Ako určiť konvergenciu nekonečných radov: 9 krokov

Nekonečné série môžu byť odstrašujúce, pretože je dosť ťažké si ich predstaviť. Kontrolou môže byť ťažké zistiť, či rad bude konvergovať alebo nie. Pred niekoľkými storočiami by na zodpovedanie jedinej otázky boli potrebné hodiny dokazovania, ale vďaka mnohým geniálnym matematikom môžeme použiť testy na sériovú konvergenciu a divergenciu.

Nižšie uvedené kroky by sa nemali nevyhnutne vykonávať v tomto poradí – zvyčajne stačí vykonať jeden alebo dva kroky. Nájdenie toho, ktoré testy vykonať, si vyžaduje prax v rozpoznávaní typu funkcií, ktoré najlepšie fungujú s jednotlivými testami, hoci vo všeobecnosti by ste mali využiť testy, ktoré sú v tomto článku uvedené ďalej, skôr ako pôjdete dole. Uistite sa, že slušne rozumiete aj počtom.

Kroky

Vykonajte test divergencie. Tento test určuje, či sa rad

uk{\displaystyle u_{k}}

je divergentný alebo nie, kde

kZ.{\displaystyle k\v \mathbb {Z} .}
  • Ak
    limkuk0,{\displaystyle \lim _{k\to \infty }u_{k}\neq 0,}

    potom

    uk{\displaystyle u_{k}}

    diverguje.

  • Inverzná hodnota je nie true. Ak je limita radu rovná 0, nemusí to nevyhnutne znamenať, že rad konverguje. Musíme vykonať ďalšie kontroly.

Hľadajte geometrický rad. Geometrické rady sú rady v tvare

rk,{\displaystyle r^{k},}

kde

r{\displaystyle r}

je pomer medzi dvoma susednými číslami v rade. Tieto rady sa dajú veľmi ľahko rozpoznať a určiť konvergenciu.

  • Ak
    |r|<1,{\displaystyle |r|<1,}

    potom

    rk{\displaystyle r^{k}}

    konverguje.

  • Ak
    |r|1,{\displaystyle |r|\geq 1,}

    potom

    rk{\displaystyle r^{k}}

    diverguje.

  • Ak
    r=1,{\displaystyle r=-1,}

    potom je test nepresvedčivý. Použite test striedavého radu.

  • Pre konvergentné geometrické rady môžete nájsť súčet radov ako
    11r.{\displaystyle {\frac {1}{1-r}}.}

Hľadajte p-série. P-riadky sú rady v tvare

1kp.{\displaystyle {\frac {1}{k^{p}}}.}

Niekedy sa nazývajú „hyperharmonické“ rady, pretože zovšeobecňujú harmonické rady, z ktorých

p=1.{\displaystyle p=1.}
  • Ak
    p>1,{\displaystyle p>1,}

    potom rad konverguje.

  • Ak
    0<p1,{\displaystyle 0<p\leq 1,}

    potom sa rad rozchádza. Pozor na znamienko menej ako alebo rovná sa.

  • Je známe, že harmonický rad diverguje, aj keď veľmi pomaly, pretože
    p=1{\displaystyle p=1}

    sotva spĺňa druhé kritérium. Na druhej strane, rady ako napr

    1k2{\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}}

    konvergujú. Jeho súčet

    k=11k2=π26{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

    je známe ako Bazilejský problém a je zaujímavým problémom sám o sebe.

Vykonajte integrálny test. Tento test funguje najlepšie, keď

f{\displaystyle f}

sa dá ľahko integrovať. Všimnite si, že

f{\displaystyle f}

musí byť klesajúci, inak sa rad automaticky rozchádza.

  • Vzhľadom na klesajúcu, spojitú funkciu
    f{\displaystyle f}

    kde

    uk=f(k){\displaystyle u_{k}=f(k)}

    pre všetky

    ka,{\displaystyle k\geq a,}

    potom

    uk{\displaystyle u_{k}}

    a

    af(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x}

    obe konvergujú alebo obe divergujú.

  • Inými slovami, z diskrétneho radu môžeme zostrojiť spojitú funkciu, pričom členy medzi radom a funkciou sa navzájom rovnajú. Potom môžeme jednoducho vyhodnotiť integrál na kontrolu divergencie. Ak je divergentný, potom je divergentný aj rad.
  • Ak sa vrátime k harmonickému radu, tento rad možno reprezentovať funkciou
    f(x)=1x.{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}.}

    Keďže

    11xdx=ln()ln(1)={\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=\ln(\infty )-\ln(1)=\infty }

    (pretože logaritmická funkcia je neohraničená), integrálny test je ďalším spôsobom, ako ukázať divergenciu tohto radu.

Vykonajte test striedavých radov pre striedavé rady. Tieto rady zvyčajne obsahujú

(1)k{\displaystyle (-1)^{k}}

člen v ňom. Všetky ostatné testy v tomto článku sa týkajú radov so všetkými kladnými členmi.

  • Ak
    ak>0{\displaystyle a_{k}>0}

    pre dostatočne veľký

    k,{\displaystyle k,}

    potom

    ak{\displaystyle a_{k}}

    konverguje, ak platia tieto dve podmienky.

