Ako vydeliť dvojciferné čísla (s obrázkami)

V algebre sú dvojčlenné výrazy spojené znamienkom plus alebo mínus, ako napr

ax+b{\displaystyle ax+b}

. Prvý člen vždy obsahuje premennú, zatiaľ čo druhý člen môže, ale nemusí. Faktorovanie binómu znamená nájsť jednoduchšie členy, ktorých vynásobením vznikne daný binomický výraz, čo vám pomôže vyriešiť ho alebo zjednodušiť pre ďalšiu prácu.

1. časť z 3:Faktorovanie dvojčlenov


Preskúmajte základy faktoringu. Faktorovanie je rozklad veľkého čísla na najjednoduchšie deliteľné časti. Každá z týchto častí sa nazýva „faktor“.“ Takže napríklad číslo 6 možno rovnomerne rozdeliť štyrmi rôznymi číslami: 1, 2, 3 a 6. Činitele čísla 6 sú teda 1, 2, 3 a 6.

  • Činitele čísla 32 sú 1, 2, 4, 8, 16 a 32
  • Číslo „1“ aj číslo, ktoré delíte, sú vždy činiteľmi. Takže činiteľmi malého čísla, napríklad 3, budú jednoducho 1 a 3.
  • Faktory sú len dokonale deliteľné čísla alebo „celé“ čísla. 32 by ste mohli vydeliť 3.564 alebo 21.4952, ale to nepovedie k faktoru, len k ďalšiemu desatinnému číslu.


Umiestnite členy binómu tak, aby sa ľahšie čítali. Dvojčlen je jednoducho sčítanie alebo odčítanie dvoch čísel, z ktorých aspoň jedno obsahuje premennú. Niekedy majú tieto veličiny exponenty, ako napr

x2{\displaystyle x^{2}}

alebo

5y4{\displaystyle 5y^{4}}

. Pri prvom delení dvojčlenov môže pomôcť zmeniť poradie rovníc so vzostupnými premennými, čo znamená, že najväčší exponent je posledný. Napríklad:

  • 3t+6{\displaystyle 3t+6}

    6+3t{\displaystyle 6+3t}
  • 3x4+9x2{\displaystyle 3x^{4}+9x^{2}}

    9x2+3x4{\displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}
  • x22{\displaystyle x^{2}-2}

    2+x2{\displaystyle -2+x^{2}}
    • Všimnite si, že pred číslom 2 zostáva záporné znamienko. Ak sa výraz odčíta, stačí pred ním ponechať zápornú hodnotu.


Nájdite najväčší spoločný deliteľ oboch členov. To znamená, že nájdete najvyššie možné číslo, ktorým sú deliteľné obe časti binómu.[1]
Expertný zdroj
David Jia
Akademický tútor
Odborný rozhovor. 23. februára 2021
Ak máte problémy, jednoducho vynásobte obe čísla samostatne a potom zistite, aké je najvyššie zhodné číslo. Napríklad:

  • Úloha na precvičenie:

    3t+6{\displaystyle 3t+6}

    .

    • Činitele 3: 1, 3
    • Činitele 6: 1, 2, 3, 6.
    • Najväčší spoločný deliteľ je 3.


Vydeľte najväčší spoločný činiteľ z každého člena. Keď poznáte spoločný činiteľ, musíte ho odstrániť z každého člena.[2]
Expertný zdroj
David Jia
Akademický tútor
Rozhovor s expertom. 23. februára 2021
Všimnite si však, že jednoducho rozdeľujete výrazy a každý člen meníte na malý problém delenia. Ak ste postupovali správne, obe rovnice budú mať spoločného činiteľa:

  • Úloha na precvičenie:

    3t+6{\displaystyle 3t+6}

    .

  • Nájdite najväčší spoločný činiteľ: 3
  • Odstráňte faktor z oboch členov:

    3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}


Vynásobte svoj násobok výsledným výrazom a dokončite. V poslednom probléme ste odstránili trojku, aby ste dostali

t+2{\displaystyle t+2}

. Ale nezbavil si sa úplne trojky, jednoducho si ju vynásobil, aby si to zjednodušil. Čísla nemôžete len tak vymazať bez toho, aby ste ich vrátili späť! Vynásobte svoj činiteľ výrazom, aby ste nakoniec skončili. Napríklad:

  • Cvičný problém:

    3t+6{\displaystyle 3t+6}
  • Nájdite najväčší spoločný činiteľ: 3
  • Odstráňte faktor z oboch členov:

    3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}
  • Viacnásobný faktor podľa nového výrazu:

    3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}
  • Konečná vyfakturovaná odpoveď:
    3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}


Svoju prácu skontrolujte vynásobením všetkého späť do pôvodnej rovnice. Ak ste všetko urobili správne, kontrola správnosti by mala byť jednoduchá. Jednoducho vynásobte svoj faktor oboma jednotlivými časťami v zátvorke. Ak sa zhoduje s pôvodným, nefaktorovaným binomickým súčtom, potom ste všetko urobili správne. Od začiatku do konca vyriešte výraz

