Ako sčítať a odčítať komplexné čísla (formát a+bi): 14 krokov

Ak sa niekedy na svojich stupňoch stredoškolskej matematiky stretnete s úlohami zaoberajúcimi sa iným matematickým systémom zahŕňajúcim riešenie druhej odmocniny zo záporného čísla, nebojte sa. Špeciálna hodnota –

i{\displaystyle i}

– môže pomôcť vyriešiť tento problém. Ak však máte problém, v ktorom musíte vyriešiť úlohu na sčítanie alebo odčítanie zahŕňajúcu tieto problémy, tento článok vám pomôže nájsť správnu odpoveď.

Kroky

Rozumieť sústave imaginárnych čísel. Ak by ste sa pokúšali vypočítať hodnotu druhej odmocniny z čísla -1, na každej kalkulačke by ste dostali chybu. Keď však vidíte, že imaginárne čísla ležia v rámci množiny čísel, nie v rámci racionálnych čísel, jeden z prvých talianskych matematikov – Rafaello Bombelli, vymyslel číselnú sústavu na formátovanie čísel, ktoré sa nedali riešiť v sústave reálne/racionálne. Jeho hodnota

i=1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}

.[1]
<b>Kurz III: Integrovaná matematika.</b> Tretie vydanie, ISBN: 9781567655216

Zápis čísel pod čísla. Komplexné čísla majú tvar

a+bi{\displaystyle a+bi}

keďže komplexné číslo má tvar reálneho čísla a imaginárnej jednotky/imaginárneho čísla – vždy so znamienkom plus medzi nimi. Keď budú mať obe množiny komplexných čísel tento formát, bude jednoduché dosadiť čísla pod čísla.

  • Nezabudnite, že ak neexistuje hodnota „a“, aditívne identity komplexného čísla dávajú
    0+0i{\displaystyle 0+0i}

    . Aditívne identity nad komplexnými číslami obsahujú viac platných

    0+0i{\displaystyle 0+0i}

    hodnotu, ale je zložitejšie sa ju naučiť, pokiaľ ju nepotrebujete z nejakého dôvodu použiť.

Hľadajte rozdiely v niektorých výrazoch.

  • Hľadajte spoločné imaginárne hodnoty v odmocninách. Spoločné odmocniny priradené k „i“ sa môžu niesť po trase rovno dole s vaším komplexným číslom s
    i{\displaystyle i}

    na koniec. (V podstate

    25=5i{\displaystyle {\sqrt {-25}}=5i}

    keďže -25 možno rozložiť na odmocniny 25 a -1 – a teda rozdeliť na zložky ako

    5{\displayyle 5}

    a

    i{\displaystyle i}

    .

  • Hľadajte spoločnosť, ak hodnoty záporných odmocnín nie sú rovnaké. Buď zjednodušte, alebo rozšírte, aby sa ich hodnoty rovnali rovnakej hodnote. Neobvyklé spoločné imaginárne čísla možno preniesť do konečnej odpovede a možno ich zapísať.

Hľadajte rýchle riešenie.

  • Pri sčítaní si všimnete, že
    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}

    .

  • Pri odčítaní si všimnete, že
    (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i{\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}

    .

Metóda 1 z 2:Sčítanie výrazov

Preskúmajte svoj problém. Zistite, čo je potrebné vyriešiť, a zapíšte si to.

  • Súčet:
    3+7i{\displaystyle 3+7i}

    a

    2+8i{\displaystyle 2+8i}

    ) by potom produkoval zobrazenie:

    3+7i2+8i{\displaystyle {\begin{aligned}3+7i&\\2+8i\end{aligned}}}

Sčítajte hodnoty „a“ a túto časť odpovede umiestnite pod riadkový oddeľovač, ktorý oddeľuje váš problém od vypočítanej odpovede. Sčítanie je jednoduchšie napísať zhora nadol, ale možno budete musieť určiť aj to, aké znamienko je potrebné, pretože pri vytváraní súčtu znižujete veci.

  • Na základe uvedeného príkladu vyriešte
    a+c{\displaystyle a+c}

    problém. V tomto príklade, keďže

    3+2=5{\displaystyle 3+2=5}

    , časť reálneho čísla zapíšeme len ako (na začiatku)

    5{\displaystyle 5}

    .

