Ako ručne vypočítať odmocninu (s obrázkami)

V časoch pred kalkulačkami museli študenti aj profesori počítať odmocniny ručne. Na riešenie tohto náročného procesu sa vyvinulo niekoľko rôznych metód, z ktorých niektoré poskytujú hrubú aproximáciu, iné presnú hodnotu. Ak sa chcete naučiť, ako nájsť druhú odmocninu čísla len pomocou jednoduchých operácií, pozrite si krok 1 nižšie a začnite.

Metóda 1 z 2: Použitie prvočíselnej faktorizácie


Rozdeľte svoje číslo na dokonalé štvorcové činitele. Táto metóda využíva činitele čísla na nájdenie druhej odmocniny čísla (v závislosti od čísla môže ísť o presnú číselnú odpoveď alebo blízky odhad). Číslo je Faktory je akýkoľvek súbor iných čísel, ktoré sa spolu násobia, aby sa vytvorili.[1]
Mohli by sme napríklad povedať, že činitele čísla 8 sú 2 a 4, pretože 2 × 4 = 8. Na druhej strane, dokonalé štvorce sú celé čísla, ktoré sú súčinom iných celých čísel. Napríklad 25, 36 a 49 sú dokonalé štvorce, pretože majú rozmery 52, 62 a 72. Činitele dokonalého štvorca sú, ako ste možno uhádli, činitele, ktoré sú tiež dokonalými štvorcami. Ak chcete začať hľadať druhú odmocninu pomocou prvočíselnej faktorizácie, najprv sa pokúste zredukovať svoje číslo na jeho dokonalé štvorcové činitele.[2]

  • Použime príklad. Chceme ručne nájsť druhú odmocninu z čísla 400. Na začiatku by sme číslo rozdelili na dokonalé štvorcové činitele. Keďže 400 je násobkom 100, vieme, že je rovnomerne deliteľné číslom 25 – dokonalým štvorcom. Rýchle mentálne delenie nám umožňuje zistiť, že 25 prechádza do 400 16-krát. 16 je zhodou okolností tiež dokonalý štvorec. Teda dokonalé štvorcové činitele čísla 400 sú 25 a 16 pretože 25 × 16 = 400.
  • Zapísali by sme to ako: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)


Vezmite odmocniny svojich dokonalých štvorcových činiteľov. Vlastnosť súčinu odmocnín hovorí, že pre ľubovoľné dané čísla a a b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). Vďaka tejto vlastnosti môžeme teraz vziať odmocniny našich dokonalých štvorcových činiteľov a vynásobiť ich spolu, aby sme dostali našu odpoveď.[3]

  • V našom príklade by sme zobrali odmocniny 25 a 16. Pozri nižšie:
    • Sqrt(25 × 16)
    • Sqrt(25) × Sqrt(16)
    • 5 × 4 = 20


Zredukujte svoju odpoveď na najjednoduchší výraz, ak vaše číslo nie je dokonale deliteľné. V reálnom živote sa častejšie stáva, že čísla, pre ktoré budete potrebovať nájsť odmocniny, nebudú pekné okrúhle čísla so zjavnými dokonalými štvorcovými činiteľmi, ako je 400. V týchto prípadoch nemusí byť možné nájsť presnú odpoveď ako celé číslo. Naopak, nájdením všetkých dokonalých štvorcových činiteľov, ktoré môžete, môžete nájsť odpoveď v podobe menšej, jednoduchšej a ľahšie zvládnuteľnej odmocniny. Ak to chcete urobiť, zredukujte svoje číslo na kombináciu dokonalých štvorcových činiteľov a nedokonalých štvorcových činiteľov a potom zjednodušte.[4]

  • Ako príklad použime druhú odmocninu čísla 147. 147 nie je súčinom dvoch dokonalých štvorcov, takže nemôžeme získať presnú celočíselnú hodnotu ako vyššie. Je to však súčin jedného dokonalého štvorca a iného čísla – 49 a 3. Túto informáciu môžeme použiť na zápis našej odpovede v najjednoduchšom tvare takto:
    • Sqrt(147)
    • = Sqrt(49 × 3)
    • = Sqrt(49) × Sqrt(3)
    • = 7 × Sqrt(3)