12t+18{\displaystyle 12t+18}

na precvičenie:

  • Reorganizujte členy:

    18+12t{\displaystyle 18+12t}
  • Nájdite najväčšieho spoločného menovateľa:

    6{\displaystyle 6}
  • Odstráňte faktor z oboch členov:

    18t6+12t6=3+2t{\displaystyle {\frac {18t}{6}}+{\frac {12t}{6}}=3+2t}
  • Násobok vynásobte novým výrazom:

    6(3+2t){\displaystyle 6(3+2t)}
  • Odpovedzte na otázku:

    (63)+(62t)=18+12t{\displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}

Druhá časť z 3:Faktorovanie binómov na riešenie rovníc


Použite faktoring na zjednodušenie rovníc a uľahčite ich riešenie. Pri riešení rovnice s dvojčlenmi, najmä zloženými dvojčlenmi, sa môže zdať, že neexistuje spôsob, ako by sa všetko zhodovalo. Skúste napríklad vyriešiť

5y2y2=3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

. Jedným zo spôsobov riešenia, najmä pri exponentoch, je najprv vynásobiť.

  • Úloha na precvičenie:

    5y2y2=3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
  • Nezabudnite, že dvojčlen musí mať len dva členy. Ak je členov viac ako dva, môžete sa namiesto toho naučiť riešiť polynómy.


Sčítaj a odčítaj tak, aby jedna strana rovnice bola rovná nule. Celá táto stratégia sa opiera o jeden z najzákladnejších matematických faktov: čokoľvek vynásobené nulou sa musí rovnať nule. Ak sa teda vaša rovnica rovná nule, potom sa jeden z vašich vyfakturovaných členov musí rovnať nule! Na začiatok sčítaj a odčítaj tak, aby sa jedna strana rovnala nule.

  • Úloha na precvičenie:

    5y2y2=3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
  • Nastavte na nulu:

    5y2y2+3y=3y+3y{\displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}
    • 8y2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}


Faktor nenulovej strany ako normálne. V tomto bode môžete na krok predstierať, že druhá strana neexistuje. Stačí nájsť najväčší spoločný deliteľ, vydeliť ho a potom vytvoriť váš faktorovaný výraz.

  • Úloha na precvičenie:

    5y2y2=3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
  • Nastaviť na nulu:

    8y2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}
  • Faktor:

    2y(4y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}


Vnútri aj mimo zátvorky nastavte hodnotu rovnú nule. V praktickej úlohe násobíte 2y číslom 4 – y a musí sa rovnať nule. Keďže čokoľvek vynásobené nulou sa rovná nule, znamená to, že buď 2y, alebo 4 – y musí byť 0. Vytvorte dve samostatné rovnice, aby ste zistili, aké musí byť y, aby sa ktorákoľvek strana rovnala nule.

  • Úloha na precvičenie:

    5y2y2=3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
  • Nastavte na nulu:

    8y2y2+3y=0{\displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}
  • Faktor:

    2y(4y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}
  • Obidve časti nastavte na 0:

    • 2y=0{\displaystyle 2y=0}
    • 4y=0{\displaystyle 4-y=0}


Vyriešte obe rovnice pre nulu, aby ste dostali konečnú odpoveď alebo odpovede. Môžete mať jednu odpoveď, alebo viac ako jednu. Nezabudnite, že len jedna strana sa musí rovnať nule, takže môžete dostať niekoľko rôznych hodnôt y, ktoré vyriešia tú istú rovnicu. Na záver cvičného problému:

  • 2y=0{\displaystyle 2y=0}
    • 2y2=02{\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {0}{2}}}
    • y = 0
  • 4y=0{\displaystyle 4-y=0}
    • 4y+y=0+y{\displaystyle 4-y+y=0+y}
    • y = 4


Zapojte svoje odpovede späť, aby ste sa uistili, že fungujú. Ak ste získali správne hodnoty y, potom by ste ich mali byť schopní použiť na riešenie rovnice. Je to jednoduché, ako vyskúšať každú hodnotu y na mieste premennej, ako je uvedené. Keďže odpoveďou bolo y = 0 a y = 4:

  • 5(0)2(0)2=3(0){\displaystyle 5(0)-2(0)^{2}=-3(0)}
    • 0+0=0{\displaystyle 0+0=0}
    • 0=0{\displaystyle 0=0}

      Táto odpoveď je správna

  • 5(4)2(4)2=3(4){\displaystyle 5(4)-2(4)^{2}=-3(4)}
    • 2032=12{\displaystyle 20-32=-12}
    • 12=12{\displaystyle -12=-12}

      Táto odpoveď je tiež správna.