    • akak+1{\displaystyle a_{k}\geq a_{k+1}}
    • limkak=0{\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}=0}
  • Zjednodušene povedané, ak máte striedavý rad, ignorujte znamienka a skontrolujte, či je každý člen menší ako predchádzajúci člen. Potom skontrolujte, či limita radu smeruje k 0.
  • Je užitočné poznamenať, že rady, ktoré konvergujú prostredníctvom testu striedania radov, ale divergujú, keď
    (1)k{\displaystyle (-1)^{k}}

    sa odstráni, sa považujú za podmienečne konvergentné. Striedavý harmonický rad

    (1)k1k{\displaystyle {\frac {(-1)^{k-1}}{k}}}

    je jedným z takýchto príkladov, ktorého súčet je

    ln2.{\displayystyle \ln 2.}

Vykonajte test pomeru. Tento test je užitočný pre výrazy s faktoriálmi alebo mocninami. Vzhľadom na nekonečný rad

uk,{\displaystyle u_{k},}

nájdite

uk+1{\displaystyle u_{k+1}}

a vypočítajte

|uk+1uk|.{\displaystyle \levice\vert {\frac {u_{k+1}}{u_{k}}}\right\vert .}

Teraz nech

ρ=limk|uk+1uk|.{\displaystyle \rho =\lim _{k\to \infty }\left\vert {\frac {u_{k+1}}{u_{k}}}\right\vert .}
  • Rad konverguje (dokonca absolútne), ak
    ρ<1{\displaystyle \rho <1}

    , sa rozchádza, ak

    ρ>1{\displaystyle \rho >1}

    alebo

    ρ=,{\displaystyle \rho =\infty ,}

    a je nepresvedčivý, ak

    ρ=1.{\displaystyle \rho =1.}
  • Všimnite si, že pomerový test nefunguje, ak
    uk=0{\displaystyle u_{k}=0}

    pre ľubovoľný

    k{\displaystyle k}

    . V tomto prípade sa musí rad prepísať tak, aby sa nepridávali nuly, alebo ak je to príliš pracné, musí sa použiť test koreňov.

Vykonajte koreňový test. Koreňový test je variantom pomerového testu, kde

ρ=limk|uk|k.{\displaystyle \rho =\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{\vert u_{k}\vert }}.}

Rovnaké kritériá z testu pomeru sa použijú pre test koreňa.

  • Silnejšia verzia koreňového testu používa
    ρ=lim supk|uk|k.{\displaystyle \rho =\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{\vert u_{k}\vert }}.}

    . Kritériá sú rovnaké, ale limita nadradená môže existovať, zatiaľ čo limita nie. Táto verzia testu funguje aj v týchto prípadoch.

  • Koreňový test je striktne silnejší ako pomerový test, najmä pri limitne lepšej verzii. Existujú rady, pre ktoré je pomerový test nepresvedčivý, ale koreňový test je presvedčivý, hoci fungujú podobným spôsobom.
  • Všimnite si, že koreň absolútnej hodnoty
    uk{\displaystyle u_{k}}

    sa berie.

Vykonajte limitný porovnávací test. Tento test zahŕňa výber dostatočného radu

bk{\displaystyle b_{k}}

pre ktorý poznáte konvergenciu/divergenciu, a porovná ho s radom

ak{\displaystyle a_{k}}

prostredníctvom limitu. Tento test sa často používa pri vyhodnocovaní konvergencie radov definovaných racionálnymi výrazmi.

  • Nech
    ρ=limkakbk.{\displaystyle \rho =\lim _{k\to \infty }{\frac {a_{k}}{b_{k}}}.}

    Potom oba rady konvergujú, ak

    ρ{\displaystyle \rho }

    je konečná, alebo sa obe rozchádzajú, ak

    ρ=±.{\displaystyle \rho =\pm \infty .}
  • Napríklad, ak by ste dostali sériu
    1k3+2k+1,{\displaystyle {\frac {1}{k^{3}+2k+1}},}

    potom má zmysel porovnať ho s

    1k3,{\displaystyle {\frac {1}{k^{3}}},}

    ako najrýchlejšie narastá/vypadáva najvyššie usporiadaný člen, a ten je konvergentný prostredníctvom testu p-riadku.

  • Vykonajte porovnávací test. Tento test je vo všeobecnosti ťažkopádny, preto ho používajte ako poslednú možnosť. Dané sú dva kladné rady členov

    ak{\displaystyle a_{k}}

    a

    bk,{\displaystyle b_{k},}

    a k-tý člen

    a{\displaystyle a}

    je menší ako k-ty člen

    b,{\displaystyle b,}

    potom sú pravdivé tieto údaje.

    • Ak je väčší rad
      bk{\displaystyle b_{k}}

      konverguje, potom menší rad

      ak{\displaystyle a_{k}}

      tiež konverguje, pretože

      bk>ak.{\displaystyle b_{k}>a_{k}.}
    • Ak menší rad
      ak{\displaystyle a_{k}}

      sa rozchádza, potom väčší rad

      bk{\displaystyle b_{k}}

      divergujú tiež, pretože

      ak<bk.{\displaystyle a_{k}<b_{k}.}
    • Napríklad, povedzme, že máme rad
      1k1.{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {k}}-1}}.}

      Môžeme to porovnať s

      1k,{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k}}},}

      pretože konštantné členy môžeme vyradiť bez toho, aby to malo vplyv na konvergenciu/divergenciu radu. Pretože vieme, že

      1k{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k}}}}

      je divergentná podľa testu p-priemerov, a pretože

      1k<1k1,{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k}}}<{\frac {1}{{\sqrt {k}}-1}},}

      potom z toho vyplýva, že

      1k1{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {k}}-1}}}

      tiež diverguje.

    • V tomto teste je veľmi dôležité rozpoznať, ktorý rad obsahuje väčšie alebo menšie výrazy. Napríklad ak je menší rad
      ak{\displaystyle a_{k}}

      konverguje, že nie znamená, že väčšia séria

      bk{\displaystyle b_{k}}

      tiež konverguje.