Ako vyhodnotiť limity viacerých premenných: 10 krokov

Limity vo výpočtoch s jednou premennou sa hodnotia pomerne ľahko. Dôvodom, prečo je to tak, je skutočnosť, že k limite sa možno priblížiť len z dvoch smerov.

V prípade funkcií viac ako jednej premennej však čelíme dileme. Musíme skontrolovať z každého smeru, aby sme sa uistili, že limita existuje. To neznamená len pozdĺž dvoch osí alebo dokonca všetkých možných priamok, ale aj pozdĺž všetkých možných kriviek. Zdá sa, že je to náročná úloha, ale existuje riešenie.

Tento článok bude pracovať s funkciami dvoch premenných.

Kroky

Skúste najprv priamo nahradiť. Niekedy je výpočet limity triviálny – podobne ako pri výpočte s jednou premennou, po dosadení hodnôt do zásuvky môžete okamžite získať odpoveď. To je zvyčajne prípad, keď sa limita nepribližuje k počiatku. Nasleduje príklad.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(x,y)\to (4,5)}(x^{2}y^{3}-5xy^{2})&=(4)^{2}(5)^{3}-5(4)(5)^{2}\\&=1500\end{aligned}}$
• Ďalším dôvodom, prečo tu substitúcia funguje, je, že vyššie uvedená funkcia je polynomická, a preto sa dobre správa v reáloch pre všetky
  ${\displaystyle x}$

  a

  ${\displaystyle y.}$

Skúste substitúciu, aby limita bola jednovariantná, keď je substitúcia zrejmá.

• Vyhodnotiť
  ${\displaystyle \lim _{(x,y)\do (0,0)}{\frac {\ln(1-5x^{2}y^{2})}{12x^{2}y^{2}}}.}$
• Náhrada
  ${\displaystyle t=x^{2}y^{2}.}$
  • ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\ln(1-5t)}{12t}}}$
• Použite L’Hôpitalovo pravidlo, pretože v súčasnosti dostávame a
  ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

  ak vyhodnotíme príliš skoro.

  • ${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\do 0}{\frac {\ln(1-5t)}{12t}}&=\lim _{t\do 0}{\frac {{\frac {1}{1-5t}}(-5)}{12}}\\&={\frac {-5}{12}}.\end{aligned}}$

Ak máte podozrenie, že limita neexistuje (DNE), ukážte to priblížením z dvoch rôznych smerov. Pokiaľ je limita buď DNE, alebo sa líši od týchto dvoch smerov, ste hotoví a limita celkovej funkcie DNE.

• Vyhodnoťte
  ${\displaystyle \lim _{(x,y)\do (0,0)}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}.}$
• Prístup z oboch strán vertikálne a horizontálne. Súbor
  ${\displaystyle x=0}$

  a

  ${\displaystyle y=0.}$
  • ${\displaystyle \lim _{(0,y)\do (0,0)}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{(0,y)\do (0,0)}{\frac {(0)^{2}-y^{2}}{(0)^{2}+y^{2}}}=-1.}$
  • ${\displaystyle \lim _{(x,0)\do (0,0)}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{(x,0)\do (0,0)}{\frac {x^{2}-(0)^{2}}{x^{2}+(0)^{2}}}=1.}$
• Keďže tieto dve hranice sa líšia, limita DNE.

Previesť do polárneho tvaru. Viacrozmerné limity sú často jednoduchšie, ak sa vykonávajú v polárnych súradniciach. V tomto prípade,

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

a

${\displaystyle y=r\sin \theta .}$

Pozrime sa, ako to funguje.

Príklad 1

Vyhodnoťte limitu.

• ${\displaystyle \lim _{(x,y)\do (0,0)}{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}$

Prevod na polárne.

• ${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {r^{3}\cos \theta \sin ^{2}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}(r\cos \theta \sin ^{2}\theta )}$

Použitie vety o stláčaní. Hoci sa limita berie ako

${\displaystyle r\na 0,}$

limit závisí od

${\displaystyle \theta }$

aj. Potom by sa dalo naivne usúdiť, že limita DNE. Limita však závisí od

${\displaystyle r,}$

takže limita môže, ale nemusí existovať.

• Keďže
  ${\displaystyle |\sin \theta |\leq 1}$

  a

  ${\displaystyle |\cos \theta |\leq 1,|\cos \theta \sin ^{2}\theta |\leq 1}$

  ako aj.

• Potom
  ${\displaystyle |r\cos \theta \sin ^{2}\theta |\leq r.}$

Vezmite limitu všetkých troch výrazov.

• Keďže
  ${\displaystyle \lim _{r\to 0}(-r)=\lim _{r\to 0}(r)=0,}$

  podľa vety o stláčaní,

  ${\displaystyle \lim _{r\do 0}(r\cos \theta \sin ^{2}\theta )=0.}$
• Kvôli
  ${\displaystyle r}$

  závislosti a použitím vety o stláčaní sa hovorí, že veličina vo vyššie uvedenej limite je ohraničená. Inými slovami, keďže

  ${\displaystyle r\to 0,}$

  rozsah hodnôt

  ${\displaystyle r\cos \theta \sin ^{2}\theta }$

  sa tiež zmenší na 0, aj keď

  ${\displaystyle \theta }$

  je ľubovoľná.

Príklad 2

Vyhodnoťte limitu.

• ${\displaystyle \lim _{(x,y)\do (0,0)}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$
• Tento príklad sa len mierne líši od príkladu 1.

Previesť na polárne.

• ${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {r^{2}\cos \theta \sin ^{2}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}(\cos \theta \sin ^{2}\theta )}$
• Avšak veličina
  ${\displaystyle \cos \theta \sin ^{2}\theta }$

  môže po vyhodnotení limitu nadobudnúť ľubovoľnú hodnotu a hovorí sa, že je neobmedzený.

• Preto je potrebné stanoviť limit DNE. Tento scenár opisuje hranicu, ku ktorej sa pristupuje z ľubovoľných smerov a dostáva rôzne hodnoty.