V prípade potreby odhadnite. S vašou druhou odmocninou v najjednoduchšom vyjadrení je zvyčajne pomerne jednoduché získať hrubý odhad číselnej odpovede odhadnutím hodnoty všetkých zvyšných druhých odmocnín a vynásobením cez. Jedným zo spôsobov, ako sa riadiť odhadmi, je nájsť dokonalé štvorce na oboch stranách čísla v odmocnine. Budete vedieť, že desatinná hodnota čísla vo vašej odmocnine je niekde medzi týmito dvoma číslami, takže budete vedieť odhadnúť medzi nimi.

  • Vráťme sa k nášmu príkladu. Keďže 22 = 4 a 12 = 1, vieme, že Sqrt(3) je medzi 1 a 2 – pravdepodobne bližšie k 2 ako k 1. Odhadneme 1.7. 7 × 1.7 = 11.9 Ak si našu prácu skontrolujeme v kalkulačke, vidíme, že sme pomerne blízko skutočnej odpovedi 12.13.
    • Toto funguje aj pre väčšie čísla. Napríklad Sqrt(35) môžeme odhadnúť na hodnotu medzi 5 a 6 (pravdepodobne veľmi blízko k 6). 52 = 25 a 62 = 36. 35 je medzi 25 a 36, takže jeho odmocnina musí byť medzi 5 a 6. Keďže 35 je len jedna od 36, môžeme s istotou povedať, že jeho odmocnina je len nižšia ako 6. Kontrola pomocou kalkulačky nám dáva odpoveď približne 5.92 – mali sme pravdu.


Zredukujte svoje číslo na jeho Najnižšie spoločné činitele ako prvý krok. Hľadanie štvorcových činiteľov nie je potrebné, ak môžete ľahko určiť prvočísla (činitele, ktoré sú zároveň prvočíslami). Napíšte svoje číslo v podobe jeho najmenších spoločných deliteľov. Potom medzi činiteľmi hľadajte zodpovedajúce dvojice prvočísiel. Keď nájdete dva zhodné prvočísla, odstráňte obe tieto čísla z odmocniny a umiestnite jeden týchto čísel mimo odmocniny.

  • Ako príklad nájdime druhú odmocninu čísla 45 pomocou tejto metódy. Vieme, že 45 = 9 × 5 a vieme, že 9 = 3 × 3. Našu odmocninu teda môžeme zapísať v tvare jej činiteľov takto: Sqrt(3 × 3 × 5). Jednoducho odstráňte trojky a jednu trojku dajte mimo odmocniny, aby ste dostali svoju odmocninu v najjednoduchšom vyjadrení: (3)Sqrt(5). Odtiaľto je jednoduché odhadnúť.
  • Ako poslednú príkladovú úlohu skúsme nájsť druhú odmocninu z čísla 88:
    • Sqrt(88)
    • = Sqrt(2 × 44)
    • = Sqrt(2 × 4 × 11)
    • = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). V našej odmocnine máme niekoľko dvojok. Keďže 2 je prvočíslo, môžeme odstrániť dvojicu a jednu umiestniť mimo odmocniny.
    • = Naša odmocnina v najjednoduchšom vyjadrení je (2) Sqrt(2 × 11) alebo (2) Sqrt(2) Sqrt(11). Odtiaľto môžeme odhadnúť Sqrt(2) a Sqrt(11) a nájsť približnú odpoveď, ak chceme.

Metóda 2 z 2:Ručné hľadanie odmocnín

Použitie algoritmu dlhého delenia


Rozdeľte číslice svojho čísla do dvojíc. Táto metóda využíva postup podobný dlhému deleniu na nájdenie presné odmocnina po čísliciach. Hoci to nie je nevyhnutné, možno zistíte, že tento postup sa vám bude vykonávať najľahšie, ak si vizuálne usporiadate pracovnú plochu a číslo do použiteľných častí. Najprv nakreslite zvislú čiaru, ktorá rozdelí vašu pracovnú oblasť na dve časti, potom nakreslite kratšiu vodorovnú čiaru v blízkosti hornej časti pravej časti, aby ste pravú časť rozdelili na malú hornú časť a väčšiu dolnú časť. Potom rozdeľte číslice vášho čísla do dvojíc, počnúc desatinnou čiarkou. Podľa tohto pravidla napríklad 79 520 789 182.47897 sa stane „7 95 20 78 91 82. 47 89 70“. Napíšte svoje číslo do hornej časti ľavého priestoru.

  • Ako príklad skúsme vypočítať druhú odmocninu zo 780.14. Nakreslite dve čiary, aby ste si rozdelili pracovnú plochu, ako je uvedené vyššie, a napíšte „7 80. 14“ v hornej časti ľavého priestoru. Je to O.K. že ľavá časť je skôr osamelé číslo ako dvojica čísel. Svoju odpoveď (druhú odmocninu zo 780.14.) v pravom hornom priestore.


Nájdite najväčšie celé číslo n ktorého štvorec je menší alebo sa rovná najľavejšiemu číslu (alebo dvojici). Začnite s najľavejším „kúskom“ vášho čísla, či už je to dvojica alebo jedno číslo. Nájdite najväčší dokonalý štvorec, ktorý je menší alebo rovný tomuto dielu, a potom zoberte druhú odmocninu tohto dokonalého štvorca. Toto číslo je n. Napíšte n do pravého horného priestoru a napíšte štvorec n do pravého dolného kvadrantu.

  • V našom príklade je najľavejším „kúskom“ číslo 7. Keďže vieme, že 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, môžeme povedať, že n = 2, pretože je to najväčšie celé číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný 7. Do pravého horného kvadrantu napíšte 2. Toto je prvá číslica našej odpovede. Do pravého dolného kvadrantu napíšte 4 (štvorec 2). Toto číslo bude dôležité v ďalšom kroku.


Odpočítajte číslo, ktoré ste práve vypočítali z ľavej dvojice. Podobne ako pri dlhom delení je ďalším krokom odčítanie práve nájdeného štvorca od práve analyzovaného dielika. Toto číslo napíšte pod prvú časť a odčítajte, pričom odpoveď napíšte pod ňu.

  • V našom príklade by sme napísali 4 pod 7 a potom by sme odčítali. To nám dáva odpoveď 3.


Spustite ďalšiu dvojicu. Presuňte ďalšiu „časť“ v čísle, ktorého odmocninu riešite, dole vedľa práve zistenej odčítanej hodnoty. Ďalej vynásobte číslo v pravom hornom kvadrante dvoma a zapíšte ho do pravého dolného kvadrantu. Vedľa čísla, ktoré ste práve zapísali, vyhraďte miesto pre úlohu na násobenie, ktorú budete riešiť v ďalšom kroku, a to tak, že napíšete „“_×_=““.

  • V našom príklade je ďalšia dvojica v našom čísle „80“. Napíšte „80“ vedľa čísla 3 v ľavom kvadrante. Ďalej vynásobte číslo v pravom hornom rohu dvoma. Toto číslo je 2, takže 2 × 2 = 4. Do pravého dolného kvadrantu napíšte „‚4“ a potom _×_=.


Vyplňte prázdne miesta v pravom kvadrante. Každé prázdne miesto, ktoré ste práve napísali v pravom kvadrante, musíte vyplniť rovnakým celým číslom. Toto celé číslo musí byť najväčšie celé číslo, ktoré umožňuje, aby výsledok úlohy na násobenie v pravom štvorci bol menší alebo rovný aktuálnemu číslu v ľavom priestore.

  • V našom príklade vyplnením prázdnych miest číslom 8 dostaneme 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Toto je väčšia hodnota ako 380. Preto je číslo 8 príliš veľké, ale 7 bude pravdepodobne fungovať. Do prázdnych polí napíšte 7 a vyriešte: 4(7) × 7 = 329. 7 vychádza, pretože 329 je menej ako 380. Do pravého horného kvadrantu napíš 7. Toto je druhá číslica druhej odmocniny čísla 780.14.