Zistite, aké znamienko musí byť na mieste medzi a a b. Riešenia v matematike s komplexnými číslami sa musia vždy zapisovať so znamienkom plus medzi, ale v prípade, že súčet hodnôt b a d je záporné číslo, nezabudnite, že sčítanie záporného čísla je ekvivalentné znamienku odčítania.

  • Preto medzi ne napíšte svoje znamienko ako kladné znamienko
    +{\displaystyle +}

    .

Sčítajte hodnoty „b“ a umiestnite túto hodnotu pod hodnotu oddeľovača riadkov pre b. Znížte prípadné ďalšie podiely na časti štvorcového koreňa.

  • V uvedenom príklade pridajte hodnotu b k hodnote d. Preto,
    7+8{\displaystyle 7+8}

    ktoré všetko, čo budete musieť zapísať, je

    15{\displaystyle 15}

    .

Preneste nadol „imaginárnu číselnú konštantu s chvostom podobným skriptom“ –

i{\displaystyle i}

do svojej odpovede. Vo všetkých odpovediach, v ktorých sú premenné rovnaké, musí byť zapísaná spolu so súčtom hodnôt b.

Uvedomte si, že zložené čísla v tvare a+bi – keď sa sčítajú – stále dajú čísla v tvare a+bi. Ak dostanete niečo iné, možno ste niečo urobili zle, alebo je odpoveď príliš zjednodušená alebo nedostatočne zjednodušená.

  • V týchto úlohách nie je potrebné zjednodušovať a vynásobiť ďalšie faktory, nesnažte sa zobraziť vynásobené položky.
  • V prípade uvedeného príkladu by potom odpoveď viedla k
    5+15i{\displaystyle 5+15i}

    .

Metóda 2 z 2:Odčítanie výrazov

Preskúmajte svoj problém. Zistite, čo je potrebné vyriešiť, a zapíšte si to.

  • Odčítanie
    213i{\displaystyle 2-13i}

    z

    75i{\displaystyle 7-5i}

    .

  • Zistite, čo predstavujú vaše hodnoty komplexných čísel, a zapíšte ich. Napíšte čísla pod čísla. Ak si niektoré časti riešenia vyžadujú znamienko odčítania, zmeňte výraz tak, aby namiesto toho bol sčítaním zápornej hodnoty.

    • Pri tomto probléme by ste problém videli zapísaný takto:
  • 75i213i{\displaystyle {\begin{aligned}7-5i&\\2-13i\end{aligned}}}

    • Nezabudnite, že hodnota „od“ sa nazýva minuend, zatiaľ čo hodnota „do“ sa nazýva subtrahend.[2]

    Odpočítajte hodnoty a a c od ľavého stĺpca – stĺpca reálnych čísel, ako aj hodnoty b a d – v dvoch samostatných výpočtoch. Ak sú operátory medzi hodnotami a a b prostredníctvom odčítania, zmeňte odčítanie na sčítanie zápornej hodnoty a hodnoty sčítajte.

    • V uvedenom príklade je váš
      ac=72=5{\displaystyle a-c=7-2=5}

      a keď

      5{\displaystyle -5}

      sa zmení na a

      +5i{\displaystyle +-5i}

      a

      13i{\displaystyle -13i}

      zmení na

      +13i{\displaystyle +-13i}

      , odčítaš dve

      5i(13i)=8i{\displaystyle -5i-(-13i)=8i}

      (nezabudnite, že odčítanie väčšieho záporného čísla od menšieho záporného čísla zmení túto časť hodnoty na kladnú a po sčítaní -5 a 13 dostanete 8.

  • Ukážte odpoveď. Keďže hodnota b je kladná, môžete použiť znamienko sčítania. Ak by hodnota b niekedy nadobudla zápornú hodnotu, použili by ste znamienko odčítania, pretože sčítanie záporných hodnôt je rovnaké ako vyjadrenie odčítania. Keď vykonáte odčítanie, dostanete odpoveď

    5+8i{\displaystyle 5+8i}
  • Odkazy