Časť 3 z 3:Riešenie zložitejších problémov


Nezabudnite, že premenné sa tiež počítajú ako faktory, a to aj s exponentmi. Nezabudnite, že faktoring je zisťovanie, aké čísla sa môžu deliť na celé. Výraz

x4{\displaystyle x^{4}}

je iný spôsob vyjadrenia

xxxx{\displaystyle x*x*x*x}

. To znamená, že môžete vynásobiť každé x, ak má aj druhý člen. S premennými nezaobchádzajte inak ako s bežným číslom. Napríklad:

  • 2t+t2{\displaystyle 2t+t^{2}}

    možno vydeliť, pretože oba členy obsahujú t. Vaša konečná odpoveď bude

    t(2+t){\displaystyle t(2+t)}
  • Môžete dokonca vytiahnuť viacero premenných naraz. Napríklad v
    x2+x4{\displaystyle x^{2}+x^{4}}

    oba výrazy obsahujú to isté

    x2{\displaystyle x^{2}}

    . Môžete vynásobiť faktorom

    x2(1+x2){\displaystyle x^{2}(1+x^{2})}


Rozpoznať nezjednodušené dvojčleny kombináciou podobných členov. Vezmite si napríklad výraz

6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}

. Môže sa zdať, že má štyri výrazy, ale keď sa pozriete pozorne, zistíte, že v skutočnosti sú len dva. Podobné členy môžete sčítať, a keďže 6 aj 14 nemajú žiadnu premennú a 2x a 3x majú spoločnú premennú, možno ich oba spojiť. Faktorovanie je potom jednoduché:

  • Pôvodný problém:

    6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}
  • Reorganizujte výrazy:

    2x+3x+14+6{\displaystyle 2x+3x+14+6}
  • Spojiť podobné výrazy:

    5x+20{\displaystyle 5x+20}
  • Nájdite najväčší spoločný deliteľ:

    5(x)+5(4){\displaystyle 5(x)+5(4)}
  • Faktor:

    5(x+4){\displaystyle 5(x+4)}


Rozpoznajte špeciálny „rozdiel dokonalých štvorcov.“ Dokonalý štvorec je číslo, ktorého odmocnina je celé číslo, ako napr

9{\displaystyle 9} (33){\displaystyle (3*3)}

,

x2{\displaystyle x^{2}} (xx){\displaystyle (x*x)}

, alebo dokonca

144t2{\displaystyle 144t^{2}} (12t12t){\displaystyle (12t*12t)}

Ak je váš binóm úlohou na odčítanie dvoch dokonalých štvorcov, ako napr

a2b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}}

, môžete ich jednoducho dosadiť do tohto vzorca:

  • Rozdiel vzorca dokonalých štvorcov:

    a2b2=(a+b)(ab){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
  • Problém na precvičenie:

    4x29{\displaystyle 4x^{2}-9}
  • Nájdite odmocniny:

    • 4x2=2x{\displaystyle {\sqrt {4x^{2}}}=2x}
    • 9=3{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
  • Doplňte štvorce do vzorca:
    4x29=(2x+3)(2x3){\displaystyle 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)}

Naučte sa rozložiť „rozdiel dokonalých kociek.“ Rovnako ako pri dokonalých štvorcoch je to jednoduchý vzorec pre prípad, keď máme dva kubické členy navzájom odčítané. Napríklad,

a3b3{\displaystyle a^{3}-b^{3}}

. Rovnako ako predtým, jednoducho nájdete kubický koreň každej z nich a dosadíte ich do vzorca:

  • Vzorec pre rozdiel dokonalých kociek:

    a3b3=(ab)(a2+ab+b2){\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
  • Problém na precvičenie:

    8x327{\displaystyle 8x^{3}-27}
  • Nájdite kubické korene:

    • 8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
    • 273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}
  • Dosadíme kocky do vzorca:
    8x327=(2x3)(4x2+6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)}

    [3]

  • Vedzte, že do vzorca sa zmestí aj súčet dokonalých kociek. Na rozdiel od rozdielu dokonalých štvorcov môžete ľahko nájsť aj pridané kocky, ako napr

    a3+b3{\displaystyle a^{3}+b^{3}}

    , s jednoduchým vzorcom. Je to takmer rovnaké ako vyššie, len s niektorými plusmi a mínusmi otočenými. Tento vzorec je rovnako jednoduchý ako ostatné dva a na jeho použitie stačí rozpoznať dve kocky v úlohe:

    • Vložte vzorec pre súčet dokonalých kociek:

      a3+b3=(a+b)(a2ab+b2){\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
    • Problém na precvičenie:

      8x327{\displaystyle 8x^{3}-27}
    • Nájdite kubické korene:

      • 8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
      • 273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}
    • Doplňte kocky do vzorca:
      8x327=(2x+3)(4x26x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)}

      [4]

  • Odkazy

      David Jia. Akademický tútor. Rozhovor s odborníkom. 23. februára 2021

      David Jia. Akademický lektor. Rozhovor s odborníkom. 23. februára 2021

      http://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm

      http://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm