Ako sčítať po sebe idúce celé čísla od 1 do 100: 9 krokov

Podľa matematickej legendy prišiel matematik Carl Friedrich Gauss vo veku 8 rokov s metódou rýchleho sčítania po sebe idúcich čísel od 1 do 100.[1]
Základná metóda spočíva v spárovaní čísel v skupine a následnom vynásobení súčtu každej dvojice počtom dvojíc. Z tejto metódy môžeme odvodiť vzorec na sčítanie po sebe idúcich čísel

a1{\displaystyle a_{1}}

cez

an{\displaystyle a_{n}}

:

Sn=n(a1+an2){\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}

. Tieto metódy sa dajú použiť na ľubovoľný rad po sebe idúcich čísel, nielen na čísla od 1 do 100.

Metóda 1 z 2:Použitie vzorca pre súčet radu


Napíšte vzorec na zistenie súčtu aritmetického radu. Vzorec je

Sn=n(a1+an2){\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}

, kde

n{\displaystyle n}

sa rovná počtu členov v rade,

a1{\displaystyle a_{1}}

je prvé číslo v rade,

an{\displaystyle a_{n}}

je posledné číslo v rade a

Sn{\displaystyle S_{n}}

sa rovná súčtu

n{\displaystyle n}

čísla.[2]


Dosadíme hodnoty do vzorca. To znamená, že prvý člen radu nahradíme za

a1{\displaystyle a_{1}}

, a posledného člena radu pre

an{\displaystyle a_{n}}

. Pri sčítaní po sebe idúcich čísel 1 až 100,

a1=1{\displaystyle a_{1}=1}

a

an=100{\displaystyle a_{n}=100}

.

  • Váš vzorec bude teda vyzerať takto:
    S100=n(1+1002){\displaystyle S_{100}=n({\frac {1+100}{2}})}

    .


Sčítajte hodnoty v čitateli zlomku a potom vydeľte 2. Od

100+1=101{\displaystyle 100+1=101}

, vydelíte 101 číslom 2:

1012=50.5{\displaystyle {\frac {101}{2}}=50.5}

.


Vynásobte

n{\displaystyle n}

. Takto získate súčet po sebe idúcich čísel v rade. V tomto prípade, keďže sčítavate po sebe idúce čísla do 100,

n=100{\displaystyle n=100}

. Takže by ste vypočítali

100(50.5)=5050{\displaystyle 100(50.5)=5050}

. Súčet po sebe idúcich čísel od 1 do 100 je teda 5 050.

  • Ak chcete rýchlo vynásobiť číslo 100, posuňte desatinnú čiarku o dve miesta doprava.[3]

Metóda 2 z 2:Použitie Gaussovej techniky


Rozdeľte rad na dve rovnaké skupiny. Ak chcete zistiť, koľko čísel je v každej skupine, vydeľte počet čísel číslom 2. V tomto prípade, keďže rad je od 1 do 100, by ste vypočítali

100÷2=50{\displaystyle 100\div 2=50}

.[4]

  • Takže prvá skupina bude mať 50 čísel (1-50).
  • Druhá skupina bude mať tiež 50 čísel (51-100).


Napíšte prvú skupinu, 1-50, vo vzostupnom poradí. Napíšte čísla do radu, začínajúc číslom 1 a končiac číslom 50.


Napíšte druhú skupinu, 100-51, v zostupnom poradí. Napíšte tieto čísla do radu pod prvú skupinu. Začnite tak, že 100 riadkov sa nachádza pod 1, 99 riadkov pod 2 atď.


Sčítajte každú zvislú množinu čísel. To znamená, že vypočítate

1+100=101{\displaystyle 1+100=101}

,

2+99=101{\displaystyle 2+99=101}

. atď. V skutočnosti nemusíte sčítať všetky sady čísel, pretože by ste mali vidieť, že každá sada dáva súčet 101.[5]


  • Vynásobte 101 krát 50. Ak chcete zistiť súčet po sebe idúcich čísel 1 až 100, vynásobte počet množín (50) súčtom každej množiny (101):

    101(50)=5050.{\displaystyle 101(50)=5050.}

    Takže súčet po sebe idúcich čísel 1 až 100 je 5 050.

  • Odkazy