4 z 5:Kónická časť 3: Elipsy

Vedieť, čo je elipsa. Elipsa je definovaná ako „množina takých bodov, že súčet vzdialeností z ľubovoľného bodu na elipse do dvoch iných pevných bodov je konštantný.“[4]

Nájdite stred. Stred elipsy je definovaný ako

(h,k){\displaystyle (h,k)}

.

Nájdite hlavnú os. Rovnica pre elipsu je

(xh)2a2+(yk)2b2=1{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}

alebo

(xh)2b2+(yk)2a2=1{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1}

, kde

a>b{\displaystyle a>b}

. Ktorýkoľvek menovateľ má väčšie číslo, premenná v čitateli (buď

x{\displaystyle x}

alebo

y{\displaystyle y}

) príslušná os je hlavná os. Druhá je vedľajšia os.

Vyriešte vrcholy. Elipsa má štyri vrcholy. Na riešenie vrcholov nechajte

x{\displaystyle x}

a

y=0{\displaystyle y=0}

a vyriešte tieto dve premenné. Tieto údaje vám poskytnú body na grafe, v ktorých sa elipsa pretína.

Ak je to potrebné, vykreslite elipsu do grafu. Vyznačte body vrcholov a spojte body do grafu elipsy. Hlavná os by mala byť dlhšia ako vedľajšia os.

Časť 5 z 5:Kónická časť 4: Hyperboly

Pochopte, čo je hyperbola. Podľa definície je hyperbola „množina všetkých bodov takých, že rozdiel vzdialeností medzi ľubovoľným bodom na hyperbole a dvoma pevnými bodmi je konštantný.“[5]
Je to podobné ako pri elipse; hyperbola je však rozdielom vzdialeností, zatiaľ čo elipsa je súčtom.

Nájdite stred hyperboly. Stred je definovaný ako

(h,k){\displaystyle (h,k)}

a bude to bod medzi dvoma krivkami.

Nájdite priečnu os. Rovnica hyperboly je

(xh)2a2(yk)2b2=1{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}

alebo

(yk)2a2(xh)2b2=1{\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1}

, kde

a>b{\displaystyle a>b}

. Ktorákoľvek premenná je v rovnici prvá a je väčšia (buď

x{\displaystyle x}

alebo

y{\displaystyle y}

) je priečna os.

Riešenie pre vrcholy. Na rozdiel od elipsy má hyperbola len dva vrcholy. Na ich vyriešenie nechajte

x{\displaystyle x}

a

y=0{\displaystyle y=0}

a vyriešime tieto dve premenné. Riešenia pre premennú zodpovedajúcu priečnej osi vám dajú body na grafe, v ktorých sa hyperbola pretína.

  • Ďalšie dve riešenia nebudú reálnymi číslami, ale vylúčením imaginárnej zložky (
    i{\displaystyle i}

    ) vám poskytne ďalšie dve súradnice v reálnej rovine. Tieto body, nazývané krycie body, vám môžu pomôcť pri vykresľovaní grafu hyperboly.

Nájdite asymptoty. Asymptoty sú dve priamky, ktorých sa hyperbola nikdy nedotkne, ale neustále sa k nim približuje. Môžete jednoducho použiť vzorec pre sklon (

m=riserun{\displaystyle m={\frac {východ}{beh}}}

) alebo vyriešiť faktoringom, aby sme našli asymptoty.

  • Zostrojte graf hyperboly, ak vám nie je daný. Zostrojte škatuľu pomocou štyroch bodov (dvoch vrcholov a ďalších dvoch nájdených bodov) ako vrcholov škatule. Odtiaľto nakreslite asymptoty vychádzajúce z rohov políčka. Potom nakreslite dve krivky vychádzajúce z políčka, ktoré sa dotýkajú dvoch vrcholov. Ak chcete, vymažte rámček.
  • Odkazy