Odpočítajte práve vypočítané číslo od aktuálneho čísla vľavo. Pokračujte v reťazci odčítania v štýle dlhého delenia. Vezmite výsledok úlohy na násobenie v pravom štvorci a odčítajte ho od aktuálneho čísla vľavo, pričom svoju odpoveď napíšte nižšie.

  • V našom príklade by sme od čísla 380 odpočítali 329, čím by sme získali 51.


Zopakujte krok 4. Vypustite ďalšiu časť čísla, z ktorého zisťujete druhú odmocninu, nadol. Keď dosiahnete desatinnú čiarku vo vašom čísle, napíšte desatinnú čiarku do vašej odpovede v pravom hornom kvadrante. Potom vynásobte číslo vpravo hore číslom 2 a napíšte ho vedľa prázdnej úlohy na násobenie („_ × _“), ako je uvedené vyššie.

  • V našom príklade, keďže sa teraz stretávame s desatinnou čiarkou v 780.14, napíšeme desatinnú čiarku za našu aktuálnu odpoveď vpravo hore. Ďalej vynechajte ďalšiu dvojicu (14) v ľavom kvadrante. Dvojnásobok čísla vpravo hore (27) je 54, takže do pravého dolného kvadrantu napíšte „54 _×_=“.


Zopakujte krok 5 a 6. Nájdite najväčšiu číslicu na vyplnenie prázdnych políčok vpravo, ktorá dáva odpoveď menšiu alebo rovnú aktuálnemu číslu vľavo. Potom vyriešte úlohu.

  • V našom príklade je 549 × 9 = 4941, čo je menej alebo rovnako ako číslo vľavo (5114). 549 × 10 = 5490, čo je príliš veľa, takže našou odpoveďou je 9. Napíšte 9 ako ďalšiu číslicu v pravom hornom kvadrante a odčítajte výsledok násobenia od čísla vľavo: 5114 mínus 4941 je 173.

  • Pokračujte vo výpočte číslic. vynechajte dvojicu núl na ľavej strane a zopakujte kroky 4, 5 a 6. Pre väčšiu presnosť pokračujte v opakovaní tohto postupu, aby ste našli stotinu, tisícinu atď. miest vo vašej odpovedi. Pokračujte v tomto cykle, kým nenájdete odpoveď na požadované desatinné miesto.
  • Pochopenie postupu


    Číslo, z ktorého počítate druhú odmocninu, považujte za plochu S štvorca. Pretože plocha štvorca je L2, kde L je dĺžka jednej z jeho strán, preto sa snahou nájsť druhú odmocninu vášho čísla snažíte vypočítať dĺžku L strany tohto štvorca.


    Určite písmenové premenné pre každú číslicu vašej odpovede. Priraďte premennú A ako prvú číslicu L (odmocnina, ktorú sa snažíme vypočítať). B bude jej druhá číslica, C jej tretia číslica atď.


    Určite písmenové premenné pre každý „kúsok“ vášho východiskového čísla. Priraďte premennú Sak prvej dvojici číslic v S (vaša východisková hodnota), Sb druhú dvojicu číslic atď.


    Pochopte súvislosť tejto metódy s dlhým delením. Tento spôsob hľadania druhej odmocniny je v podstate úloha na dlhé delenie, ktorá delí vaše východiskové číslo jeho druhou odmocninou, teda poskytovanie jeho odmocnina ako odpoveď. Podobne ako v probléme dlhého delenia, v ktorom vás zaujíma iba nasledujúca jedna číslica naraz, tu vás zaujímajú nasledujúce dve číslice naraz (ktoré zodpovedajú nasledujúcej číslici naraz pre odmocninu).


    Nájdite najväčšie číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný Sa. Prvé číslo A v našej odpovedi je potom najväčšie celé číslo, pri ktorom štvorec nepresahuje Sa (čo znamená A tak, že A² ≤ Sa < (A+1)²). V našom príklade Sa = 7 a 2² ≤ 7 < 3², takže A = 2.

    • Všimnite si, že ak by ste napríklad chceli vydeliť 88962 číslom 7 pomocou dlhého delenia, prvý krok by bol podobný: hľadali by ste prvú číslicu 88962 (8) a chceli by ste najväčšiu číslicu, ktorá je po vynásobení číslom 7 menšia alebo rovná 8. V podstate ste zistili d aby 7 × d ≤ 8 < 7×(d+1). V tomto prípade by sa d rovnalo 1.


    Predstavte si štvorec, ktorého plochu začínate riešiť. Vaša odpoveď, odmocnina z vášho východiskového čísla, je L, ktorá opisuje dĺžku štvorca s plochou S (vaše východiskové číslo). Vaše hodnoty pre A,B,C predstavujú číslice v hodnote L. Iný spôsob, ako to povedať, je, že pre dvojcifernú odpoveď platí 10A + B = L, zatiaľ čo pre trojcifernú odpoveď platí 100A +10B + C = L atď.

    • V našom príklade, (10A+B)² = L2 = S = 100A² + 2×10A×B + B². Nezabudnite, že 10A+B predstavuje našu odpoveď L, pričom B je na pozícii jednotiek a A na pozícii desiatok. Napríklad pri A=1 a B=2 je 10A+B jednoducho číslo 12. (10A+B)² je plocha celého štvorca, zatiaľ čo 100A² plocha najväčšieho štvorca vo vnútri, je plocha najmenšieho štvorca a 10A×B je plocha každého zo zvyšných dvoch obdĺžnikov. Vykonaním tohto dlhého, zložitého postupu zistíme plochu celého štvorca tak, že sčítame plochy štvorcov a obdĺžnikov v jeho vnútri.


    Odpočítajte A² od Sa. Vynechajte jednu dvojicu (Sb) číslic z S. Sa Sb je takmer celková plocha štvorca, od ktorej ste práve odpočítali plochu väčšieho vnútorného štvorca. Zvyšok je možné považovať za číslo N1, ktoré sme získali v kroku 4 (N1 =380 v našom príklade). N1 sa rovná 2×10A × B + B² (plocha dvoch obdĺžnikov plus plocha malého štvorca).


    Hľadajte N1 = 2×10A×B + B², tiež zapísané ako N1 = (2×10A + B) × B. V našom príklade už poznáte N1 (380) a A (2), takže musíte nájsť B. B s najväčšou pravdepodobnosťou nebude celé číslo, takže musíte v skutočnosti nájsť najväčšie celé číslo B tak, aby (2×10A + B) × B ≤ N1. Takže máte: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)


    Riešenie. Ak chcete vyriešiť túto rovnicu, vynásobte A číslom 2, posuňte ho na pozíciu desiatok (čo je ekvivalentné násobeniu číslom 10), umiestnite B na pozíciu jednotiek a výsledné číslo vynásobte číslom B. Inými slovami, vyriešte (2×10A + B) × B. Presne to urobíte, keď v kroku 4 napíšete v pravom dolnom kvadrante „N_×_=“ (pričom N=2×A). V kroku 5 nájdete najväčšie celé číslo B, ktoré sa zmestí na podčiarkovník tak, aby (2×10A + B) × B ≤ N1.


    Odčítanie plochy (2×10A + B) × B od celkovej plochy. Takto získate plochu S-(10A+B)², ktorá ešte nebola započítaná (a ktorá sa použije na výpočet ďalších číslic podobným spôsobom).


  • Na výpočet ďalšej číslice C postup zopakujte. Vynechajte ďalšiu dvojicu (Sc) od S, aby ste získali N2 na ľavej strane, a hľadajte najväčšie C, aby ste mali (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (ekvivalentné napísaniu dvojnásobku dvojciferného čísla „A B“, za ktorým nasleduje „_×_=“ . Hľadajte najväčšiu číslicu, ktorá sa zmestí do prázdnych políčok a ktorá dáva odpoveď, ktorá je menšia alebo rovná N2, ako predtým.
  • Odkazy