Ako transponovať maticu: 11 krokov (s obrázkami)

Transpozície matíc sú šikovným nástrojom na pochopenie štruktúry matíc. Vlastnosti, ktoré už o maticiach možno viete, ako napríklad štvorcovosť a symetria, ovplyvňujú výsledky transpozície zjavným spôsobom. Transpozícia slúži aj pri vyjadrovaní vektorov ako matíc alebo pri súčinoch vektorov.[1]
Ak sa zaoberáte komplexnými maticami, v mnohých problémoch vám pomôže úzko súvisiaci pojem konjugovanej transpozície.

Časť 1 z 3:Transpozícia matice


Začnite s ľubovoľnou maticou. Transponovať môžete akúkoľvek maticu bez ohľadu na to, koľko má riadkov a stĺpcov. Štvorcové matice s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov sa najčastejšie transponujú, preto ako príklad použijeme jednoduchú štvorcovú maticu: [2]

  • matica A =
    1 2 3
    4 5 6
    7 8 9


Prvý riadok matice premeníme na prvý stĺpec jej transpozície. Prvý riadok matice prepíšeme ako stĺpec:

  • Transpozícia matice A = AT
  • prvý stĺpec AT:
    1
    2
    3


Opakujte pre zvyšné riadky. Druhý riadok pôvodnej matice sa stane druhým stĺpcom jej transpozície. Tento postup opakujte, kým sa z každého riadku nestane stĺpec:

  • AT =
    1 4 7
    2 5 8
    3 6 9


Cvičenie na neštvorcovej matici. Transpozícia je presne rovnaká pre neštvorcovú maticu. Prvý riadok prepíšete ako prvý stĺpec, druhý riadok ako druhý stĺpec atď. Tu je príklad s farebným označením, ktorý vám ukáže, kde sa prvky nachádzajú:

  • matica Z =
    4 7 2 1
    3 9 8 6
  • matica ZT =
    4  3
    7  9
    2  8
    1  6


Vyjadrite transpozíciu matematicky. Tento koncept je celkom jednoduchý, ale je dobré vedieť ho opísať v matematike. Okrem základného maticového zápisu nie je potrebný žiadny žargón:

  • Ak je matica B m x n matice (m riadkov a n stĺpcov), transponovaná matica BT je n x m matica (n riadkov a m stĺpcov).[3]
  • Pre každý prvok bxy (xriadku, yv B, matica BT má rovnaký prvok v bode byx (yprvý riadok, xtretí stĺpec).

Časť 2 z 3:Špeciálne prípady


(MT)T = M. Transpozícia transponovanej matice je pôvodná matica.[4]
Je to celkom intuitívne, pretože jediné, čo robíte, je prepínanie riadkov a stĺpcov. Ak si ich opäť vymeníte, ste tam, kde ste začali.


Prevrátenie štvorcových matíc cez hlavnú diagonálu. V štvorcovej matici transpozícia „prevracia“ maticu cez hlavnú diagonálu. Inými slovami, prvky v diagonálnej línii od prvku a11 do pravého dolného rohu zostane rovnaká. Každý ďalší prvok sa bude pohybovať po diagonále a skončí v rovnakej vzdialenosti od diagonály, na opačnej strane.

  • Ak si to neviete predstaviť, nakreslite na kus papiera maticu 4×4. Teraz sa preloží cez hlavnú uhlopriečku. Pozrite sa, ako prvky a14 a41 dotyk? Vymenia si miesta v transpozícii, rovnako ako každá ďalšia dvojica, ktorá sa pri preložení dotýka.


Transpozícia symetrickej matice. Symetrická matica je symetrická cez hlavnú diagonálu. Ak použijeme vyššie uvedený opis „prevrátenia“ alebo „zloženia“, okamžite vidíme, že sa nič nemení. Všetky dvojice prvkov, ktoré si vymieňajú miesta, už boli identické.[5]
V skutočnosti je to štandardný spôsob definovania symetrickej matice. Ak je matica A = AT, potom je matica A symetrická.

Časť 3 z 3:Konjugovaná transpozícia komplexnej matice


Začnite s komplexnou maticou. Komplexné matice majú prvky s reálnou a imaginárnou zložkou. Hoci môžete vykonať obyčajnú transpozíciu týchto matíc, väčšina praktických výpočtov namiesto toho zahŕňa konjugovanú transpozíciu.[6]

  • Matica C =
    2+i     3-2i
    0+i     5+0i


Vezmite komplexný konjugát. Komplexný konjugát mení znamienko imaginárnych zložiek bez zmeny reálnych zložiek. Túto operáciu vykonajte pre všetky prvky matice.

  • komplexný konjugát C =
    2-i     3+2i
    0-i     5-0i

  • Transponujte výsledky. Urobte obyčajnú transpozíciu výsledku. Výsledná matica je konjugovanou transpozíciou pôvodnej matice.

    • konjugovaná transpozícia C = CH =
      2-i        0-i
      3+2i     5-0i
  • Odkazy